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in 2010 with funding from

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http://www.archive.org/details/traitdemcani01pois

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TRAITÉ

DE MÉCANIQUE

Ouvrage du même Auteur qui se trouve chez le même Libraire.

NOUVELLE THÉORIE DE L'ACTION CAPILLAIRE, i vol. in- 4°. fig. , i83i. i5 fr.

IMPRIMERIE DE BACHELIER,

rue du Jardinet , n« 12.

If

TRAITÉ

DE

MÉCANIQUE;

PAR S. D. POISSON,

Membre de l'Institut?, du Bureau des Longitudes et de l'Université de France ; des Sociétés royales de Londres et d'Edimbourg ; des Académies de Berlin , de Stockholm , de Saint-Pétersbourg , de Boston , et de différentes villes d'Italie; de l'Université de Wilna ; des Sociétés, astronomique de Londres, philomatiques de Paris et de Varsovie , et des Sciences et Arts d'Orléans.

SECONDE EDITION,

n>N S I DKRABLEM ENT AU G M KNTKK.

TOME PREMIER

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PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

PODB LES MATHÉMATIQUES, QUAI DES AUGUSTINS, TS° 55.

1833

£ S76. //-

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AVERTISSEMENT.

Cet ouvrage pouvant servir à l'enseigne- ment , j'ai dû entrer souvent dans des détails minutieux, et suivre, pour l'exposition des matières , Tordre le plus propre à en faciliter l'intelligence. L'ordre que j'ai adopté est celui que l'on suit maintenant dans les cours de Mécanique de l'Ecole Polytechnique. On s'en formera une idée précise, en parcourant les tables analytiques des matières qui précèdent les deux volumes. Je me suis aussi attaché à multiplier les exemples nécessaires pour éclair- cir les théories générales; ceux que j'ai choi- sis ont été pris, surtout, dans l'Astronomie et la Physique , et quelques-uns dans l'Ar- tillerie.

Sa destination principale est de servir d'in- troduction à un Traité de Physique mathé- matique, dont la Nouvelle théorie de l 'Ac- tion capillaire, que j'ai publiée il y a un an , est déjà une partie ; les autres parties se com-

a

ij AVERTISSEMENT,

poseront des différens Mémoires que j'ai écrits, soit sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques et des fluides , soit sur les fluides impondérables, et que je me propose de réunir et de rendre aussi complets qu'il me sera donné de le faire.

On trouvera , à la fin du second volume, une addition relative à l'usage du principe des forces vives dans le calcul des machines en mouvement.

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TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LE PREMIER VOLUME.

INTRODUCTION.

Définitions delà matière, des corps , de la masse, d'un point matériel , et de la force , nos i et 2

Objet de la Mécanique ; division de cette science en deux par- ties , la Statique et la Dynamique , n° 3

Le point d'application d'une force se déterminera au moyen de ses trois coordonnées , rectangulaires , ou polaires , n° 4

Ce qu'on entend par des forces égales / expression numérique de l'intensité d'une force , n° 5

La direction d'une force se déterminera au moyen de trois an- gles aigus ou obtus, liés entre eux par une équation, ou de deux angles indépendans l'un de l'autre ; conversion en par- ties du rayon , d'un arc exprimé en degrés, nos 6, 7 et 8

Expression du cosinus de l'angle de deux droites ; équation qui a lieu quand elles sont perpendiculaires l'une à l'autre ; transformation des coordonnées rectangulaires en coordon- nées polaires , n° 9

Projections d'une ligne droite sur une autre droite, et d'une aire plane sur un autre pian, n° 10

Comment on déterminera les deux sens opposés de différentes forces parallèles , n° 1 1

Dans cet ouvrage, on emploiera exclusivement la méthode des infiniment petits ; principes fondamentaux de l'analyse infinitésimale, n° 12

Définitions de la différentielle d'une variable et de celle d'une

a*.

iv ' TABLE DES MATIÈRES.

fonction ; définition et notation de l'intégrale définie ; cette intégrale est , en général , la somme des valeurs de la diffé- rentielle , ■ n° i3

Différentiation d'une intégrale, par rapport à une quantité regardée comme constante dans l'intégration-, n° i4

Formule des quadratures , n° io

Dans Tinfiniment petit , le rapport de l'arc d'une courbe à la corde est l'unité ; ce qui permet de considérer une courbe comme un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits, n° 16

Définition de la tangente à une courbe ; formules qui détermi- nent sa direction ; élément différentiel de la courbe ; équa- tion du plan normal; cosinus des angles que fait la per- pendiculaire à un plan quelconque, avec des parallèles aux axes des coordonnées, n° 17

Expressions de l'angle de contingence et du rayon de cour- bure , n° 18

Equation du plan osculateur ; formules relatives à la direc- tion de la perpendiculaire à ce plan, n° 19

Coordonnées du centre de courbure , n° 20

Equation du plan tangent à une surface courbe ; élément dif- férentiel de la surface ; formules relatives à la direction de la normale : on renvoie à un Mémoire inséré dans le 21e ca- hier du Journal de V École Polytechnique , pour ce qui con- cerne la courbure des surfaces , n° 2 1

Règle pour déduire l'une de l'autre , les formules relatives à trois axes rectangulaires, par rapport à chacun desquels tout est semblable dans un problème, n° 22

Conditions générales auxquelles doivent satisfaire les équa- tions qui renferment des quantités de différentes natures,

n° 23

TABLE DES MATIÈRES. T

LIVRE PREMIER.

STATIQUE,

PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE Ier. De la composition et de V équilibre des forces appliquées à un même point, page 4 5

Ce qu'on entend par la résultante d'un nombre quelconque de

forces appliquées à un même point; sa valeur, quand

toutes ces forces agissent suivant une même droite , n° 24

La résultante de deux forces égales qui comprennent un angle

de 1200, est égale à chacune de ces forces, et divise l'angle en

deux parties égales , n° 25

Valeur et direction de la résultante de deux forces qui font un

angle quelconque; règle du -parallélogramme des forces,

nos 26 , 27 et 28 Conséquences immédiates de ce théorème , n° 29

Construction géométrique pour déterminer, en grandeur et en

direction, la résultante d'un nombre quelconque de forces^

n°3o Composition de trois forces rectangulaires en une seule force, et

décomposition de celle-ci en trois forces rectangulaires, n° 3i Calcul de la résultante d'un nombre quelconque de forces

données ; valeurs des angles qui déterminent sa direction ;

expression de cette résultante en fonction des composantes

et des angles compris entre leurs directions, nos 32 et 33 Propriété particulière de cette même résultante , n° 34

Equation d'équilibre d'un point matériel entièrement libre :

on vérifie qu'en vertu do ces équations , chacune des forces

qui agissent sur ce point est égale et contraire à la résul*

tante de toutes les autres , n° 35

Equation d'équilibre d'un point matériel, assujetti à demeurer

sur une surface donnée ; pression que supporte la surface ;

sens dans lequel elle s'exerce, n09 36 et 3 7

vi TABLE DES MATIERES.

Equation d'équilibre d'un point matériel assujetti à rester sur une courbe donnée , n° 38

Equation des vitesses virtuelles , contenant les équations d'é- quilibre relatives aux trois cas précédens , n° 3g

CHAPITRE II. De V équilibre du levier, Page 72

Définition du levier; objet de ce chapitre , n° zjo

Déplacement du point d'application d'une force appliquée à un système de forme invariable , n° 4*

Définition du moment d'une force par rapport à un point ; équilibre de deux forces appliquées à un levier ; cette équa- tion est indépendante de l'angle des deux bras du levier ; cas où les deux forces données sont parallèles , nos 42 et 43

Deux forces parallèles agissant en sens contraires , et non di- rectement opposées , ne sont pas réductibles à une seule ; ce couple de forces peut être transformé d'une infinité de ma- nières différentes, en un autre couple de forces irréductibles à une seule , n° 44

Condition d'équilibre d'un nombre quelconque de forces ap- pliquées à un levier , n° 45

Théorème relatif au moment de la résultante de deux forces ; extension de ce théorème au cas d'un nombre quelconque de forces dirigées dans un même plan ; quantité qui demeure invariable, dans toutes les transformations de ce système de forces ; équation d'équilibre de ces forces autour d'un point fixe , situé dans leur plan , nos 46, 47 et 48

On vérifie que l'équation des vitesses virtuelles a lieu dans l'é- quilibre du levier , n° 49

CHAPITRE III. De la composition et de Véquïlibre des forces parallèles, page 90

Démonstration directe de la composition de deux forces paral- lèles qu'on avait déduite , précédemment (n° 43) , de celle des forces concourantes vers un même point ; on en conclut la grandeur et le point d'application de la résultante d'un nombre quelconque de ces forces , n05 5o et 5i

TABLE DES MATIERES. vij

Quand des forces parallèles tournent autour de leurs points d'application respectifs, en restant toujours parallèles, leur résultante tourne aussi autour de son point d'application ; de'finition du centre des forces parallèles ; définition du moment d'une force par rapport à un plan , noS 02 et 53 Le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles , par rapport à un plan , est égal à la somme des momens de ces forces , par rapport à ce même plan ; coor- données du centre des forces parallèles, nos 54, 55 et 56 Equation d'équilibre d'un système de forces parallèles , appli- quées à un corps solide , soit que ce corps soit entièrement libre , ou qu'il soit retenu par un point ou par un axe fixe,

nos 57 et 58

CHAPITRE IV. Considérations générales sur les corps pesans et sur les centres de gravité, Page l °6

On considère la pesanteur comme une force constante , en grandeur et en direction , dans toute l'étendue d'un même corps, n° 59

Définition du poids et de la densité; équations qui existent entre le poids , la masse , le volume d'un corps, et la gran- deur de la gravité , n° 60

Définition du gramme; rapport de son poids à celui d'un même volume d'eau, à la température de la glace fon- dante ; densités de l'air et du mercure , n° 61

Les poids servent de terme de comparaison aux autres forces ; ils fournissent la mesure la plus commode de la masse ,

n° 62

Définition du centre de gravité ; règle pratique pour en dé- terminer la position dans l'intérieur d'un corps solide, n° 63

Equations d'après lesquelles on calcule les coordonnées du centre de gravité d'un système de corps , dont les centres de gravité sont déjà connus; cas où les masses des corps sont infiniment petites ; ce qu'on entend par les centres de gravité d'un volume , d'une surface , et d'une ligne ,

n05 64 et 65

viij TABLE DES MATIÈRES.

Equation qui a lieu entre les distances mutuelles des centres de gravite' de différens corps , et leurs distances au centre de gravite' du système entier , n° 66

Propriété curieuse de l'équilibre d'un point matériel entière- ment libre , n° 67

Enumération de différens cas où le centre de gravité est im- médiatement connu , n° 68

CHAPITRE V. Détermination des centres de gra- vité > page 121 § Ier. Centres de gravité des lignes courbes, ibid.

Coordonnées du centre de gravité d'une ligne quelconque ; ap- plication à la ligne droite , n° 69

Gas d'une courbe plane ; applications au cercle, et aux trois sections coniques, nos 70 et 71

Equation de la cycloïde ; énoncé de ses diverses propriétés ; coordonnées du centre de gravité d'un arc quelconque de cette courbe , n°s 72 et 7 3

Règle pour déterminer l'aire d'une surface de révolution , quand le centre de gravilé de sa courbe génératrice est connu sans aucun calcul , n° 74

§ II. Centres de gravité des surfaces, page i3i

Coordonnées du centre de gravité d'une surface quelconque ; cas où la surface est plane , n° ^5

Application au centre de gravité d'un triangle : détermi- nation de ce point , sans le secours du calcul intégral ; comment on en déduit les centres de gravité du secteur et du segment circulaires , nos 76, 77 et 78

On indique , comme exemple, les centres de gravité des trois sections coniques ; on calcule complètement les deux coor- données du centre de gravité d'une portion quelconque de l'aire de la cycloïde, nos 79 et 80

Centre de gravité de la zone d'une surface de révolution ; application aux surfaces concave et convexe engendrées par la cycloïde , nos 81 et 82

TABLE DES MATIÈRES. ix

Règle pour déterminer le volume d'un solide de révolution ,

quand le centre de gravité de l'aire génératrice est connu

sans aucun calcul ; extension de cette règle à d'autres sortes

de corps , nos 83 et 84

Volume d'un prisme ou d'un cylindre tronqué, n° 85

5 III. Centres de gravité des volumes et des corps, page i5i

Centre de gravité d'une pyramide ou d'un cône quelconque,

n° 86

Détermination du centre de gravité d'une pyramide triangu- laire, sans le secours du calcul intégral; comment on en déduit les centres de gravité d'un secteur et d'un segment sphériques, nos 87 et 88

Centre de gravité d'un corps symétrique autour d'un axe, et, en particulier, d'une portion d'ellipsoïde, n° 89

Centre de gravité d'un solide de révolution, et, en particulier, des solides concave et convexe engendrés par la cycloïde,

n° 90

Expressions diverses, en intégrales triples, des coordonnées du centre de gravité d'un corps quelconque; application à une portion de sphère hétérogène, noS 91 et 92

Elément différentiel d'un volume exprimé au moyen des dif- férentielles des coordonnées polaires, n° g3

CHAPITRE VI. Calcul de V attraction des corps,

page 169

§ Ier. Formules relatives à un corps quelconque et à la sphère en particulier 9 page 169

Expressions générales en intégrales triples , des trois compo- santes rectangulaires de l'attraction exercée par un corps sur un point matériel , nos 94 et 95

Réduction de ces trois intégrales triples, aux différences par- tielles d'une seule intégrale , n° 96

Une difficulté qui a déjà été signalée dans le calcul des coordon- nées du centre de gravité d'un corps quelconque (n°9i)?

x TABLE DES MATIÈRES.

conduit à examiner la constitution intime des corps natu- rels. Définitions des atomes et des molécules ; ce qu'on doit entendre par la densité' d'un corps en un point quelconque ; définition de Y intervalle moyen des molécules au même point; on explique comment les formules relatives aux masses des corps , aux coordonnées des centres de gravité , et aux attractions en raison inverse du carré des distances, peuvent être appliquées , sans erreur sensible , aux corps naturels , nos 97 et 98

L'attraction d'un corps sur un point matériel très éloigné , est à très peu près la même que si la masse entière de ce corps était réunie à son centre de gravité ; attraction mutuelle de deux sphères homogènes, n° 99

Théorèmes relatifs aux attractions des corps sphériques , sur des points matériels extérieurs ou intérieurs ,nos 100 et 10 1

Démonstration directe de l'équilibre d'un point matériel, si- tué dans un espace terminé par une couche sphérique, n° 102

§ II. Formules relatives à l 'ellipsoïde , PaSe *85

Transformation des formules générales du n° g5 , principale- ment utile dans le cas où le point attiré fait partie du corps attirant, n° io3

Application à l'ellipsoïde homogène : les formules relatives à son attraction sur un point intérieur , se réduisent à des in- tégrales simples , calculables au moyen des tables des fonc- tions elliptiques; extension du théorème du n° 102, à une couche elliptique , ncs 104 et io5

Les intégrales s'effectuent sous forme finie* , dans le cas de Fellipsoïde de révolution ; cas particulier d'un ellipsoïde très peu applati , n° 1 06

Théorème remarquable, au moyen duquel on fait dépendre l'attraction d'un ellipsoïde sur un point extérieur, de l'attrac- tion d'un autre ellipsoïde sur un point intérieur: ce théo- rème est indépendant de la loi de l'attraction en fonction de la distance ; application au cas particulier de deux sphères concentriques, nos 107, 108 et 109

TABLE DES MATIÈRES. xi

LITRE DEUXIÈME.

DYNAMIQUE ,

PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE Ier. Du mouvement rectiligne et de la -mesure des forces > Page 2°3

§ Ier. Formules du mouvement rectiligne, ibid.

Définition et équation du mouvement uniforme , n° 1 10

Remarque sur la mesure du temps; invariabilité au. jour sidé- ral; sa durée comparée à celle du. jour moyen, n° ni

Définition de la vitesse dans le mouvement uniforme , et en- suite dans le mouvement varié , n° 112

En quoi consiste Y inertie de la matière, n° 1 13

Expression de la vitesse dans un mouvement quelconque ; ex- pression de l'espace parcouru dans un temps infiniment petit , abstraction faite de la vitesse acquise , n° 1 1 4

Définition et équation du mouvement uniformément accéléré ou retardé ; la force qui le produit est une force constante; ce mouvement est celui des corps pesans dans le vide; dans un même lieu , l'accélération est la même pour tous ces corps ; sa grandeur à l'Observatoire de Paris , n° 1 15

On démontre que les grandeurs des forces qui agissent succes- sivement sur un même point matériel, sont entre elles comme les vitesses infiniment petites qu'elles lui impri- ment dans un même temps infiniment petit, n° 116

Quand il s'agit de forces constantes, leurs intensités sont entre elles comme les vitesses qu'elles produisent dans l'u- nité de temps ; exemple du rapport des forces, conclu de celui des vitesses observées ; exemple inverse du rapport des vi- tesses , conclu de celui des forces , n° 1 1 7

Mesure de la force dans un mouvement varié quelconque,

xij TABLE DES MATIÈRES.

soit au moyen de la vitesse qu'elle produit ,soit au moyen de l'espace qu'elle fait parcourir , pendant un temps infini- ment petit, n° 1 18

Formules générales du mouvement varie', n° ne)

§ II. Mesures des forces, en ayant égard aux masses, page 221

Impropriété' de l'expression force d'inertie, n° 120

Ce qu'on doit entendre par des points matériels égaux en masse ; deux forces qui agissent sur deux points diffère ris , sont entre elles comme leurs masses multipliées parles vi- tesses produites par ces forces, dans un même instant, n° 121

Définition de la force motrice ; sa valeur dans un mouvement quelconque; elle se change en \me pression, quand le mou- vement est détruit, n° 122

De l'identité du mouvement des corps pesans en chaque lieu de la terre , on conclut la proportionnalité du poids à la masse, n° 11Z

Quand la force motrice est donnée , on en déduit la force ac- célératrice, en divisant par la masse du mobile; on prend, pour exemples , la résistance d'un milieu , et un poids donné , appliqué successivement à des masses différentes ,

nos 124 et T25

Définitions de la quantité de mouvement , et de la percussion ou impulsion; décomposition d'une percussion en deux autres; application au coin, n° 126

Condition de l'équivalence de deux percussions ; principe de l'équilibre dans le choc, d'après lequel deux corps dénués d'élasticité, qui vont à la rencontre l'un de l'autre, se ré- duisent au repos , quand les vitesses sont en raison inverse des masses, n9 127

Comment on peut comparer un poids et une percussion, n° 128

CHAPITRE II. Exemples du mouvement rectiligne^

page 2$j

Equations différentielles du mouvement rectiligne ; l'intégra- tion n'est possible , sous forme finie . que quand la force accélératrice est constante, ou donnée en fonction d'une

TABLE DES MATIÈRES. ïiij

seule des trois variables, le temps, la vitesse, l'espace par- couru, n° 129 Mouvement vertical d'un corps pesant dans le vide , n° i3o Mouvement de ce corps sur un plan incline', n° i3i Mouvement vertical d'un corps pesant dans un milieu résis- tant : lorsqu'il tombe d'une grande hauteur , sa vitesse ap- proche de plus en plus d'être constante ; moyen de déter- miner le coefficient de la résistance, par l'observation du temps total de l'élévation et de la chute successives d u mobile,

nos i32, i33., i34 et i35 Exemple de l'usage des solutions particulières dans les pro- blèmes de dynamique, n° i36 Mouvement d'un corps attiré versun centre fixe, soit en raison directe de la distance , soit en raison inverse du carré de la distance, nos 137 et i38 Mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes ; cas où ces deux centres sont ceux de la lune et de la terre ; dimi- nution de la vitesse d'un projectile, produite par sa pesan- teur vers le corps d'où il est parti, quand il est parvenu à une grande distance de ce corps, nos 13g, 140, 141, i42 et !4^

CHAPITRE III. Du mouvement curviligne^ page 26$

§ Ier. Formules générales du mouvement , ibid.

La détermination du mouvement curviligne d'un point ma- tériel se réduit à celle des mouvemens rectilignes de ses trois projections sur les axes des coordonnées, n° i44

Expression de la vitesse du mobile: sa direction est tangente à la trajectoire; les vitesses des trois projections sont ce qu'on appelle les composantes de la vitesse du mobile ; la composition et la décomposition des vitesses se font suivant les mêmes règles que la composition et la décomposition des forces, n° 145

Quelle que soit la variation de vitesse d'un point matériel , en grandeur et en direction, pendant un temps infiniment petit, il y a toujours une certaine direction pour laquelle

xiv TABLE DES MATIÈRES.

l'augmentation de vitesse est la plus grande, et perpendicu- lairement à laquelle les composantes de la vitesse ne sont ni augmentées, ni diminuées , n° 146

Cette direction déterminée est ce qu'on entend par la direc- tion de la force qui agit sur un point matériel en mou- vement ; en partant de cette définition, on démontre que t l'accroissement de la composante de la vitesse suivant une direction quelconque, pendant un instant, est uni- quement dû à la force qui agit suivant cette direction , et le même que si les autres forces n'existaient pas, n° 147

Construction de la trajectoire par points , qui résulte du prin- cipe précédent , et détermination de la vitesse et de la po- sition du mobile à chaque instant sur cette courbe, n° 148

Equations différentielles du mouvement curviligne, soit quand l'origine des coordonnées est fixe , soit quand elle est en mouvement, nos 149 et i5o

Equations différentielles du mouvement d'un point matériel sur une surface ou sur une courbe donnée ; expression de la force accélératrice suivant la tangente à la trajectoire, nos i5i et i52

^ II. Conséquences principales des formules précédentes ,

page 282

Intégrales premières des équations différentielles du mouve- ment curviligne, qui ont lieu quand la force est constam- ment dirigée vers un centre fixe , n° i53

Principe des aires, compris dans ces intégrales, nos i54 et i55

Elémens différentiels de l'aire et de la longueur d'une courbe, rapportés aux coordonnées polaires ; composantes de la vi- tesse d'un mobile relatives à ces coordonnées ; définition de la vitesse angulaire , n° i56

Intégrale première des équations du mouvement, qui donne dans un cas très général, le carré de la vitesse du mobile, in- dépendamment de la courbe décrite ; cette vitesse est cons- tante , quand le mobile , entièrement libre, ou obligé de se mouvoir sur une surface ou sur une courbe donnée, n'est sollicité par aucune force accélératrice ; l'intégrale a lieu

TABLE DES MATIÈRES. xV

toutes les fois que le mobile est soumis à des forces di- rige'es vers des centres fixes et dont les intensités &ont des fonctions de la distance à ces points, nos 157 et i58

Expression de la vitesse d'un corps pesant sur une courbe quelconque, en fonction de la hauteur dont le mobile est tombé ; conséquences immédiates qui s'en déduisent, n° i5c)

Propriété du mouvement d'un point matériel à laquelle on a donné le nom de principe de la moindre action , n° ï6o

En vertu de ce principe, un point matériel obligé de se mouvoir sur une surface donnée , et qui n'est sollicité par aucune force accélératrice, décrit, en général, la ligne la plus courte d'un point à un autre ; en formant l'équation diffé- rentielle de la trajectoire, on prouve que cette ligne la plus courte a partout ,son plan oscillateur, normal à la surface donnée , n° 161

§ III. Digression sur le mouvement de la lumière , page 3oi

Dans le système de Y émission , les lois générales de la réfrac- tion et de la réflexion se déduisent facilement du principe de la moindre action, nos 162, i63 et 164

Equations différentielles du mouvement d'un rayon de lu- mière, à son passage d'un milieu dans un autre ; consé- quences de ces équations relativement à deux cas différens de réflexion , et à la réfraction ; direction d'un rayon qui a traversé deux surfaces parallèles ; phénomène de la disper- sion , nos i65, 166 et 167

La composition de la vitesse propre delà lumière avec celle de la terre, qui produit le phénomène de Y aberration, n'a ce- pendant aucune influence appréciable sur la grandeur de la réfraction ; dans le vide , la vitesse de la lumière , directe ou réfléchie, est la même, soit qu'elle nous vienne du so- leil, des étoiles, ou des planètes; grandeur de cette vi- tesse ; diminution qu'elle a dû éprouver en vertu de la pesanteur des rayons lumineux vers le soleil, n° 168

xvi

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE IV. De la force centrifuge, page 5i8

Définition de la force centrifuge; détermination de cette force motrice, par la considération de la vitesse normale dé- truite à chaque passage du mobile , d'un élément de sa tra- jectoire à l'élément suivant ; l'angle de contingence étant infiniment petit , ce passage ne produit aucune diminution dans la vitesse suivant la tangente ; détermination complète en grandeur et en direction, de la pression exercée sur la tra- jectoire , en vertu de la force centrifuge et des forces don- nées qui agissent sur le mobile , n09 169 et 170

Calcul des trois composantes de cette même pression , d'après les équations différentielles du mouvement, n° 171

Conséquences que l'on déduit de la valeur de cette pression et de sa direction , lorsque le mobile est assujetti à se mouvoir sur une surface donnée , et quand il est entièrement libre ,

nos 172 et i^3

Détermination de la force centrifuge , d'après la considération du mouvement circulaire , nc 1 74

Comparaison de la force centrifuge dans le cercle , à la pesan- teur ; tension d'un fil chargé d'un poids, et tournant autour d'un point fixe , n° i^5

Diminution de la pesanteur , à l'équateur et sur les différens parallèles , produite par la force centrifuge qui résulte de la rotation de la terre ; variation totale de la pesanteur, due à cette cause et à l'applatissement du sphéroïde terrestre ,

nos 176, 177 et 178

CHAPITRE V. Exemples du mouvement dun point matériel sur une courbe ou sur une surface donnée,

page 337

$ Ie*. Oscillations du pendule simple , ibid.

Définition du pendule simple; on fera voir par la suite qu'il y a toujours un pendule simple dont le mouvement est le même, dans le vide ou dans l'air , que celui d'un pendule donné , n° 1 79

TABLE DES MATIÈRES. XYij

Formule différentielle du mouvement du pendule simple dans le vide, n° i8o

Cas où cette formule s'intègre sous forme finie, n° 181

Cas des oscillations très petites, n° 182

Sur une courbe quelconque, les oscillations infiniment pe- tites d'un point matériel pesant, ont une durée de gran- deur finie et indépendante de la grandeur de leur ampli- tude, 11° i83

Correction qu'il faut faire à la durée des oscillations très pe- tites d'un pendule simple , pour en conclure la durée de ses oscillations infiniment petites, n° 184

Réduction en série du temps d'une oscillation de grandeur quelconque, n° ^5

Mouvement du pendule simple dans l'air , lorsque la résis- tance est supposée proportionnelle à la vitesse : les ampli- tudes successives des oscillations très petites, décroissent en progression géométrique ; leur durée n'est pas sensible- ment altérée par la résistance du milieu , nos 186 et 187

Mouvement du pendule simple dans l'air, quand la résistance est supposée proportionnelle au carré de la vitesse ; loi du décaissement des amplitudes successives ; dans le cas des petites oscillations , on démontre que la durée d'une demi- oscillation ascendante est autant diminuée , que celle de l'oscillation descendante qui précède , a été augmentée,

nos 188, 189 et 190

Correction dans la longueur du pendule et dans la durée des petites oscillations, qu'on appelle la réduction au -vide • augmentation qu'on doit faire subir à cette correction à raison de l'état de mouvement de l'air, n° iqi

En chaque lieu de la terre, la mesure delà pesanteur est pro- portionnelle à la longueur du pendule à secondes; valeurs de ces deux quantités à l'Observatoire de Paris ; les expé- riences du pendule prouvent qu'en chaque lieu de sa surface, l'attraction de la terre est la même sur les matières de la nature la plus différente , no IC)2

Valeur de la pesanteur et de la longueur du pendule à secondes

h

xviij TABLE DES MATIÈRES.

en fonctions de la latitude; retard d'une horloge re'glée à Paris sur le temps sidéral, et ensuite transportée à l'équa- teur, nc 193

§ II. Mouvement sur la cjcloïde , page 368

Le temps de la chute d'un point mate'riel pesant sur la cy- cloïde , est indépendant de l'élévation du point de dé- part au-dessus du point le plus bas , soit que le mouve- ment ait lieu dans le vide, ou qu'il ait lieu dans l'air, quand on suppose la résistance proportionnelle à la vitesse,

nos i94et J9^

Pendule cycloïdal , ^196

Dans le vide , la cycloïde est la seule courbe tautochrone ,

n° 197

Recherche de la brachjstochrone dans le vide ; formules rela- tives au cas où la ligne de la plus vite descente devrait être tracée sur une surface donnée ; formules relatives au cas où sa longueur serait donnée, qui serviront à résoudre, dans la suite, un autre problème de la même nature, nos 198, 199 ,

200 et 201

On trouve pour la brachystocrone proprement dite , l'équa- tion d'une cycloïde située dans un plan vertical ; cas où le point de départ et le point d'arrivée appartiennent à une même verticale , n° 202

§ III. Mouvement sur une surface donnée , Page 385

Equations différentielles du mouvement du pendule simple qui ne se meut pas dans un plan fixe , n° 2o3

Formules différentielles relatives aux oscillations coniques du pendule simple dans le vide , nos 204 et 2o5

Cas des petites oscillations ; cas où le pendule décrit unifor- mément la surface d'un cône droit à base circulaire ; la courbe décrite par la projection horizontale du mobile, est toujours une ellipse dont le centre est le point de suspension,

nos 206 et 207

TABLE DES MATIÈRES. xix

CHAPITRE VI. Exemples du mouvement d'un mo- bde entièrement libre , Page ^96

La trajectoire d'un point matériel pesant dans le vide-, est une parabole ; amplitude du jet; vitesse en un point quelcon- que, n° 208

La vitesse initiale étant donnée, trouver sa direction, pour que le projectile atteigne un but donné ; courbe au-delà de laquelle le projectile ne peut arriver , n° 209

Equations du mouvement d'un projectile dans l'air ; construc- tion, par points, de la trajectoire ; calcul du temps; expres- sion de la vitesse en un point quelconque, nos 210,211 et 212

Quand le mobile s'est élevé à une grande hauteur, son mou- vement, en retombant, approche de plus en plus d'être vertical et uniforme ; détermination de Y asymptote verticale de la branche descendante, n° 21 3

L'autre branche de la trajectoire a aussi une asymptote ; di- rection de cette droite, et sa distance au point de départ du mobile , n° 214

Equation de la trajectoire, dans le cas d'un petit angle de pro- jection ; calcul de la portée horizontale et du temps du trajet , d'après la grandeur de la vitesse initiale; différentes valeurs de la portée et de la vitesse qui sont données par l'observation ; incertitude sur la grandeur du coefficient de la résistance; moyens de le déterminer par l'expérience,

n08 2i5 et 216

§ II. Mouvement des planètes, page 4*5

Lois de Kepler, n° 217

Equations fournies par les deux premières de ces lois , n° 2 1 8

Définition de quelques termes employés en Astronomie; durée

de Tannée sidérale et de l'année équinoxialej grandeur de

la précession annuelle des équinoxes, n° 219

Expressions des deux coordonnées polaires de la planète et du

temps, en fonctions de Y anomalie excentrique , n° 220

Méthode pour réduire le rayon vecteur et l'équation du centre

b..

xx TABLE DES MATIÈRES.

en séries ordonnées suivant les cosinus et les sinus des mul- tiples du moyen mouvement , n° 22 1

Formules qui déterminent en un point quelconque de l'el- lipse décrite par une planète , la grandeur et la direction de sa vitesse , n° 222

Position d'une planète par rapport à un plan quelconque ; sa longitude et sa latitude, son ascension droite et sa décli- naison; obliquité de l'écliptique ; sa diminution annuelle ; grandeur et période de la nutation , n° 223

On conclut des trois lois de Kepler, que la force qui retientles planètes vers leurs orbites est constamment dirigée vers le centre du soleil; qu'elle varie pour chaque planète , suivant la raison inverse du carré de la distance à ce point ; qu'à l'unité de distance, la force accélératrice est la même pour toutes les planètes : ces lois s'étendent aux comètes et aux mouvemens des satellites autour de leurs planètes res- pectives , et aux mouvemens relatifs des étoiles doubles ,

nos 224 , 225 et 226

Equations différentielles du mouvement d'une planète dans un milieu résistant : on complète le nombre des constantes arbitraires que doivent renfermer leurs intégrales trouvées précédemment, pour le cas où l'on néglige la résistance,

nos 227 et 228

Méthode de la variation des constantes arbitraires, pour l'in- tégration des équations différentielles, noS 229 et 23o

Application de cette méthode aux équations du mouvement d'une planète ou d'une comète dans un milieu résistant ; pourquoi la résistance de Yéther peut être appréciable dans le mouvement d'une comète et insensible dans le mouvement d'une planète , n° 281 , z32 et 233

5 III. Mouvement d'un point matériel soumis à une force cen- trale , Page 446

Equations du mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe, par une force donnée en fonction de la distance à ce centre, n° 234

TABLE DES MATIÈRES. xxj

Cas où la force est proportionnelle à la distance , n° 235

Cas où la force est en raison inverse du cube de la distance,

n° a36

Cas où la force est en raison inverse du carre' de la distance ;

la trajectoire peut être alors une des trois sections coniques;

circonstances qui déterminent chacune des trois courbes,

nos 237 et 238

Examen spécial du mouvement parabolique ; en quoi consiste

le problème astronomique de la détermination complète de

l'orbite d'une comète , nos 239 et 240

CHAPITRE VII. Digression sur l'attraction univer- selle, page 463

Loi de Y attraction universelle, n° 2^1

Force motrice résultant de l'attraction mutuelle du soleil et d'une planète ; invariabilité du pouvoir attractif, n° 242

Force accélératrice d'une planète dans son mouvement autour du soleil ; correction qu'on doit faire à la troisième loi de Kepler ; petitesse des masses des planètes par rapport à la masse du soleil , n° 243

Énoncé des différentes sortes de perturbations du mouvement elliptique des planètes, produites par leur attraction mu- tuelle : ces effets observés font connaître les masses des pla- nètes perturbatrices, en prenant celle du soleil pour unité; invariabilité des grands axes ; le mouvement de la lune s'ac- célère de siècle en siècle, n° 244

Autre moyen de déterminer les masses des planètes accompa- gnées de satellites , no «^5

Calcul des forces provenant de l'action du soleil et de la lune, pour soulever les eaux de la mer ; masse de la lune conclue du jlux lunaire comparé anjlux solaire; diminution de la pesanteur à la surface de la terre , produite par Faction de la lune , nos 246 et 247

A la distance de la lune à la terre , la pesanteur terrestre est à très peu près égale à la force qui retient ce satellite dans son Orbite , no ^8

xxij TABLE DES MATIÈRES.

Détermination de la masse de la terre ; parallaxe du soleil ; sa densité' ; sa distance à la terre ; détermination exacte du grand axe de l'orbite d'une planète dont la masse est cou- nue , nos 249 et 25o Déviation du fil à plomb produite par les attractions lo- cales, n° 25 1 Balance de torsion, propre à mesurer les forces très petites -r expérience de Cavendish $ densité moyenne de la terre,

nos 2,52 et 253 Stabilité de l'équilibre des mers, résultant de ce que cette den- sité est plus grande que celle de l'eau ; accroissement des densités des couches de la terre, en allant de sa surface au centre ; inégalité du mouvement de la lune , due à la non- sphéricité de la terre ; influence des attractions locales sur la longueur du pendule à secondes , n° 254

Réduction au niveau des mers, de la longueur du pendule, observée à une élévation donnée, n° 255

LITRE TROISIÈME.

STATIQUE, SECONDE PARTIE.

CHAPITRE Ier. De V équilibre d'un corps solide,.

Page 497

Remarque sur la compressibilité et le changement de forme du corps que l'on va considérer, n° 256

Transformation d'un système de forces quelconques , appli- quées à un corps solide, en trois groupes de forces, le pre- mier composé de forces perpendiculaires à un plan donné, le deuxième, de forces parallèles et comprises dans ce plan , et le troisième, de forées dirigées suivant une droite perpendi—

TABLE DES MATIÈRES. xxiij

culaire aux précédentes et tracée dans ce même plan ,

nos 257, 258 et i5y

Équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre d'un corps

solide entièrement libre , n° 260

Ces équations sont encore nécessaires pour l'équilibre de

tout autre système qui ne renferme aucun obstacle fixe,

n° 261 Cas particuliers des forces parallèles et des forces qui sont toutes comprises dans un plan , n° 262

Condition pour que des forces données aient une résultante unique ; équations de cette résultante ; sa grandeur et sa di- rection; dans tous les cas, les forces données peuvent se réduire à deux, d'une infinité de manières différentes ,

nos 263 et 264 Équations d'équilibre de deux corps solides qui s'appuient l'un contre l'autre , n° 2Ô5

Équations d'équilibre d'un corps solide retenu par ries obsta- cles fixes , dans les principaux cas qui peuvent se pré- senter, n° 266 Transformation de l'équation d'équilibre relative à un axe fixe , n° 267 Équilibre d'un corps pesant sur un plan incliné , n° 268 Mesure du frottement à l'instant où l'équilibre va se rompre,

n° 269 Charges des différens pieds d'une table horizontale qui sup- porte un poids donné; à quoi tient l'indétermination appa- rente du problème, n° 2no

CHAPITRE II. Théorie des momens^ Page 526

Les forces étant représentées par des lignes droites, leurs momens sont représentés par des aires planes : le théorème du n° 46, relatif au moment de la résultante de deux forces, est alors une proposition de Géométrie dont on donne la démonstration , n° 271

Le moment de la projection d'une force sur un plan est îa

xxiv TABLE DES MATIÈRES.

projection du moment de cette force sur ce même plan,

n° 272 Ce qu'on entend par le moment d'un système de forces par rapport à un axe ; les momens d'un même système par rap- port à deux axes situés dans le prolongement l'un de l'au- tre, sont e'gaux et de signe contraire; il en est de même à l'égard des momens par rapport à un même axe, de deux systèmes de forces égales et contraires , n° 273

Expressions des momens d'un système de forces par rapport aux trois axes des coordonnées positives de leurs points d'ap- plication ; comment on détermine les signes des termes de ces formules, n° 274

Valeurs des cosinus des angles relatifs à la direction de la normale au plan qui contient une droite et un point donné,

n° 2^5 Formules relatives aux projections d'un système d'aires planes sur différens plans; identité de ces formules et de celles qui répondent aux projections des lignes droites sur d'autres droites, nos 276 et 277

Plan et grandeur de Taire minima; propriété caractéristique de ce plan , nos 278, 279 et 280

Propriétés des momens , déduites de celles des aires planes ; identité de la composition des momens et de la composition des forces , résultant de celle des projections des aires planes et des projections des lignes droites, n° 281

Moment principal d'un système de forces ; nouvel énoncé des conditions d'équilibre de ce système ; conditions pour que deux systèmes de forces soient équivalens, n° 282

Variation du moment principal, produite par le déplacement du centre des momens; momens principaux minima; com- ment on en déduit la condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une résultante unique , nos 283 et 284

TABLE DES MATIÈRES.

XXV

CHAPITRE III. Exemples de L'équilibre cUun corps flexible > page 55 1

§ Ier. Équilibre du polygone funiculaire, ibid.

Dans l'état d'équilibre du polygone , il faut que chaque

' côté soit tiré, suivant ses prolongemens , par des forces égales et contraires ; équations nécessaires pour l'équilibre des forces appliquées au polygone , n° 285

Construction de la figure du polygone en équilibre ; calcul des tensions de ses côtés ; cas où ses points extrêmes sont sup- posés fixes, nos 286 et 287

Les extensions des côtés du polygone sont proportionnelles aux tensions qu'ils éprouvent , n° 288

Quand un des nœuds du polygone est remplacé par un anneau, la force appliquée en ce point doit partager en deux parties égales l'angle des deux côtés adjacens, n° 289

Condition relative aux directions des forces qui doivent avoir lieu dans tous les systèmes de points matériels en équilibre, et dont la précédente est un cas particulier, n° 290

Équilibre d'un polygone chargé de poids ; pressions éprouvées par les points fixes auxquels il est attaché , n° 291

Remarque analogue à celle du n° 270 , sur les tensions des cordons qui supportent un poids donné : quel que soit le nombre de ces cordons , leurs tensions et les charges des points fixes peuvent se déduire de la mesure des allonge— mens, n° 292

5 II. Equilibre d'un jîl flexible, Page 565

Équations d'équilibre d'un fil pesant, d'abord au nombre de trois , et qui se réduisent ensuite à deux , n° 293

Intégrales de ces équations sous forme finie ; équation de la chaînette; expression de la tension en un point quel- conque, n° 294

Calcul de la tension au point le plus bas , et des charges que supportent les deux points de suspension , n° 295

xxrj TABLE DES MATIÈRES.

Parmi toutes les courbes isopêrimetres , la chaînette est celle qui a son centre de gravite' le plus bas , n° 296

Cas où les forces verticales qui agissent sur les éle'mens du fil sont proportionnelles à leurs projections horizontales ; la courbe d'e'quilibre est alors une parabole ; calcul de la ten- sion au point le plus bas, et des charges des points ex- trêmes , qui peut être utile dans la construction des chemins de fer y n° 297

Equations d'équilibre d'un fil sollicite' par des forces quelcon- ques , n° 298

Cas d'un fil pesant suspendu verticalement à un point fixe et chargé d'un poids à son extre'mite' inférieure ; calcul de son allongement total , n° 299

Expression de la tension dans le cas général ; la courbe est déterminée par deux équations différentielles secondes ; va- leur du rayon de courbure d'après la direction de la tan- gente en chaque point , n° 3oo

Application des formules précédentes au cas d'un fil tendu sur la surface d'un corps solide , par des forces appliquées à ses extrémités, et qui sont les seules qui le sollicitent ; la tension est la même dans toute sa longueur ; dans son état d'équi- libre stable , le fil trace sur la surface la ligne la plus courte d'un point à un autre; la pression exercée en chacun des points de la surface est en raison inverse du rayon de cour- bure de cette ligne, et proportionnelle à la tension,

nos 3oi et 3o2

Ces résultats sont rnodifie's par le frottement du fil contre la surface du corps solide; calcul du frottement d'un fil sur la gorge d'une poulie fixe , n° 3o3

On vérifie les six équations générales de l'équilibre du n° 261, dans le cas de l'équilibre d'un fil flexible; usage de ces équations pour déterminer les coordonnées des points ex- trêmes, quand ils sont libres, ou les pressions qu'ils éprou- vent, lorsqu'ils sont fixes et donnés de position, nos 3o4

et 3o5

TABLE DES MATIÈRES. xxvij

§ III. Equilibre d'une verge élastique, Page 5g8

Condition pour qu'une verge soit élastique par flexion ; diffé- rens effets que ses parties e'prouvent lorsqu'on l'a écarte'e de sa position d'équilibre ; définition de la lame élas- tique, n° 3 06

Hypothèses relatives aux forces qui résultent de l'extension ou contraction des filets longitudinaux et de la grandeur de leur courbure ; valeur de la force totale de contraction d'un élément de la lame ; valeur du moment d'élasticité, n° 307

Dans la courbe élastique proprement dite , la tension est cons- tante et n'influe pas sur la courbure de la lame ; équation différentielle de cette courbe ; conditions relatives à ses ex- trémités , nos 3 08 et 3og

Cas où la lame est horizontale , encastrée par un bout , et chargée d'un poids donné à son autre extrémité ; calcul de la flexion totale ; comparaison de l'extension et de la flexion d'une lame, qui peuvent être produites par un même poids, n°3io

Cas où la lame est un ressort vertical posé sur un plan hori- zontal, et chargé d'un poids à son extrémité supérieure; examen détaillé des différentes formes que ce ressort pourra prendre, nos 3n et 3i2

Ce qu'on entend par la force d'un ressort ; calcul de cette force d'après l'extension ou d'après la flexion du ressort, produites par un poids donné, n° 3i3

Extension des résultats précédens au cas d'une verge élastique, droite ou courbe , qui n'a pas été tordue sur elle-même ; ce qu'on entend alors par le filet moyen; valeur du moment d'élasticité, n°3i4

Formule qui donne la flexion d'une verge droite, au moyen de la force de ce ressort ; calcul de cette force dans différentes hypothèses sur le contour de la section normale; compa- raison de la force d'un ressort creux à celle d'un ressort plein, n°3i5

xxviij TABLE DES MATIÈRES.

Valeur de la différentielle de la tension en un point quelconque d'une verge élastique dont tous les points sont sollicités par des forces quelconques; une verge tirée, par une extrémité, augmente de volume en même temps qu'elle s'allonge, n° 3i6

Équations générales de l'équilibre d'une verge élastique, en ayant égard à la torsion , n° 3 i 7

Le moment de la torsion est constant dans toute la longueur de la verge ; sa valeur, d'après les forces qui agissent à l'une des extrémités , . , n° 3 1 8

Réduction des trois équations générales à une seule , quand le filet moyen est une courbe plane ; équations relatives aux forces particulières qui agissent aux deux extrémités de la verge , n° 3 1 9

Cas de la verge uniformément pesante; détermination de sa fi- gure ; calcul de sa flexion et des charges des points d'appui ,

nos 320, 3a 1 et 322

Cas où la charge totale de la verge est inégalement répartie entre ses différées points ; formule de Lagrange , pour ex- primer en série de quantités périodiques les valeurs d'une fonction donnée, dans une étendue aussi donnée des valeurs de la variable , n° 323

Détermination de la figure d'une verge chargée d'un poids suspendu à son milieu ; calcul de sa flexion et des charges de ses points d'appui , n° 324

Démonstration de la formule précédemment citée (n° 323); au- tres formules de la même nature , nos 325 et 326

Usage des formules de ce genre pour la sommation des sé- ries , n° 327

Formule de Fourier, déduite des précédentes , n° 328

CHAPITRE IV. Principe des vitesses virtuelles,

page 654 Vérification de ce principe dans le cas de deux forces appli- quées à une moufle, un treuil, une vis , un levier, nos 329

et 33o Équation générale de l'équilibre d'un système quelconque de

TABLE DES MATIÈRES. xxix

points matériels , qui résulte du principe des vitesses vir- tuelles ; cette équation n'a lieu que pour les mouvemens in- finiment petits, compatibles avec les conditions du système, et dont les mouvemens contraires sont également possibles ; elle a déjà été démontrée n° 3g, dans le cas d'un point ma- tériel isolé , n° 33 1 Notions relatives aux tensions et aux contractions qui ont lieu entre les liens physiques des points d'un système en équi- libre ; manière de représenter ces forces intérieures ; ma- nière de représenter les variations de distance des points du système ; équation qui a lieu entre la variation totale et les variations partielles de chaque distance , nos 332 et 333 Démonstration très générale du principe des vitesses virtuelles,

nos 334 et 335 On fait voir que la proposition directe étant prouvée , la pro- position inverse en est une conséquence immédiate , n° 336 Ce principe a aussi lieu dans l'équilibre des fluides, ainsi qu'on le fera voir par la suite ; autre démonstration de ce principe, fondée sur la considération des moufles, nos 33 7, 338 et 339 On peut déduire du principe des vitesses virtuelles les règles du parallélogramme des forces et de la composition des forces parallèles ; comment on en conclut les équations d'é- quilibre d'un corps solide précédemment trouvées , n° 3^q Transformation de l'équation générale des vitesses virtuelles ; règles pour en déduire toutes les équations d'équilibre d'un système de points matériels, dont les liaisons sont exprimées par des équations entre leurs coordonnées, nos 341 et 342 On déterminera , en même temps, en grandeur et en direction, les forces intérieures qui résultent de ces liaisons ; le prin- cipe des vitesses virtuelles est nécessaire pour faire con- naître , relativement à deux ou plusieurs points liés par une même équation, les rapports de grandeur de ces forces, dont la remarque du n° 290 ne détermine que les direc- tions , nos 343 et 344 Application des formules précédentes à l'exemple du polygone funiculaire , n° 345

xxx TABLE DES MATIÈRES.

Propriété de maximum ou de minimum qui a lieu dans l'é- quilibre d'un système de points matériels soumis à leurs attractions ou répulsions mutuelles, en fonctions des dis- tances , et à d'autres forces semblables , dirigées vers des centres fixes , n° 346

Distinction entre l'équilibre stable et l'équilibre instantané,

Propriété du centre de gravité d'un système de corps pesans dans ces deux états d'équilibre , n° 348

Exemple de la stabilité et de la non-stabilité de ce sys- tème , n° 349

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU PREMIER VOLUME.

Errata.

Page 1 1 , ligne 8, cos a. cos *' cos Ç + cos £*, lisez cos et cos et-j- cos Ccos C

</z . d x

29, 2 en remontant , -j-^, mes y-^

30, 12 et 16, MO , /«ez mO

8 en remontant, Mm, lisez M/rc et mm'

82, 9, angle AMB, lisez AMA'

i85, 8 en remontant, le point O, lisez le point O (fig. 3a)

ds dx

237, 6, -, &<« -

285, 5 en remontant, OMN, lisez WN

372, 8, le centre, lisez le centre de courbure

4*i, 10, OH=r, &ez OH = -: — -1

sm t

4i6, 7 en remontant, 5- et, lisez et

4"8, 4 en remontant, 27,5, lisez 29,5

479, 5, 27 fois, lisez 29 fois

6, i35 mètres, /«'ses i45 mètres

524, i4j trois, Zwez quatre

565, 2 en remontant, un autre point , lisez un autre point M'

6oï, 16, ces deux, lisez les deux

623, 5 en remontant, -, lisez -

7T f

658, 14, CB, lisez CA

16, AC, lisez BG

JYota. Les fautes des pages 478, 479 et 6*23, ont e'te' corrige'es dans le pins grand nombre des exemplaires.

TRAITÉ

DE MÉCANIQUE.

INTRODUCTION.

i . La matière est tout ce qui peut affecter nos sens d'une manière quelconque.

Les corps sont des portions de matière limitées en tous sens, et qui ont, par conséquent, une forme et un volume déterminés. On appelle masse d'un corps, la quantité de matière dont il est composé.

Un point matériel est un corps infiniment petit dans toutes ses dimensions ; en sorte que la longueur de toute ligne comprise dans son intérieur, est infi- niment petite, c'est-à-dire, moindre que toute lon- gueur qu'on puisse assigner. On peut regarder un corps de dimensions finies, comme un assemblage d'une infinité de points matériels, et sa masse comme la somme de toutes leurs masses infiniment petites.

2. Un corps est en mouvement , lorsque ce corps ou ses parties occupent successivement différens lieux dans l'espace. Mais Y espace étant infini et partout identique, nous ne pouvons juger de l'état de mou- vement ou de repos d'un, corps, qu'en le compa- rant à d'autres corps ou à nous-mêmes; et, pour

i.

a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

cette raison, tous les mouvemens que nous obser- vons sont nécessairement des mou vemens relatifs.

Tous les corps sont mobiles; mais la matière ne se meut jamais spontanément; car il n'y aurait pas de raison pour qu'un point matériel se dirigeât plutôt d'un coté que de l'autre ; et, en effet , si nous considé- rons un corps à l'instant où il passe de Tétat de repos à l'état de mouvement, nous reconnaissons toujours que ce changement est dû à l'action d'une cause étrangère ou sans laquelle nous concevons que ce corps pourrait d'ailleurs exister.

i On donne, en général, le nom de force à la cause quelconque qui met un corps en mouvement, ou seu- lement qui tend à le mouvoir, lorsque son effet est suspendu ou empêché par une autre cause.

3. Lorsque plusieurs forces sont appliquées à la fois à un même corps, elles se modifient réciproque- ment, en vertu de la liaison qui existe entre ses par- ties, et qui les empêche de prendre le mouvement que tend à imprimer à chacune d'elles, la force à la- quelle elle est soumise. Il peut même arriver que ces forces se détruisent complètement, de sorte que le corps ne prenne aucun mouvement : on appelle équi- libre cet état particulier d'un mobile, qui reste en repos quoiqu'il soit sollicité par plusieurs forces, ou autrement, on dit que ces forces se font équilibre.

La Mécanique est la science qui traite de l'équilibre et du mouvement des corps. La partie dont le but est, en général , de découvrir les conditions de l'équilibre, se nomme Statique. On appelle Dynamique l'autre partie, qui a pour objet de déterminer le mouvement

INTRODUCTION. 3

que prend un mobile, quand les forces qui lui sont appliquées ne se font pas équilibre.

Les géomètres étant parvenus , comme on le verra dans la suite, à réduire toutes les questions de mou- vement à de simples problèmes d'équilibre , il serait naturel d'exposer d'abord la Statique entière et en- suite la Dynamique ; mais, pour faciliter l'intelligence des matières, il a paru préférable, dans l'enseigne- ment, de s'occuper de la partie la plus simple de la Dynamique , avant de considérer les questions géné- rales de l'équilibre. C'est cet ordre que je suivrai dans cet ouvrage.

4. Il y aura trois choses à considérer dans une force agissant sur un point matériel : la position de ce point, l'intensité de la force et sa direction, c'est- à-dire, l'espace rectiligne qu'elle tend à faire parcou- rir à son point d'application. Toutefois, on ne doit pas confondre un point matériel avec ce qu'on ap- pelle un point en Géométrie, où ce mot désigne l'ex- trémité d'une ligne, ou l'intersection de deux ligues qui se coupent; l'espace que parcourt un point ma- tériel n'est pas non plus une ligne privée de deux di- mensions; mais ce corps étant infiniment petit en tous sens, et la largeur et l'épaisseur de Fespace que la force tend à lui faire décrire, étant aussi infini- ment petites, on déterminera sa position et la direc- tion de cette force, de la même manière que l'on dé- termine la position d'un point et la direction d'une droite en Géométrie.

Ainsi, d'abord, la position dans 3'espace, du point d'application d'une force, se déterminera, en général,

1..

4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

au moyen de ses trois coordonnées parallèles aux in- tersections de trois plans rectangulaires ; ce qui , comme on sait, ne laissera aucune indécision, quand on aura égard, en même temps, au signe et a la gran- deur de chaque coordonnée. Quelquefois aussi, nous emploierons les coordonnées polaires, savoir : le rayon vecteur du point donné, ou sa distance à leur origine, l'angle que fait ce rayon avec une droite fixe menée par cette origine, et l'angle compris entre le plan de ces deux droites et un plan fixe passant par la seconde.

5. Les forces ne peuvent se mesurer qu'en prenant pour unité une force convenue , et en exprimant par des nombres les rapports des autres forces à cette unité ; ce qui exige que l'on définisse, d'une manière précise, ce que l'on doit entendre par une force égale à une autre, et par une force double, triple, qua- druple, . . . d'une autre , indépendamment de la na- ture particulière de ces diverses causes de mouvement.

Deux forces sont égales lorsqu'étant appliquées en sens contraire l'une de l'autre, à un même point matériel ou à deux points liés par une droite qui ne peut changer de longueur, elles se font équilibre.

Si , après avoir reconnu que deux forces sont égales, on les applique dans la même direction à un même point, on aura une force double; si l'on réunit ainsi trois forces égales , on aura une force triple ; si l'on en réunit quatre, on aura une force quadruple; et ainsi de suite.

Lors donc que nous dirons qu'une force, appliquée ii un point matériel, est un certain multiple d'une

INTRODUCTION. 5

autre force, il faudra entendre que la première peut être regardée comme formée d'un certain nombre de forces reconnues égales à la seconde , et agissant dans une même direction. C'est de cette manière que les forces deviennent, quelle que soit leur nature parti- culière, des quantités mesurables que Ton peut ex- primer par des nombres, comme toutes les autres sortes de quantités, en les rapportant à une unité de leur espèce» On peut aussi représenter leurs intensités par des lignes proportionnelles a ces nombres, que l'on porte sur leurs directions, à partir du point où elles sont appliquées ; ce qui a l'avantage de simplifier l'é- noncé des théorèmes.

6. Les points d'application des forces et leurs in- tensités étant ainsi déterminés, il ne nous reste plus qu'à nous occuper de leurs directions.

Soit M ( fîg. ire), le point d'application d'une force; représentons sa direction par la droite MD, de manière que cette force tende à faire avancer le point M, de M vers D; par le point M menons trois axes rectangulaires MA , MB, MC, qui seront, en gé- néral, parallèles aux axes des coordonnées, et dirigés dans le sens des coordonnées positives ; désignons par cl , £ , y , les angles aigus ou obtus que la direction MD fait avec ces axes, de sorte qu'on ait

AMD = a, BMD = £, CMD = y;

je dis que cette direction sera complètement déter-^ minée quand ces trois angles seront donnés»

En effet, en ayant seulement égard aux deux an- gles cl et £? il faudra que la ligue MD se trouve à la

6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

fois sur deux cônes droits, dont le sommet commun est au point M, et qui ont pour axes les droites MA et MB. Il faudra donc que et et é soient tels , que ces deux cônes puissent se couper ; ce qui aura lieu alors suivant deux arêtes situées dans un même plan perpendiculaire au plan AMB, et qui feront, avec l'axe MC, deux angles supplémens l'un de l'autre. La droite MD pourra donc encore avoir deux posi- tions différentes ; mais l'angle y étant aussi donné , on saura s'il est aigu ou obtus, et l'on pourra choisir entre ces deux positions celle qui convient à la direc- tion de la force.

Cette construction montre, en outre, que lès an- gles a, G, y, ne peuvent pas être pris tous les trois au hasard. Il existe effectivement entre les cosinus des angles qu'une même droite MD fait avec trois axes rectangulaires, une équation

cosa et + cosa £ -f- cos* y = i , (i)

que l'on démontre en prenant sur la droite MD, à partir du point M, une ligne égale à l'unité, et for- mant un parallélépipède rectangle, dont cette ligne soit la diagonale, et qui ait ses trois côtés adjacens sur les trois axes MA, MB, MC. Ces trois côtés se- ront les cosinus des angles a, g, y; et la somme de leurs carrés devant être égale au carré de la diago- nale, d'après une théorème connu , il en résultera l'é- quation qu'on vient d'écrire.

7. On adoptera, dans ce Traité, la division de la circonférence eu 56o% du degré en 60 minutes et de la minute en 60 secondes. La lettre tt sera constam-

INTRODUCTION. 7

ment employée à représenter la demi-circonférence, dont le rayon est égal à l'unité ; de sorte que l'on aura

7T = 3,1415926...

Le quart de la circonférence répond à l'angle droit ou à l'angle de 5 24000"; il s'ensuit que la longueur de l'arc correspondant à un angle d'un nombre quel- conque n de secondes , sera le quatrième terme d'une proportion, dont les trois premiers seront \7r, n et 524000". En désignant cette longueur par <sr , il en ré- sultera

n

206264,8. . .' Le logarithme ordinaire de ce diviseur constant est

5,3i4425i«

Dans les calculs numériques, ce sont les arcs ainsi calculés qu'on devra employer à la place des angles qui ne seront pas compris sous les signes trigonomé- triques sin, cos, tang.

Pour qu'on puisse, au moyen des angles et, £, y , représenter la direction d'une force dans toutes les positions possibles autour de son point d'application, il faudra et il suffira qu'ils s'étendent depuis zéro jus- qu'à 1800 inclusivement. Si, par exemple, l'axe MC est au-dessus du plan des deux autres axes MA et MB, l'angle y devra être plus petit ou plus grand que 900, selon que la droite MD sera située au-dessus ou au- dessous de ce plan • il sera zéro quand la direction MD coïncidera avec MC, et égal à 1800 quand MD coïncidera avec le prolongement MC' de MC. Les co- sinus de a , 6 y y, pourront donc être positifs ou né-

8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

gatifs; mais leurs sinus seront toujours positifs, puis- que ces angles ne dépasseront jamais i8o°.

En général, si nous considérons le prolongement MD' de la droite quelconque MD , il est évident que les angles qu'il fait avec les trois axes sont supplémens de et , ê, y. En faisant donc

AMD' == et', BMD' = €', CMD' = y%

nous aurons

cosa;= — cosa, cos €A=:<— cos£, cos^'= — cosy;

d'où il suit que les directions de deux forces qui agis- sent en sens contraire sur un même point M , Tune suivant MD, l'autre suivant MD', se distingueront l'une de l'autre par les signes des cosinus des angles qui leur correspondent.

8. Au lieu des trois angles et, £, y , liés entre eux par l'équation (i), on pourra n'employer que deux angles indépendans l'un de l'autre, pour déterminer la direction d'une force.

En effet, soit ME la projection de MD sur le plan AMB ; appelons £ l'angle que fait cette projection avec l'axe MA, de sorte qu'on ait

AME = d\

Lorsque cet angle cT sera donné, il fera connaître la position du plan CME , et l'angle y achèvera en- suite de déterminer celle de la droite MD comprise dans ce plan. 11 faudra que l'angle £ soit compté, à partir de MA , dans un sens convenu , et qu'il puisse s'étendre depuis zéro jusqu'à 56o° ; l'angle y ne s'étendra toujours que depuis zéro jusquà 180^

INTRODUCTION. 9

La projection sur le plan AMB de la diagonale du parallélépipède précédemment indiqué (n° 6) sera le cosinus de l'angle DME, ou égale à sin y. Si l'on projette de nouveau cette projection sur Taxe MA, cette seconde projection se déduira de la première, en la multipliant par cos cT; elle coïn- cidera, d ailleurs, avec la projection de la diagonale du parallélépipède sur ce même axe MA , et sera , conséquemment, égale à cos et ; par conséquent,

on aura

cos cl s= sin y cos J \

On trouvera de même

cos S = sin y sin cP;

et ces deux formules serviront à transformer les équations où l'on aura fait usage des angles cl, S , y , en d'autres où. l'on n'emploiera plus que y et d\ On vérifie immédiatement qu'elles satisfont à l'équa- tion (1).

g. Il existe une autre équation qui comprend , comme cas particulier, cette équation (1), et qui nous sera souvent utile.

Pour la former, soient x , y , z, les coordonnées d'un point quelconque M ( ûg. 2 ) rapportées aux trois axes rectangulaires 0«r, 0/, Oz. Appelons r son rayon vecteur OM, et cl9 G, y, les angles ai- gus ou obtus que fait ce rayon avec les trois axes , de sorte qu'on ait , par exemple ,

zOM == y.

Si l'on abaisse du point M une perpendiculaire MN

io TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

sur Taxe Oz , la droite ON sera l'ordonnée z9 et

dans le triangle rectangle MON , on aura

z = r cos y ; on trouvera de même

y = r cos ë , x = r cos et.

Soit M' un autre point, et désignons par x', yT9 z' , r' , al , £', yr, ses coordonnées , son rayon vecteur et les angles relatifs à cette droite ; nous aurons aussi

x' = r' cos et' , jf — r' cos £', z' = r cos y'.

Appelons u la distance MM'; on aura, comme on sait,

u* = (x — x)' + (y' — yf + (zr — z)* ;

et si l'on représente par g l'angle MOM', on aura en même temps

u* = ra + /â — irr} cos 6 ,

clans le triangle dont r, r% u, sont les trois cotés. A cause de

y

x* j±.y* + z« = r»? #'• -f j'a -j- z'a ==• r/s

la première valeur de wft est la même chose que

u* = ra + r'a — 2 (xx'-^-yy1 + zz') ;

en la comparant à la seconde, on en conclura

rr' cos g = .r«r' -J- yy' -{- zz( ;

et si Ton substitue dans cette équation les valeurs précédentes de x, j, z, xf, y\ z', il en résultera

INTRODUCTION. i,

COS é = COS Ct COS Ct' -f- COS £ COS € ' -f- COS }/ COS 3/ ; (2)

ce qu'il s'agissait de trouver.

Lorsque les deux droites OM et OM' coïncident , les angles et', S', y', sont les mêmes que ct, £, y , et cette formule se réduit à l'équation (1). Quand ces deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre, on a é = go° , et par conséquent

cos ct cos a! cos £ + cos €f + cos y cos 3/ = o.

En mettant dans les valeurs de x 9 y , z, celles de cos et et cos (?, qu'on a trouvées dans le numéro pré- cédent, on aura

x = r sin y cos cT, y = r sin % sin cT , z = r cos j> ;

formules dans lesquelles les trois variables r, y, <P sont les trois coordonnées polaires du point M , telles qu'elles ont été définies dans le n° 4; et qui serviront, par conséquent, à transformer les coordonnées rec- tangulaires en coordonnées polaires.

10. La considération des projections dont on s'est servi dans le n° 8, sera souvent employée dans cet ouvrage ; il convient donc d'exposer ici leurs pre- miers principes.

La projection d'une droite sur une autre droite est la partie de celle-ci qui est comprise entre les pieds des perpendiculaires abaissées des deux extrémités de la droite projetée. Ainsi , les différences x' — x , y' — y, z' — z, des coordonnées extrêmes sont les projections de la droite MM' sur les axes desx,y, z; et, d'après la pre- mière valeur de u*, la somme des carrés des projec- tions d'une même droite sur trois axes rectangulaires

12 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

est égale au carré de cette droite. Si la droite proje- tée et celle sur laquelle on la projette sont dans un même plan, la projection est égale et parallèle à la base d'un triangle rectangle, dont la droite projetée est l'hypoténuse; en sorte que si l'on désigne par V la longueur de cette droite, par X celle de sa projec- tion, et par i l'angle de ces deux droites, on a

A = l cos L

La projection d'une surface plane sur un autre plan, est la partie de ce plan terminée par la projec- tion du contour de la surface projetée, c'est-à-dire, par la courbe que formentles pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de ce contour. Or, l'équa- tion précédente subsiste encore , si l'on y met à la place de l l'aire de la surface projetée, et au lieu de A l'aire de sa projection; i étant alors l'inclinaison d'un plan sur l'autre, pour laquelle on peut aussi prendre l'angle compris entre les perpendiculaires à ces deux plans.

En effet, décomposons l'aire de la surface projetée en élémens d'une largeur infiniment petite et per- pendiculaires à l'intersection de son plan et de celui sur lequel on la projette; la projection de chaque élément sera égale à cet élément multiplié par le cosinus de leur inclinaison mutuelle; par conséquent, cette inclinaison étant la même et égale à i pour tous les élémens, la somme de leurs projections, ou A, sera égale à leur somme, ou à l'aire totale l multi- pliée par cos i; ce qu'il s'agissait de prouver. On con- clut de là que le carré de Faire d'une surface plane

INTRODUCTION. ,3

-est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires, en prenant pour l'inclinai- son sur chaque plan l'angle que fait la normale à la surface donnée avec les perpendiculaires à ce plan , et ayant égard à l'équation (i).

1 1 . Lorsque dans une question, on considérera un système de forces parallèles, on pourra supposer que l'un des trois axes rectangulaires MA, MB, MC, (fig. ire), leur est aussi parallèle. Alors deux des trois angles a, £, y , les deux derniers, par exemple, seront droits pour toutes ces forces; et 1 équation (i) se réduira à

cos2 et = i ;

d'où l'on tire d = oou #= i8o°.

De cette manière , la direction de chaque force se- rait fixée, en disant qu'elle fait avec Taxe MA un angle nul ou un angle de 1800; mais dans ce cas par- ticulier, il sera plus simple de déterminer cette di- rection par le signe de la force, en regardant comme positives les forces qui agissent dans un sens, et comme négatives celles qui agissent dans le sens opposé.

Au reste , le cas des forces parallèles sera le seul où nous considérerons des forces positives et des forces négatives; dans tous les autres cas, les quantités qui représenteront les grandeurs des forces, dans le cal- cul, seront positives, et la variation de signe ne tom- bera que sur les cosinus des angles que leurs direc- tions font avec des axes fixes.

12. Ce qui précède renferme les définitions préli-

i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

minaires , et des détails suffisans sur la détermina- tion des grandeurs et des directions des forces ; mais, dans cet ouvrage , j'emploierai exclusivement la mé- thode des infiniment petits ; c'est pourquoi il est né- cessaire de rappeler, dans cette introduction, les prin- cipes de l'Analyse infinitésimale , et parmi les for- mules qui s'en déduisent le plus immédiatement, celles dont nous pourrons avoir besoin par la suite.

Un infiniment petit est une grandeur moindre que toute grandeur donnée de la même nature.

On est conduit nécessairement, à l'idée des infini- ment petits, lorsque l'on considère les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de conti- nuité. Ainsi , le temps croît par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les diffé- rens points d'un corps, croissent aussi par des infini- ment petits; car chaque point ne peut aller d'une position à une autre , sans traverser toutes les posi- tions intermédiaires ; et l'on ne saurait assigner au- cune distance, aussi petite que l'on voudra j entre deux positions successives. Les infiniment petits ont donc une existence réelle, et ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les géomètres.

Un infiniment petit peut être double, triple, quadruple, , d'un autre: les quantités infini- ment petites ont entre elles des rapports quelcon- ques , dont la détermination est un objet essentiel de l'Analyse infinitésimale.

Si a et b sont des infiniment petits , et que le rap- port de b à a soit aussi infiniment petit, b est ce

INTRODUCTION. ,5

qu'on appelle un infiniment petit du second ordre. Par exemple , la corde d'un arc de cercle étant sup- posée infiniment petite, le sinus verse du même arc- est un infiniment petit du second ordre, puisque le rapport du sinus verse à la corde est toujours le même que celui de la corde au diamètre, et devient , par conséquent, infiniment petit en même temps que le second rapport.

De même , b étant déjà un infiniment petit du second ordre , si l'on suppose que le rapport de c à b soit infiniment petit du premier ordre, on apellera c un infiniment petit du troisième ordre,* et ainsi de suite.

Il suit de là qu'un produit composé d'un nombre n de facteurs infiniment petits du premier ordre, devra être rangé dans la classe des infiniment petits de l'ordre n.

L'aire d'une surface infiniment petite dans toutes ses dimensions est au moins un infiniment petit du second ordre; car elle est moindre que le carré de la droite la plus longue qu'on puisse mener d'un point à un autre de son contour, laquelle droite est infiniment petite , par hypothèse. On verra de même qu'un volume dont toutes les dimensions sont infi- niment petites, est au moins un infiniment petit du troisième ordre, puisqu'il est moindre que le cube de la plus longue droite menée d'un point à un autre de sa superficie.

Cela posé , le principe fondamental de l'Analyse infinitésimale consiste en ce que deux quantités finies, qui ne diffèrent l'une de l'autre que d'un

16 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

infiniment petit, doivent être regardées comme égales , puisqu'on ne saurait assigner entre elles au- cune inégalité , aussi petite que Ton voudra.

Il en sera de même à l'égard de deux quantités infiniment petites du premier ordre , dont la diffé- rence est infiniment petite du second ordre, et, généralement, à l'égard de deux infiniment petits d'un ordre quelconque , qui ne diffèrent l'un de l'autre que d'un infiniment petit d'un ordre supé- rieur : on les considérera comme des quantités ri- goureusement égales, et leur rapport, comme égal à l'unité.

On énonce encore ces principes d'une autre ma- nière, en disant qu'il est permis de négliger dans un calcul, sans crainte d'altérer aucunement les résul- tats, soit les infiniment petits ajoutés à des quantités finies , soit les quantités infiniment petites d'un ordre quelconque, ajoutées à des quantités d'un ordre in- férieur.

i3. La différentielle doc d'une variable indépen- dante oc, est l'accroissement infiniment petit qu'on attribue à cette variable ; la différentielle dj d'une fonction y de oc , est l'accroissement correspondant de cette fonction, réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable indépendante , par la sup- pression des infiniment petits d'un ordre supérieur ; d'où il résulte que cette différentielle dy est toujours de la forme ILdoc; X étant une autre fonction de oc. Pour quelques valeurs particulières de oc , il peut arriver que le coefficient différentiel X devienne in- fini, ce qui rendra la différentielle Hdoc indéterminée ,•

\

INTRODUCTION, i7

mais cette circonstance ne se présentera pas dans la Me'canique.

Soient fx une fonction donnée de x , c une consr tante arbitraire , et Fx + c l'intégrale complète ou indéfinie de fxdx. Soient encore a et b deux cons- tantes données. En déterminant la constante c de manière que cette intégrale soit nulle ou commence quand x = o, et faisant ensuite x = b, le résultat Fb — Fa sera ce qu'on appelle l'intégrale définie, prise depuis xz=a jusqu'à xz=.b. Je la désignerai

par / fxdx, suivant la notation très commode que

J a

Fourier a proposée; et j'écrirai, en conséquence,

fxdx.

Si l'on donne successivement à x une infinité de valeurs, croissantes depuis a jusqu'à b par des dif- férences infiniment petites, et que l'on prenne ces différences égales ou inégales, pour les valeurs de dx , il est facile de faire voir que la somme de toutes les valeurs de la différentielle fxdx sera égale à l'intégrale définie Fb — Fa.

En effet, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, on a, d'après la défini- tion de la différentielle ,

F{x -f- dx) — Fx =fxdx.

Si donc on représente par J\, J\ , cT3 , . . . . Jiu, un nombre infini de quantités infiniment petites, telles que l'on ait

18 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et que l'on prenne successivement, pour x et dx 9 les couples de valeurs a et d\ ? tf-f-J\ et J\, tf+J\-|-cJ\ et cT3, « . . b — cPB et dfB, il en résultera

Fi— F(i— io=/(*— W ;

équations dont la somme est

Yb — Ta =/«J\ +/(a + JX+ZO» + «Pt + «r.)«T, +/(* — <f,)J\;

ce qui renferme le théorème qu'il s'agissait de dé- montrer.

Lorsque la fonction fie deviendra infinie entre les deux limites a et b , cette démonstration n'aura plus lieu, et le théorème sera en défaut. Dans ce cas d'exception , que nous ne rencontrerons pas dans la suite , l'intégrale définie n'a plus aucun rapport avec la somme des valeurs de la différentielle , et elle peut même être négative, lorsque toutes ces valeurs sont positives , ou positive , quand elles sont toutes néga- tives. Pour faire reparaître le théorème, il faut alors empêcher que fx ne devienne infinie entre x=a et x=b, en faisant passer la variable x de l'une à l'autre de ces limites, par une série de valeurs imagi- naires (*).

(*) Voyez, sur ce point , le Journal de V École Polytechnique, 18e cahier, page 3?.o.

INTRODUCTION ïrt

Le théorème précédent s'étend sans difficulté aux intégrales multiples. Ainsi, par exemple, si f (oc, y) est une fonction donnée de deux variables indépen- dantes x et y ; que l'on donne successivement à ces variables des séries de valeurs croissantes par des diffé- rences infiniment petites; et que l'on prenne en même temps pour dx, les différences entre les valeurs con-? sécutives de x , et pour dy , celles des valeurs con- sécutives de y, la somme de toutes les valeurs de f(x,y)dxdy7 sera l'intégrale I I f(x, y)dxdy, prise

entre des limites convenables.

14. Lorsque la fonction fx renfermera une quan-? tité et considérée comme une constante dans Tinté-

fxdx sera elle-

a

même une fonction de a. Il y a des questions dans lesquelles cette intégrale n'étant pas connue sous forme finie, on aura besoin, néanmoins, de déter-. miner sa différentielle par rapport à et. Or, cette opération présentera deux cas différens , selon que les limites a et b seront indépendantes de ce, ou qu'elles en dépendront d'une manière quelconque. Dans le premier cas, il suffira de différentier fx par rapport à et sous le signe / ; en sorte que l'on aura

dfjXdX_ Çldfxj

j ~ * i 7 UX •

dos, J a dot.

En effet , d'après le théorème du numéro précé- dent , le premier membre de cette équation est le coefficient différentiel par rapport à et de la somme

a.,

20 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

des valeurs de fxdx , comprises depuis x = ^jus- qu'à x=b; tandis que son second membre est la somme des valeurs, entre les mêmes limites, du coef- ficient différentiel de fxdx relatif à et; et il est évident que ces deux sommes sont identiques.

Dans le second cas , lorsque cl se change en a-f-fc?â,

la limite b devient b + -=- det , et pour cette raison ,

. rb

la somme des valeurs de fxdx, ou l'intégrale / fxdx

se trouve augmentée de la valeur de fxdx qui ré- pond à x = b et dx = — det, c'est-à-dire, de fb . -j-det ;

en même temps la limite a se change en a -f- — da, ce qui diminue cette intégrale de la valeur de fx , correspondante à x = a et dx = -=- det, ou de

fa . — det; donc , à cause de la variation simultanée

des deux limites a et b , produite par celle de et , l'intégrale se trouvera augmentée de la différentielle

'db / 7 da

/do , 7 da r \ -,

\TJb-T*fa)da>

et son coefficient différentiel par rapport à et, de ce coefficient de dct. Par conséquent , en l'ajoutant au second membre de l'équation précédente, on aura

J aJX °° Ch dfx , . db >, da r

det J a da daJ da J '

INTRODUCTION. 2Ï

pour la valeur complète du coefficient différentiel de

/.

fxdx.

Quand a, n'entrera pas dans fx , que cette quan- tité sera Tune des deux limites ^ ou a , et que ces deux limites ne dépendront pas l'une de l'autre , cette expression se réduira à

r>b rb

d . / fxdx d. I fxdx

ce qui est, d'ailleurs, évident en soi-même.

Des remarques semblables s'appliqueront aux inté- grales multiples , dont les coefficiens différentiels par rapport à une quantité qu'on a d'abord regardée comme constante , s'obtiendront aussi en différen- tiant sous les signes d'intégration , et en ajoutant au résultat des termes dépendans des variations des limites, quand elles dépendront de cette quantité devenue variable.

i5. Le calcul intégral fournit des règles pour dé- terminer exactement ou par approximation , les va- leurs numériques des intégrales définies , simples ou multiples ; en sorte qu'un problème est censé résolu , lorsqu'on est parvenu à exprimer les incon- nues par des intégrales de cette nature. On dit alors que le problème est réduit aux quadratures , parce que, d'une part, une intégrale multiple n'est autre

chose qu'une intégrale simple plusieurs fois répétée ,

/h fxdx peut

toujours être représentée par le carré, égal a l'aire

%% TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

d'une courbe plane, dans laquelle x etfx sont les coordonnées d'un point quelconque , et a et b les abscisses des points extrêmes.

Parmi les différentes formules dont on fait usage pour calculer les valeurs approchées de cette intégrale

/ fxdx9 nous citerons la suivante, qui suppose que

les fonctions fx et -j— ne deviennent point infinies

entre les limites a et b.

Conservons toutes les notations précédentes, et faisons de plus

ffP^- -ff J^ 4 '// 4-

W — J x > "TËF = J œ> etc*

Supposons que les différences J\, J\, d^, etc., ne sont pas infiniment petites , mais seulement très pe- tites; prenons-les égales, et représentons par cHeur grandeur commune. Nous aurons, d'après le théorème de Taylor,

F (A + 2J) =F(* + J) + if {a + £)+{ ï*f{a -f *)/+ etc., F (a -f U) = F (a +2J) + if (a +2^)4- \$ftp 4 ol) -f etc. ,

F(a-f^) =F(a + n<ls-J) + jfça+nf—à)

+ i^/'(« -f-^-^)-f- etc.

Donc, en supposant n§ ■= b — a, et faisant la somme de ces équations, on aura

Yb — Ya — £2f(a + U) + 1 <f 32/7 (a + i£)

4-icT32//(«+^)+etc.;

ft* étant un nombre entier ou zéro , et les caractéristi- ques 2 indiquant des sommes qui s'étendent aux n

INTRODUCTION. 23

valeurs de i comprises depuis i= o jusqu'à i=zn> — i . En prenant successivement/r et f'x^ fx elf'x, etc., au lieu de Fx etfx, on aura de même

fb—fa ~ f2f(a+it?) + if*2f'(a + i£) + etc. ,

fb—fa= f2f'(a+ i/) + etc.,

etc.

Cela posé, si l'on veut négliger les puissances de cT supérieures au carré dans la valeur de Fb — Fa, on pourra prendre, d'après les dernières équations,

&>%/' (a + if) = iS(fb -fa) - $Mfb -fa) , y Vf" (a + if) = | f (fb -fa) ,

pour les valeurs de ses deux derniers termes. Sa va- leur entière deviendra donc

Fb—Fa = £2/ (a + i£) +±f(fb —fa)

-■h^(fb-fa),

ou , ce qui est la même chose ,

Jjxdx = £ [\fa +f{a + J) +j(a + i£) . . . . . . .+/(*+ *«f - i) + ifb] -Ti^(fb -fa).

Cette formule sera d'autant plus exacte, que la diffé- rence cP, ou -(b — a), sera plus petite, et que les

valeurs de fx varieront moins rapidement entre les limites a et b. Le plus souvent on pourra négliger le terme dépendant de cT2; la formule ne renfermera alors que des valeurs de fx qui pourront être don- nées en nombres , sans que la forme de cette fonction soit connue.

16. Dans la théorie des infiniment petits, on con«

24 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

sidère les courbes comme des polygones d'un nombre infini de côtés infiniment petits. Cela suppose que la corde d'un arc infiniment petit est égale à cet arc, ou que le rapport de leurs longueurs peut être pris pour l'unité; c'est effectivement ce que l'on "peut démon- trer de la manière suivante.

Soit Mmm'W (fig. 3) un arc de courbe infiniment petit ; tirons les cordes Mm , mm! , mfMf, et prolon- geons la troisième, jusqu'à ce qu'elle rencontre le pro- longement MT de la première, en un point K. L'arc mm! est plus grand que la corde mm! , et moindre que la ligne brisée mKm' ; il suffira donc de prouver que cette ligne et cette corde, infiniment petites, ne dif- fèrent que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur, et que l'on peut prendre le rapport de l'une à l'autre pour l'unité : cela sera vrai, à fortiori, à l'égard de l'arc mrri et de sa corde.

Or, s'il n'y a dans l'étendue de l'arc Mmm'W aucun point singulier où la direction de la courbe change brusquement, les cordes qui vont d'un de ses points à un autre comprendront des angles infiniment peu différens de deux droits. L'angle TKM', supplément de MKM', sera donc infiniment petit ; je le désignerai par cT ; et en faisant , en outre ,

7?zK = a , 772'R = b , mm! = c , on aura , dans le triangle m\i.rri, l'équation

cft = <2a + b* + ?>ab cos $ , que l'on peut changer en celle-ci :

c* — (a + by — 4<ib sin9 1 cT ,

INTRODUCTION. 25

en observant que

cos cT = i — 2 sin2 i cT. Nous aurons donc

pour le carre du rapport de la corde mm' à la ligue brisée mKmf. On a d'ailleurs

ce qui prouve que le coefficient de sina | cT ne peut pas devenir infini , puisqu'il est toujours moindre que l'unité. En négligeant l'infiniment petit du se- cond ordre, on aura donc l'unité pour le rapport de c à a -f- b ; ce qu'il s'agissait de démontrer.

17. Une courbe étant considérée comme un poly- gone infinitésimal, les tangentes seront les prolonge- mens de ses côtés infiniment petits; au point M, où le côté est Mm, la tangente sera la droite indéfinie T'M/rcT.

Si Ton désigne par x , y, z, les trois coordonnées rectangulaires du point M, celles du point m seront x + dx , y -f- dy, z + dz. En appelant ds l'élément de la courbe, c'est-à-dire, son côté Mm, les différen- tielles dx, dj, dz , seront ses projections sur les axes des x, y, z; par conséquent, si l'on représente par a, 6, y, les trois angles que fait la direction de la droite MT avec des parallèles à ces axes, menées par le point M, on aura

dx *» dr dz , *

ï>6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et en même temps

dx* + dj% -f- dz* = ds*.

En prenant, sur la courbe que Ton considère, un point fixe C, et supposant que s soit Tare CM compté de cette origine, cet arc pourra être la variable indé- pendante , dont x,y,z, seront des fonctions données par les équations de la courbe. Dans ce cas, ds sera positif ^ mais doc , dj, dz, et par suite cos et , cos 6 , cos y , pourront être positifs ou négatifs. Les angles a, ë, y, se rapporteront toujours au prolongement mT du côté Mrn , ou à la partie MmT de la tangente ; les angles relatifs à l'autre partie MT' seront les sup- plémens de cty S, y, (n° 7).

La direction de la tangente au point M étant dé- terminée par les équations (1), on en peut conclure l'équation du plannormal en ce même point ; mais on obtient directement cette équation par la considéra- tion suivante.

Soit k le rayon d'une sphère qui a son centre au point M • son équation sera

[oc' — ocy + (/ —jy + # - *y = ** ;

&[f jf, z' , désignant les coordonnées courantes. L'équa- tion de la sphère du même rayon, qui a son centre au point m, se déduira de celle-là, en y mettant x + dx, J+dj, z-\-dz, à la place de x,y, z; en retranchant ces équations l'une de l'autre , et négli- geant les infiniment petits du second ordre, il vient {x' — «xN dx + (f — y) dj + {£ — z)dz~o ;

INTRODUCTION. 27

équation qui appartiendra à l'intersection des deux surfaces sphériques. Comme elle est l'équation d'un plan dont x',yr, z' 9 sont les coordonnées courantes, ce sera celle du plan de cette courbe, et, par consé- quent , l'équation demandée du plan normal , puis- que les deux sphères se coupent suivant un cercle perpendiculaire à la droite TT' qui passe par leurs centres M et m.

En la divisant par ds, et ayant égard aux for- mules (1), cette équation devient

{x' — x) cos et + ( jf — j) cos £ -f- (zr — z) cos y = o.

Si donc

a{pc} — x) -f- b (y — y) + c{z' — z) == o

représente l'équation d'un plan mené par le point dont les coordonnées sont X, y, zf et perpendicu- laire à la droite dont la direction est déterminée par les angles et, ê, y, il faudra qu'elle s'accorde avec la précédente ; ce qui exigera qu'on ait

a = h cos et , b = h cos Q 7 c = h cos y ,

h étant un facteur indéterminé. En vertu de l'équa- tion (1) du n° 6, on en conclura d'ailleurs

ce qui fait connaître la valeur de h, abstraction faite du signe. On aura ensuite

b cos et

a p o c , x

= l, cosS^, cosy—p (2)

ce qui coïncide avec les formules connues d'après lesquelles on détermine la direction de la perpencli-

28 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

eulaire à un plan donné. Le signe de h reste indéter^ miné, parce que les angles cl , €, y, peuvent se rap- porter à l'une ou à l'autre des parties de cette droite qui sont situées des deux côtés du plan.

18. On appelle angle de contingence l'angle infi- niment petit compris entre deux tangentes consécu- tives. Ainsi Mm et mm' (fïg. 4)? étant deux côtés consécutifs de la courbe, cet angle, au point M, est le supplément de Mmnï , ou l'angle Tjnt, sous le- quel la tangente MmT est coupée par la tangente suivante mm' t. Je le représenterai par S"; en suppo- sant que les angles cl , £, y, se rapportent toujours à la direction de MT, et désignant par cl' , ë', y', ce qu'ils deviennent relativement à la direction de mt, on aura, en vertu de l'équation (2) du n° g,

sin>cfN=i — (cosacosa' + cosêcos^+cos^cosy)3,

D'après le théorème de Taylor, on aura aussi

cos a' = cosa+ d. cos a. + ^Ja.cos# + etc.T cos €' = cos £+ d. cos £ + £ d2 . cos £ + etc. , cos y/ z=cosy-}-d.cosy-{- ±d*. cos y -{-etc.

0r9 si l'on substitue ces valeurs dans celles de sinâ J\ et qu'on ait égard à l'équation

cos2 cl + cosa £ + cos* y = 1 ,

et à sa différentielle

cos ctc?.cos#+cos£ d.cosë -f-cos^/ d.cosy = 0,

on voit que les quantités finies et les infiniment pe- tits du premier ordre se détruisent; en sorte qu'en négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs

INTRODUCTION. 29

au second, il vient

sinaJN= — (cosa^cosa+cos&ia.cos£+cos^<ia.cos^).

En différentiant l'équation précédente, on a, d'ail- leurs,

ces a d* . cos et -f- cos S d2 . cos £ -f- cos y d2 . cos y + (d.cos et)0, + (d. cos £)a + [d. cos ^)a = o ;

ce qui change la valeur de sina S* en celle-ci :

sina £ = (d. cos a)a + (d. cos S )a -j- (d. cos 7)* ,

laquelle sera aussi la valeur de cTa, à cause que l'arc infiniment petit <P est égal à son sinus.

Les différentielles de cos a, cos£, cos y, se dédui- ront des formules (1) du numéro précédent. En ne spécifiant pas la variable indépendante,, on aura

j ds~d2x — dxdsdQs a . cos a = —, ;

ds6 7

et comme on a

ds* ==: dx2 + dy2 + dz% dsd2s = dxd2x + dydy + dzd2z ,

il en résultera

dv d?

d.cosctz=~-3 (dyd*x — dxdy) -+■ — [dzd2x — dxd2z); on aura de même

d . cos £ = -7- $ (dxdy — dyd2x) + ^ (dzcfry — dyd2z)?

. J . cos y = -j-6 (dxd2z — dzd*x) -f- -p, (dyd2z — dzdy) ;

or, en faisant la somme des carrés de ces trois va-

3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

leurs, on trouve, après quelques réductions, que l'expression de sina £ ou de cT% peut se mettre sous la forme

<fa= -J-j [ (dxdy — dyd*xy + {dzd*x — dxd*z)*

+ (djd*z — dzdyy] .

Le cercle oscillateur est celui qui a deux côtés con- sécutifs communs avec la courbe. Au point M , ce cercle est donc celui qui passe par les trois points M, m, ni ', dont le centre se trouve à l'intersection 0 des deux perpendiculaires élevées sur les milieux de Mjji et iniri dans le plan de ces deux élémens consé- cutifs, et qui a pour rayon la droite MO. Si ces deux élémens sont supposés égaux, cette droite divisera 3 'angle Mmm' en deux parties égales : nous ferons cette hypothèse sans craindre d'altérer la valeur de MO ; car il est aisé de voir que le rapport numérique des deux côtés infiniment petits Mm et mm' n'influe que d'une quantité infiniment petite sur la grandeur de ce rayon qui est, par conséquent, la même, soit qu'on prenne ces deux côtés consécutifs égaux , ou qu'ils soient inégaux.

La longueur des côtés Mm étant ds , et en repré-* sentant par p celle de 772O, la projection de p sur Mm sera \ds; en sorte que l'on aura

\ ds-= f cos M7?z0 •

et puisque cet angle MmO est la moitié du supplément de çT ou égal à \ 7T — \ cT , il en résultera

en prenant l'arc -J" à la place de son sinus.

INTRODUCTION. 3r

Cela étant, si le rayon de courbure f était connu d'une autre manière, on aurait

pour la valeur de l'angle de contingence ; et récipro- quement, d'après la valeur précédente de cT% celle de / sera

ds3

? —■ ~ •

[_{dxdy—dydixy+ (dzd'x — dxdkz)*+ (djd'z — dzdyyy

19. Pour achever de connaître la nature intime de la courbe au point quelconque M, il faut encore dé- terminer son plan osculateur, c'est-à-dire le plan des deux côtés consécutifs Mm et mm'.

Ce plan passant par le point M, on pourra repré- senter son équation par

A (ce'— X) + B (f—j) + C (/—*) = o ;

x', y', z' , étant les coordonnées courantes. A cause qu'il doit aussi passer par les points m et m' , les différen- tielles première et seconde de cette équation, savoir :

Adx' + Bdy' + Cdz' = o, Ad*x'-\- Bdy+ Cd*z'= o ,

devront être satisfaites comme l'équation même, en y faisant x'=x, y' —y , z' = z; en sorte que l'on aura

Adx -f- Bdy -J- Cdz = o ,

kd*x+ Bdy + C d*z— o .

Les valeurs de A, B, C, qui remplissent ces deux conditions sont , comme il est aisé de le vérifier,

3a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

C = D (dxdy — dyd*x) , B = D (dzd*x — dxd*z) , A= D (dyd2z — dzdy) ;

D étant un facteur indéterminé. En les substituant dans l'équation du plan oscillateur, et supprimant ce facteur commun à tous ses termes _, elle devient

[z — z) (dxdy — djd%x) + {y1 — y) {dzd*x — dxd*z) -j- {x' — x) (dyd*z — dzdy) = o.

Si l'on appelle A, ,u; v , les angles que fait la nor- male au plan osculateur, avec des parallèles aux axes des x, y 9 z, menées par le point M, on aura, d'après les équations (2) du n° 17,

cos X = y (dyd*z — dzdy) ,

cos fA = v (dzd*x — dxdaz) , > (5)

cos v = r(dxdy — dyd*x),

en désignant par h% la somme des carrés des trois nu- mérateurs.

On déterminera aussi l'angle infiniment petit com- pris entre deux normales consécutives, et qui sera l'angle de deux plans osculateurs consécutifs , comme on a déterminé tout à l'heure l'angle de deux tan- gentes. En le désignant par s, on aura, par un calcul semblable à celui du numéro précédent ,

&* = {d. cos A)a-f- {d, cos f^y + (d. cos y)a.

20. Le centre de courbure 0 se trouve à la fois sur le plan oscillateur et sur l'intersection des deux plans

INTRODUCTION. 33

normaux consécutifs; ce qui fournit le moyen de dé- terminer ses coordonnées d'après les équations de ces trois plans, qui sont maintenant connues.

L'équation du pian normal en M étant (n° 17)

(x' — x)dx -+-{yf — j)dy -\-{z — z)dzz=o,

celle du plan consécutif s'en déduira en y mettant x + dx y y + djr9 z-\- dz, au lieu de x , y , z; par conséquent, la différentielle de l'équation du premier de ces deux plans, prise par rapport à x,y, z, savoir :

{x' — x) d*x -f- (y — y) dy -j- (z' — z) d*z = d$* ,

appartiendra à leur intersection. On tire de ces deux équations

{x' — x) (dxdy — dyd2x) rrr (z' — z) (djd'z — dzdy) — ds°dy , {j'—f) {<tyd*x — dxdy) == (z — z) (dxd'z — dzd'x) — ds%dx ;

et au moyen de l'équation du plan osculateur, on en conclut

*~z = ^[dy(dyd*z—dzdy)

— dx {dzd*x — dxd2z) ] ,

en désignant, pour abréger, par p la même exprès- sion que dans le n° 18. On aura de même

fl2

yf — - y = -jj [dx [dxdy — dyd*x)

— dz (dyd*z — dzdy) ] , x? — x = -jj [ dz (dzd*x — dxd*z)

— dy (dxdy — dyd2x) ] ;

ce qui fait connaître les trois coordonnées x', y'9 z', du centre de courbure 0, et, par conséquent ? le sens 1. 3

34 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

de la courbure dont le rayon osculateur ne détermine

que la grandeur.

En ajoutant les carrés de ces valeurs de x'— x, yf — y, z' — z9 et réduisant, on a

. (a?' — ^)aH-(j'— j)a + (*'— z)* = p*;

d'où il résulte que la quantité p est la distance du point 0 au point M, ou le rayon de courbure MO, comme on le savait déjà.

2 1 . Les formules des cinq numéros précédens ren- ferment tout ce qui est relatif à la direction et à la courbure d'une ligne quelconque, plane ou à double courbure. Relativement à une surface quelconque, on a aussi à considérer la courbure et la direction de son plan tangent; quant à sa courbure, je renverrai au Mémoire que j'ai inséré sur ce sujet dans le 21e ca- hier du Journal de l'Ecole Polytechnique, et je ne m'occuperai ici que de ce qui concerne le plan tangent et la normale.

En un point M, dont les coordonnées sont x9y9 z , l'équation du plan tangent peut être représentée par

A(* ' — x) + B( f —y) + CO' — z) = o ;

xf9y'9 z' , étant les coordonnées courantes. Ce plan devra aussi passer partout autre point M' de la surface, infiniment voisin de M; il faudra donc qu'on satis- fasse à cette équation, au moyen de x' — x-j-dx, yf z=y-\-dy , z' = z~i~dz9 ou à sa différentielle re- lative à x' , y' 9 z y en y mettant x9y9.z9 à la place de ces variables. Par conséquent, on aura

Adx -\-Bdy -\- Cdz = o.

INTRODUCTION. 35

L'équation de la surface donnera

dz zrzpdoc + qdj ;

p et q désignant des fonctions connues de x, y, z. L'équation précédente devient donc

(A -h pC)dx + (B + qC)dj = o;

et comme elle doit subsister pour toutes les directions de la droite MM', c'est-à-dire , pour tous les rapports qu'on peut établir entre dx et dy, il faudra égaler séparément à zéro les coeiïiciens de ces différentielles ; d'où il résultera

A+pC = o, B + t7C = o.

Je tire de là les valeurs de À et B, je les substitue dans l'équation du plan tangent, et je supprime le facteur commun C ; il vient

z' — z — p{ocf — oc) — qÇy' — y) = o. ■

Si a, b , c , sont les angles que fait la normale au point M, avec les prolongemens des coordonnées «r, y, z, on aura, d'après les équations (2) du n° 17 ,

P

cos a

*+P* + ?'

cos b = — — q _ , \ (4)

cos c

Le radical sera positif ou négatif dans ces trois for- mules, selon que la partie de la normale qu'on voudra considérer fera un angle c aigu ou obtus

3..

36 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

avec la droite menée par le point M • suivant la direc- tion des z positives.

En appelant co lelément de la surface dont la pro- jection sur le plan des x et y est dxdy, on aura

dxdy == ± où cos c ,

selon que c sera aigu ou obtus; car cet élément infi- niment petit en tous sens, est compris dans le plan tangent dont l'inclinaison sur le plan des x et y est l'angle c ou son supplément ; et le théorème du n° 10 convient également à la projection d'une surface plane infiniment petite. D'après cela on aura

œ == dxdy V i + p% + #a ?

en regardant toujours le radical comme une quan- tité positive.

Soit L une fonction donnée de x , y, z; repré- sentons par

'équation de la surface que l'on considère ; en la àiî~ férentiant successivement par rapport à x et à y, on aura

dh dh dh dh _

dx \ dz ' dj ■* dz "

Je tire de là les valeurs de p et q, et je les substitue dans l'équation du plan tangent qui prend la forme

{x' - oc) fx +{f-r) § + (z'-z)fz= o. En même temps , les formules (4) deviennent

eds a = V -r-J , cos h = V ~r~ > cos c = V — ' » (5) dx 7 dr dz v r

INTRODUCTION. 37

eq faisant, pour abréger,

22. Je placerai ici une remarque qui sera utiie pour vérifier ou déduire les unes des autres les for- mules analogues qui répondent à différens axes.

Supposons que dans une question tout soit sem- blable à l'égard des trois axes des coordonnées x , r, z. Si l'on a une équation Xs=o, relative à l'axe des x, il en existera une semblable Y=o, qui ré- pondra à l'axe desj", et une troisième Z=o, relative à l'axe des z; et ces deux autres équations Y = o et Z = o, se déduiront de X = o , par de simples changement de lettres, Or , voici comment ces per- mutations devront s'effectuer.

On mettra dans X toutes les quantités relatives à l'axe des x , à la place des quantités analogues qui répondent à Taxe des jr, puis celles-ci à la place de celles qui répondent à Taxe des z , et , enfin , ces dernières quantités à la place des premières , qui ré- pondaient à l'axe des x. Par cette permutation tournante ; on déduira Z de X; par une seconde permutation de la même nature , effectuée sur Z , on obtiendra Y; et par une troisième permutation tournante, effectuée sur Y, on retrouverait X.

S'il s'agit, par exemple, des équations (5) 'du n° 19, dont la première répond à l'axe des x, la seconde à l'axe des y, et la troisième à l'axe des z , j'écrirai sur une même ligne, mais en deux parties, les coordonnées x, y, z, et les angles h, p , v , qui

38 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

leur correspondent respectivement; puis, sur une se- conde ligne, je disposerai ces six quantités , aussi en deux parties, et dans un ordre différent, de sorte qu'on ait

*> J> z> A> A*> v '>

z, x, J, v , A , #,

Cela fait, je remplacerai dans la première équa- tion (3), chacune des quantités de la ligne supé- rieure par la quantité correspondante de la ligne in- férieure ; par cette permutation , h ne changera pas , et l'on obtiendra la troisième équation (3). Je met- trai de nouveau, dans celle-ci, les quantités de la ligne inférieure à la place de celles qui leur correspondent dans la ligne supérieure ; ce qui donnera la seconde équation (3); et en opérant de même sur cette équa- tion , on retrouvera la première équation (5) , d'où l'on est parti.

Chacune de ces opérations revient à un change- ment d'axes des coordonnées, dans lequel on fait d'abord tourner les axes des x et des y dans leur plan , de manière que l'axe des x positives vienne tomber sur l'axe des y positives, puis celui-ci sur Taxe des x négatives ; et où Ton fait tourner ensuite cet axe des y positives, ainsi déplacé, et l'axe des z positives , de manière que le premier vienne tomber sur l'axe des z positives, puis celui-ci sur l'axe pri- mitif des x positives ; en sorte que , finalement , chaque axe des coordonnées positives ait pris la place d'un autre axe des coordonnées positives. C'est pour cela que les équations relatives aux trois axes des

INTRODUCTION. 39

coordonnées se déduisent l'une de l'autre par de sim- ples permutations de lettres , et sans aucun change- ment de signe ; ce qui n'aurait pas lieu si l'on ne per- mutait pas simultanément les trois coordonnées et les quantités qui s'y rapportent de la manière qu'on vient d'indiquer.

2 3. Voici encore une observation générale ,, par laquelle je terminerai cette introduction.

Les équations que nous aurons à considérer renfer- meront des nombres abstraits, tels que le nombre 77, les logarithmes, les lignes trigonométriques, etc. ; elles contiendront, en outre, d'autres quantités de diverses natures, qui y seront aussi représentées par des nom- bres exprimant leurs rapports à des unités choisies ar- bitrairement, pourvu que chaque unité soit la même pour toutes les quantités d'une même espèce. Or, en changeant la grandeur d'une ou de plusieurs unités, les nombres qui expriment les quantités correspon- dantes, varieront en raison inverse de cette grandeur: et, malgré ce changement, tout-à-fait arbitraire , les équations qui les renferment devront encore subsister. Il faudra, pour cela, que leur forme remplisse cer- taines conditions , faciles à vérifier dans chaque cas particulier, et qu'on appelle, dans l'acception la plus étendue , les conditions de Y homogénéité des quan- tités. Toute équation qui n'y satisfera pas sera, par cela seul, inexacte, et devra être rejetée.

Ainsi, en indiquant par F une fonction donnée, supposons qu'on ait

F(/,/',. . . I, V4 .. . m, m!9 , . . t, t', . , .) = o;(^)

4o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

j ,f , . . . désignant des forces, l, V,... des lignes, . . , m, m',.. . des masses, t, t',.., des temps. Si l'on re- présente par n, n! , ntf , n"' , des nombres abstraits, et que l'on diminue à la fois l'unité de force dans le rap- port de un à n , l'unité linéaire dans le rapport de un à nf, l'unité de masse dans le rapport de un à n", l'unité de temps dans le rapport de un à n!" 9 les nombres f9 f ,. .. I, V ,...m, m', ... t , t' ', . . . devien- dront nf, nf, . . . n'I, n'I',. . . n"m, n,fm',. . . nmt, nmt' , . . . , et l'équatiqn (a) devra encore avoir lieu , c'est-à-dire , qu'on devra encore avoir

F(nf nf, . . . n'I, n'I', . . . n'mrfm!, . . . n"'t, nmt', . . .}===o,

quels que soient n, n', n, n". Si l'équation (a) ren- fermait des surfaces s, s' , . . . et des volumes v9 v'P. .. leurs dimensions devraient être rapportées à la même unité que les lignes 1,1',..», et ces quantités s, /.. . vy v' ,.. . deviendraient conséquemment n'2s, n'*sr ,. . . nf3v, 7i'3v'f , . par le changement de cette unité.

L'équation du n° 18 , qui donne la valeur de f , sa- tisfait évidemment à cette condition; car die ne ren- ferme que des lignes finies ou infiniment petites p, ds, doc, dj, dz, d*oc, dy, d*z; et quand on change l'unité linéaire et qu'on multiplie, comme on vient de le dire, chacune de ces lignes par un même nombre n\ ce nombre disparaît et l'équation n'est pas changée. Celle du même numéro, d'où dépend la valeur de £%, satisfait également à la condition de l'homogénéité, en observant que cTft est un nombre abstrait qui ne change pas, non plus que cette valeur^ avec la grandeur de l'unité linéaire.

INTRODUCTION. 4i

Il sera impossible que l'équation (a) ne renferme qu'une seule quantité' d'une même espèce; lors- qu'elle en contiendra deux, par exemple deux forces f et f , et qu'on la résoudra par rapport à l'une d'elles, ce qui donnera

f = F (f7 l, V, . . . m, m , ... t, t'? . . . ) ,

il faudra, pour l'homogénéité des quantités, que/ soit facteur à tous les termes de la nouvelle fonction F, ou, autrement dit, il faudra qu'on ait

N étant un facteur qui ne contiendra aucune quan- tité de la nature de f et f , et ne variera plus avec l'unité de force.

Quelquefois le principe de l'homogénéité des quan- tités paraîtra n'avoir pas lieu, parce qu'on aura pris pour unité de force l'une des forces que l'on consi- dère dans la question, ou bien pour unité linéaire la distance de deux des points matériels dont on s'oc- cupe, ou bien pour unité de masse celle de l'un des corps du problème, etc. Mais, alors, si l'on change arbitrairement ces unités, et que la force, la ligne, la masse, le temps, qu'on avait d'abord pris pour uni- tés, soient maintenant exprimés par <p, A, pL, 9, les autres quantités de ces différentes natures qui entrent

dans l'équation (a) deviendront — ? *~'* •• 7? ~

m rri t t' -i /• i j >

— , — ? ...-,-,...; il faudra donc qu on ait

il fri P ' P

42 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Tttff l l' m m' L _ *\—

équation qu'on pourra écrire ainsi

et qui devra maintenant satisfaire à la condition de l'homogénéité : F, indique ici une fonction qui se dé- duira, dans chaque cas, de la fonction donnée F.

»XVVVV»/VV>'VV>'VV\XVVVV\/VVV\X\>VV\^V\.VV\'VVX\AAVV>\/V>'VVVVV\/VV\/VVV\\>\\^V%\VV'V^X\A,V\^^V\AA/V\

LIVRE PREMIER.

STATIQUE,

PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

DE LA COMPOSITION ET DE L'EQUILIBRE DES FORCES APPLIQUEES A UN MEME POINT.

^4- Lorsqu'un point matériel est soumis à l'action simultanée de plusieurs forces qui ne se font pas équi- libre , il se meut suivant une direction déterminée , et l'on peut attribuer le mouvement qu'il prend à une force unique agissant suivant cette direction. Cette force est ce qu'on appelle la résultante des forces qui ont mis le mobile en mouvement, et celles- ci sont nommées les composantes de la première. Ap- pliquée en sens contraire de sa direction, la résultante fait équilibre aux composantes , puisqu'elle tend à im- primer au mobile un mouvement égal et contraire à celui qu'il recevrait de l'action simultanée des com- posantes, et qu'il n'y a pas de raison, par conséquent, pour qu'il se meuve plutôt d'un côté que de l'autre. Si toutes les composantes sont dirigées suivant une

44' TRAÏTÉ DE MÉCANIQUE.

même droite , et agissent dans le même sens, il suit de la notion que nous avons donnée de la mesure des forces fn8 5), que la résultante sera égale à leur somme. Si le mobile est sollicité par deux forces di- rectement contraires, on décomposera la plus grande en deux autres, dont l'une, égale à la plus petite, sera détruite par celle-ci , et dont l'autre , égaie à l'excès de la plus grande sur la plus petite, sera la résultante. On conclut de ces deux propositions que s'il y a un nombre quelconque de composantes, di- rigées, en partie suivant une droite, et en partie suivant son prolongement, la résultante sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens , moins la somme de celles qui agissent en sens contraire, et qu'elle agira dans le sens de la plus grande somme. Quand les deux sommes seront égales, la T'ésultante sera nulle, et les forces données se feront équilibre.

%5. Il y a un autre cas dans lequel on détermine aussi très aisément la grandeur et la direction de la résultante.

Soient MA , MB, MC (fîg. 5), les directions de trois forces égales appliquées au point M; supposons ces forces comprises dans un même plan, et les trois an- gles AMB, BMC, CM A, égaux entre eux, ou chacun à 120° ; le point M demeurera en équilibre; car il n'y aurait pas de raison pour qu'il sortît du plan des trois forces, ni pour qu'il se mît en mouvement plutôt dans l'un que dans l'autre de ces trois angles. Chacune des trois forces sera donc égale et contraire à la ré- sultante des deux autres. Or, si Ton prend sur les di- rections MA et MB de deux d'entre elles des lignes

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE. 45

«gales MG et MH , pour représenter leurs intensités , et qu'on achève le losange GMHK, la diagonale MK tombera sur le prolongement MD de MC; l'angle MGK sera de 60% comme chacun des deux autres angles du même triangle, qui sera équilatéral ; on aura donc MK = MG; par conséquent la diagonale MK du lo- sange construit sur les deux forces MG et MH repré- sente, en grandeur et en direction, la résultante de ces deux forces.

Cette proposition est comprise dans une autre que nous allons d'abord démontrer dans le cas de deux for- ces égales., dont les directions font un angle quelconque, et que nous étendrons ensuite à des forces inégales.

26. La résultante de deux forces égales coupe tou- jours en deux parties égales l'angle compris entre leurs directions 5 car il n'y aurait pas de raison pour qu'elle se rapprochât davantage de l'une de ces deux forces , ni pour que sa direction s'écartât de leur plan plutôt d'un côté que de l'autre ; sa direction est donc connue, et nous n'aurons que sa grandeur à déterminer.

Soient, pour y parvenir, MA et MB (fîg. 6) les directions des composantes dont la valeur commune sera représentée par P. Soient aussi zx l'angle AMB, et MD là direction de îa résultante, de sorte qu'on ait AMD=BMD = «r. Son intensité ne peut dépendre que des quantités P et oc; en la désignant donc par R, nous aurons

R=/(P,x).

Dans cette équation , R et P sont les seules quantités dont l'expression numérique varie avec l'unité de force; d'après le principe de l'homogénéité des quan-

46 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

tités (n° 23), il faut donc que la fonction f(¥9x)

soit de la forme ¥<px. Ainsi Ton a

R = P<px;

et la question se réduit à déterminer la forme de la fonction <p«r.

Pour cela, je mène arbitrairement par le point M les quatre lignes MA', MA", MB', MB"; je suppose les quatre angles À/M A, A"MA, B'MB, B"MB, égaux entre eux, et je représente chacun d'eux par z. Je décom- pose la force P dirigée suivant MA , en deux forces égales dirigées suivant MA' et MA", c'est-à-dire que je regarde la force P comme la résultante de deux forces égales dont la valeur est inconnue et qui agis- sent suivant MA' et MA"; en désignant cette valeur par Q, j'aurai

P = Q<pz;

car il doit exister entre les quantités P, Q, z, la même relation qu'entre les quantités R , P, oc. Je décompose de même la force P dirigée suivant MB, en deux forces Q, dirigées suivant MB' et MB"; de cette ma- nière, les deux forces P se trouvent remplacées par les quatre forces Q; par conséquent, la résultante de celles-ci devra coïncider, en grandeur et en direc- tion, avec la force R, résultante des deux forces P.

Or, en appelant Q' la résultante des deux forces Q, dirigées suivant MA' et MB', et observant que A/MD = B/MD = ^ — z, cette force Q' sera dirigée suivant MD, et l'on aura

Q'=Qp(*_z).

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 47

De même , la résultante des deux autres forces Q sera encore dirigée suivant MB, puisque cette droite coupe aussi l'angle A*MB" en deux parties égales ; et à cause de A'MD = B"MD = x + z, on aura

Q°z=Qç(x + z);

Q" désignant cette seconde résultante. Les deux forces Q' et Q" étant dirigées suivant la même droite MD, leur résultante, qui est aussi celle des quatre forces Q, sera donc égale à leur somme; par conséquent, on doit avoir

R = Q'+QV>

Mais on a déjà

R = P<px = Qpzçx ;

et en substituant cette valeur de R et celles de Q' et Qr/ dans l'équation précédente, et supprimant le fac- teur Q commun à tous les termes , il vient

<pxq>z = <p (x -f- z) + ffl (x — z). (i)

C'est cette équation qui nous reste à résoudre pour en déduire l'expression de <px.

2j. On voit d'abord qu'on y satisfait en prenant

<px = 2 cos ax ;

a étant une constante arbitraire , de sorte qu'on ait , en même temps ,

<pz = 2 cos az , <p (x + z) = 2 cos a(x + z) ,

(p {x — - z) = 2 cos a (x — z) ;

et, effectivement, si l'on substitue ces valeurs dans

48 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

l'équation (i), on obtient l'équation connue

2 cos ax cos az === cos a (x -f- z) + cos a(x — z).

Or, je dis que cette expression de la fonction <px est la seule qui satisfasse à l'équation (i), et que de plus , dans la question qui nous occupe , la constante a est l'unité ; en sorte que Ton a

q>x = 2 cos x. (2)

Cela est évident quand x = o ; car alors les di- rections des deux forces P coïncident, et la résultante ïl est égale à 2F , ce qui suppose (px=^2. Admet- tons qu'il y ait une autre valeur et de x, pour laquelle on ait aussi (pd = 2 cos et; je dis que l'équa- tion (2) subsistera également pour toutes les va- leurs 2ct, 3a, 4#3 ..,. , £a, \et, £a,... , de x , et généralement pour

»-*»i (5)

m et ra étant des nombres entiers quelconques.

En effet , si l'équation (2) se vérifie pour les trois angles x , z , x — z9 de manière qu'on ait

ÇX=2COSX, $Z==2CÔSZ, $(x z) = 2COs(x z)9

elle aura encore lieu pour un quatrième angle «x + z; car, en vertu de l'équation (1), on aura alors

<p (x + z) = 4 cos x cos z — 2 cos (oc — z) ; équation qui se réduit à

<p (x + 2) = 2 cos («r + z).

Ainsi l'équation (2) ayant lieu pour x=o et ocz=z et,

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 49

il s ensuit qu'elle subsiste pour x = 2a; ayant lieu pour x = et et x = 2ct> elle subsistera pour «r = 3 et; et, en continant de même, on verra qu'elle aura lieu pour x = met.

Je fais maintenant met = S; on aura donc

<pë = 2 cos S ;

et de là on conclura que l'équation (2) aura encore lieu pour x = £ S ; car en faisant x = z = £ £ , l'é- quation (1) deviendra

(<p | £)• = 2 cos € -h 2 ;

d'où l'on tire

<p | £ = 2 cos £ £ .

En faisant ensuite .r = 2 = ^ ê , on aura , d'après l'équation (1) et cette dernière ,

(<p i £)a = 2 cos j £ -f- 2 , <p | 6 = 2 cos ^ £ ; €t, en continuant ainsi, l'équation (2) sera démon- trée pour x = — ^ , c'est-à-dire, pour toutes les va- leurs de x comprises dans la formule (3),

Or, les nombres m et n étant aussi grands qu'on voudra, et pouvant même devenir infinis, on peut faire croître ces valeurs de x par degrés infiniment petits. La formule (5) comprend donc toutes les valeurs possibles de l'angle x, et Féquation (2) est complè- tement démontrée, si toutefois elle est vraie pour une valeur particulière x == et , différente de zéro. Mais , d'après le théorème du n° 25 , la résultante R est égale à P , dans le cas de x = 6o° ; on a donc

x' 4

5o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

alors

(pJC =:i = 2 cos 6o° ;

donc l'équation (2) a lieu pour oc d= 6o°, et consé- quemment pour toutes les valeurs de oc. 28. Au moyen de cette équation, on aura

R = 2P cos oc.

Si donc la résultante R et les deux composantes P sont réprésentées, comme dans le n° 25, par des droites prises sur leurs directions respectives, à par- tir de leur point d'application, la force R sera le double de la projection de P sur sa direction, ou égale à la diagonale du losange construit sur les deux forces P.

Soient maintenant deux forces inégales P et Q v appliquées au point M ( fig. 7 ) suivant les directions MA et MB; représentons leurs intensités par les lignes MG et MH, prises sur leurs directions, et achevons le parallélogramme MGKH : il y aura deux cas à considérer, le premier où l'angle AMB sera droit, le second où il sera aigu ou obtus.

Dans le premier cas, tirons les deux diagonales MK et GH qui se coupent au point L ; par les points G et H , menons les parallèles GN et HO à ML , qui rencontrent en N et 0 la parallèle à GH, menée par le point M. Le point L est le milieu de MK et de 1jH; et comme, dans un rectangle, les deux diago- nales sont égales, il s'ensuit qu'on a

GL = LI1 = LM. ."

Les deux Daralléîogrammes GLMN et HLMO sont

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 5!

donc des losanges; par conséquent, d'après la propo- sition précédente , la force MG pourra être regardée comme la résultante des deux forces MN et ML, et la force MH comme la résultante de MO et ML. Donc, en substituant aux deux forces données leurs composantes, nous aurons, au lieu de MH et MG , les deux forces MN et MO , qui se détruisent , puis- qu'elles sont égaies et contraires, et les deux forces ML, qui s'ajoutent et donnent une résultante repré- sentée en grandeur et en direction par la diago- nale MK.

Dans le second cas, menons par les points G et H (fig. S) les perpendiculaires GE et HF à la diago- nale MK, et les parallèles GN et HO à cette même droite; par le point M, menons aussi la perpendicu- laire NMO à cette droite MK. lies deux parallélo- grammes GEMN et HFMO seront des rectangles qui auront leurs côtés MN et MO égaux, comme étant les hauteurs des deux triangles égaux GMK et HMK. D'après le premier cas, on pourra remplacer les forces MG et MH par leurs composantes rectangulaires ME et MN , MF et MO ; au lieu des deux forces données , on aura donc les deux forces MN et MO, qui se dé- truiront , comme étant égales et contraires , et les deux forces ME et MF de même direction , qui s'a- jouteront et donneront, à cause de ME = FK, une résultante représentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Concluons donc que la résultante de deux forces quelconques, appliquées en un même point et repré- sentées par des lignes prises sur leurs directions à

4..

52 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

partir de ce point, est représentée, en grandeur et en direction, par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces données.

29. Voici les conséquences qui se déduisent le plus immédiatement de ce théorème.

On voit d'abord que toutes les questions qu'on peut proposer sur la composition de deux forces en une seule et sur la décomposition d'une force en deux autres, sont ramenées à la résolution d'un triangle. En effet , les grandeurs de la résultante et des deux composantes sont représentées par les trois côtés MK, MG , GK, du triangle MGK; et les trois angles de ce triangle sont ceux que fait la résultante avec chacune des composantes et le supplément de l'angle compris entre les deux composantes. Il s'ensuit donc que trois de ces six choses, les trois foi ces et les trois angles compris entre leurs directions , étant données, on trouvera les trois autres en résolvant le triangle MGK ,• ce qui suppose une force au moins au nom- bre des données. Par exemple, soient P et Q les valeurs des deux composantes , et m l'angle compris entre leurs directions ; on demande leur résultante R et l'angle x qu'elle fait avec la force P. On aura d'abord l'équation

R3 = Pa -f- Qa + 2PQ COS 772,

pour déterminer la valeur de R 5 et celle de x se dé- duira de cette proportion :

sin x : sin m :: Q : R. Si l'équilibre a lieu entre trois forces P, Q, S, ap-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 53

pîiquëes en un même point M (fig. 9), suivant les directions MA, MB, MG, il faut que chacune de ces forces soit égale et directement opposée à la résul- tante des deux autres; et comme cette résultante est comprise dans le plan de ces deux forces, il s'ensuit d'abord que les trois forces données doivent aussi être dans un même plan. Soit MD le prolongement de MC; la résultante de P et Q sera dirigée suivant MD, et si on la représente par R, on aura R = S. D'ailleurs, en comparant la force R à chacune de ses composantes , on a , d'après ce qu'on vient de dire ,

R : Q :: sin AMB : sin AMD, R : P :: sin AMB : sin BMD;

à cause de

sin AMD == sin AMC , sin BMD ==- sin BMC , il en résultera donc

S : Q : P :: sin AMB : sraAMC : sin BMC;

ce qui montre que quand trois forces sont en équi- libre autour d'un même point, la grandeur de cha- cune d'elles peut être représentée par le sinus de l'angle compris entre les directions des deux autres.

Du point 0, pris sur la direction de la résultante R ou sur son prolongement , j'abaisse des perpen- diculaires OE et OF sur les directions des compo- santes P et Q; on aura

OE = MO sin AMD , OF = MO sin BMD.

Si donc on multiplie par MO les deux derniers

54 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

termes de la proportion

P : Q :: sin BMD : sin AMDr

il en résultera

P : Q :: OF : OE;

en sorte que les composantes sont en raison inverse des perpendiculaires abaissées sur leurs directions , d'un point quelconque appartenant à la direction de la résultante. Réciproquement, si les composantes P et Q sont en raison inverse des perpendiculaires OE et OF, abaissées sur leurs directions, d'un point 0 pris dans leur plan, ce point appartiendra à la direction de la résultante ; car , en divisant par MO les deux derniers termes de la dernière proportion, on obtient la précédente, qui détermine cette di- rection.

5o. La résultante de deux forces étant connue , il est aisé d'en déduire celle d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et situées ou non situées dans un même plan . On prendra d'abord la résultante de deux de ces forces ; ensuite, on com- posera cette résultante avec une troisième force, ce qui donnera une seconde résultante, que l'on com- posera de même avec une quatrième force ; et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données. Dans cette construction , il est aisé de voir que si les grandeurs de toutes les forces sont représentées par les côtés d'une portion de polygone, parallèles à leurs directions et tracés dans le sens de leurs actions, la résultante sera représentée, en gran»

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 55

deur et en direction, par la droite qui joindra les deux extrémités de cette ligne brisée et fermera le polygone. L'ordre dans lequel les côtés parallèles aux forces se succéderont sera indifférent. Quand le po- lygone se fermera de lui-même, la résultante sera nulle , et les forces données se feront équilibre.

Il suit de là que quand les forces données sont au nombre de trois, non situées dans un même plan, leur résultante est , en grandeur et en direction , la diagonale du parallélépipède dont ces trois forces sont les côtés adjacens.

5i. On peut effectuer d'une manière plus simple cette réduction d'un nombre quelconque de forces à une seule, en considérant d'abord le cas particulier de trois forces rectangulaires, auquel on ramène en- suite le cas général.

Soient X, Y, Z, les trois composantes, R leur ré- sultante, a, b, c , les angles qu'elle fait avec X, Y, Z. D'après ce qu'on vient de voir , R est la diagonale du parallélépipède dont X, Y, Z, sont les trois cô- tés adjacens; or, ce parallélépipède étant rectangle, il s'ensuit qu'on aura

R«=X« + Ya + Za. (a)

Il s'ensuit aussi que si Ton joint l'extrémité de la dia- gonale R à celles des trois côtés X , Y, Z , on forj- mera trois triangles rectangles, dont R sera l'hypo- ténuse commune; d'où l'on conclura

X = R cos a , Y = R cos b , Z = R cos c ; (b)

équations qui s'accordent avec la précédente, à cause

56 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

que les trois angles a, b, c , sont liés entre eux par

cette équation (n° 6)

cosa a + cosa b + cosa c = i .

Lorsque les composantes X , Y, Z , seront don- nées , l'équation (a) fera connaître la valeur de la résultante , et les équations (b) en détermineront la direction au moyen des trois angles a , b , c ; si, au contraire, la force R est donnée, et qu'il s'agisse de la décomposer en trois forces rectangulaires X , Y, Z, qui fassent avec elle des angles donnés a, b, c, les valeurs des forces demandées seront immédia- tement déterminées par les équations (b).

Si lune des composantes, la force Z par exemple, est nulle, R n'est plus la résultante que des deux forces X et Y ; elle est comprise dans leur plan , et sa direction dépend seulement des deux ongles a et b. Ces angles et la valeur de R sont alors déterminés par les équations

Ra = Xa + Y% X = Rcosa, Y=zRcos£.

o2. Supposons actuellement que M (fig. ire) soit le point d'application d'un nombre quelconque de forces données. Représentons ces forces par P, P', Pr/, etc.; et, pour fixer les idées, supposons que la droite MD soit la direction de la force P. Les direc- tions des autres forces sont inutiles à indiquer dans la figure. Soient et, ê, y , les angles que fait la direc- tion MD avec les trois axes rectangulaires MA , MB , MC, menés arbitrairement par le point M. Désignons de même par a, £', y', les angles que fait la force P''

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 57

avec ces mêmes axes; par ct% ë", y", ceux qui répondent à la force P"; etc. Tous ces angles sont donnés et doivent s'étendre depuis zéro jus- qu'à i8o° (n° 7), afin que les forces P, P', P", etc., puissent avoir toutes ]es positions possibles autour du point M.

Décomposonscliacune de ces forces en trois autres di- rigées suivant les axes MA , MB, MG.Les composantes de la force P seront P cos cl, P cos Q, P cos y ; celles de la force P' seront P' cos et', P'cosë', P' cos y'-, etc.; et ces composantes agiront suivant les axes ou sui- vant leurs prolongemens, selon qu'elles seront posi- tives ou négatives. Par exemple, la direction MD tombant , ainsi que l'axe MC , au-dessus du plan AMB des deux autres axes, la composante P cos y de la force P tend à élever le point M, c'est-à-dire qu'elle agit suivant MC ; et, dans ce cas, P cos y est une quantité positive , puisqu'on a y < go°. Au contraire , si cette direction MD tombait au- dessous du plan AMB, on aurait y > go°; la com- posante P cos y serait négative, et, en même temps, elle tendrait à abaisser le point M, c'est-à-dire qu'elle agirait suivant le prolongement de MC. En ayant donc égard aux signes des composantes, on voit, d'après ce qu'on a dit dans le n° 24 , que toutes les forces dirigées suivant un même axe et son pro- longement se réduisent à une seule, égale à leur somme.

De cette manière , les forces données P, P', P", etc., seront remplacées par trois forces rectangulaires ; et en désignant celles-ci par X, Y, Z, on aura

58 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

X = P cos cl + P' cos cl + P" cos cLn + etc. , Y = P cos g + P' cos £' + P" cos g" -h etc. , Z = P cos £ + P' cos >'+ P" cos y" + etc.

Les valeurs de X, Y, Z, pourront être positives ou négatives, et leurs signes feront connaître le sens de leur action. Si la force X est positive, c'est qu'elle agit suivant l'axe MA ou dans le sens des compo- santes Pcosa, P'cosa', etc., qui sont positives; si elle est négative , il en faut conclure qu'elle agit sui- vant le prolongement de MA ou dans le sens des com- posantes négatives ; et de même pour les forces Y et Z.

Cela posé, soit R la résultante des forces données P, P7, Y', etc., ou des trois forces X, Y, Z; soient aussi a9b, c, les angles que sa direction inconnue fait avec les axes MA, MB, MC. Les valeurs de R, a , b, c, seront données par les équations (a) et (b), dans lesquelles on mettra les formules (c) à la place de X, Y, Z. Les angles a, b , c, pourront être aigus ou obtus ; à cause que la force R doit toujours être une quantité positive, les signes de leurs cosinus se- ront les mêmes que ceux des quantités X , Y, Z , en vertu des équations (b). De cette manière , la force R sera complètement déterminée en grandeur et en di- rection.

35. La grandeur de la résultante R ne saurait dé- pendre de la direction arbitraire des axes MA , MB , MC ; elle dépend seulement de la grandeur des forces données et des angles compris entre leurs directions; et, en effet, on en peut trouver une expression qui ne contienne que ces quantités.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 59

Pour cela < désignons par PMP', PMP", P'MP", etc.,

les angles compris entre les directions des forces P

et P', P et P", P' et P", etc. D'après l'équation (2)

du n° 9, nous aurons

cos PMP' == cos cl cos a' + cos S cos ëf -+- cos y cos y', cos PMP"= cos et cos cl" + cos ê cos é"+ cos y cos y", cosP'MP*= cos et cos a"+cos £'cos £" + cos 7/cos y, etc.

Nous aurons aussi

cosa et + cos* S + cosa y = 1 , cosft a' + cosa £'-|- cosa ^=1,

COS2 #"+ COS8 g"+ COSa /'= T ,

etc. ;

et, cela étant, si l'on ajoute les carrés des for- mules (c), et qu'on ait égard à l'équation (a) > il vient

R* '— p* H_ F» + P"* + etc.

+ 2PP' cos PMP' + 2PP" cosP MP" + 2P'P"cos P'MP" + etc.,

pour le carré de la valeur de R dont il s'agit.

34. On déduit aussi des équations (b) et (c) une propriété de la résultante, qui nous sera utile dans un des numéros suivans.

Dans une direction quelconque, je mène par le point M une droite, dont j'appelle 0 l'autre extré- mité. Soient g, h, k, les angles AMO, BMO, CMC, que cette droite fait avec les trois axes MA , MB , MC. Désignons par RMO, PMO, P'MO, etc., les an»

6o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

gles compris entre cette même droite MO et les direc- tions des forces R, P, P', P", etc. ; on aura, comme tout à l'heure ,

cos RMO = cos g cos a + cos h cos b + cos h cos c ,

cos PMO = cos g cos et + cos h cos £ + cos k cos y ,

cos P'MO = cos g cos a'+ cos h cos &'-\- cos & cos y'9 etc.

D'après la première de ces formules et les équa- tions (b), on aura

R cos RMO = X cos g + Y cos h -+- Z cos &;

et, en vertu des formules suivantes, si Ton ajoute les équations (c) après les avoir multipliées, la pre- mière par cosg*, la deuxième par cos h7 la troi- sième par cosk9 il en résultera

R cos RMO = P cos PMO + P' cos P'MO + etc. ;

ce qui montre déjà que la composante de la résul- tante R, suivant une direction quelconque MO, est égale à la somme des composantes de P, P'/P", etc., suivant cette même direction.

Cela posé, je projette la droite MO sur les di- rections des forces R, P, P', Pr/, etc.; j'appelle r, p, p' ? p", etc., ses projections, de sorte qu'on ait

r = MO cos RMO,

p — MO cos PMO, //= MO cos P'MO, etc.,

en considérant chacune des quantités r , p , pf9 p"9 etc. , comme positive ou comme négative , se- lon que la projection qu'elle représente tombe sur

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 61

la direction même de ia force ou sur son prolon- gement. Si donc on multiplie par MO l'équation précédente, on aura

Rr = Py? + P'// + P>r/ + etc. ; (d)

ce qui renferme la propriété de la résultante qu'il s'agissait de démontrer.

55. Pour que les forces P, P', Pr/, etc. , soient en équilibre , il suffit que leur résultante R soit nulle, et cette condition est nécessaire si leur point d'ap- plication M est entièrement libre; mais l'équation R = o, ou

Xa + Ya + Za = o ,

ne peut avoir lieu, à moins qu'on n'ait séparément

X = o, Y = o, Z = o,

c'est-à-dire, en vertu des équations (<?),

P cos a. -f*!F cos et' -f- Pf/ cos a!' -f- etc. = o , ) Pcosg + P'cos£' + P''cos£'' + etc.==o, > (e) P cos y + P' cos y' -f- P" cos y" -f- etc. = o. 5

Telles sont donc les équations d'équilibre d'un point matériel qu'on suppose entièrement libre. Dans cet état, chacune des forces qui le sollicitent doit être égale et directement contraire à la résul- tante de toutes les autres ; c'est , en effet , ce qu'il est aisé de vérifier.

Soit R' la résultante des forces P', P", etc. Appe- lons a' , bf, c', les angles quelle fait avec les axes MA, MB, MC, et faisons, pour abréger,

62 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

X' = F cos cl' + P" cos «" + etc. , Y' = P' cos £' + P" cos G' + etc. , Z' = P7 cos j/ + P" cos y" + etc. ;

nous aurons, d'après le n° 32,

X' = R' cos a', Y' — R' cos b', Z' = R' cos c%

et par conséquent, en vertu des e'quations d'équilibre,

P cos cl = — R' cos tf',

P cos £ == — R' cos &',

P cos ^= — R'cos c'.

En ajoutant ces équations, après avoir élevé leurs deux membres au carré , on a

Pa = Ra,

à cause de ( n° 6 )

cosa a + cosa € -f- cos* y === i , cosa #'-f-cosa è'-f- cos' c'= i ;

on aura donc P = dzR'; mais comme ces forces doi- vent être toutes deux des quantités positives, il faut prendre P = R'. Les équations précédentes devien- nent alors

cosc6 = — cosa', cos£= — cos &', cos^ = — cosc^

par conséquent, les angles a, £, y, sont supplémens de a! ', b1 ', c' , et répondent à une force dont la direc- tion est le prolongement de la force R' ( n° 7 ). Il s'ensuit donc que la force P est égale et directe- ment opposée à la résultante R' de toutes les autres forces P', P", etc. ,* ce qu'il s'agissait de vérifier.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 63

56. Si le point 'M, auquel sont appliquées les forces P, P', Pr/, etc. , est. assujetti à rester sur une surface donnée, il ne sera plus nécessaire, pour l'é- quilibre, que leur résultante soil nulle; il suffira qu'elle soit normale à la surface, puisqu'alors elle ne pourra faire glisser le point M dans aucun sens sur cette surface; et, de plus, cette condition sera nécessaire; car si elle n'était pas remplie, la résul- tante se décomposerait en deux forces, l'une normale à la surface et qui serait détruite, l'autre tangente et que rien n'empêcherait de faire glisser le mobile. On n'aurait donc qu'à chercher, dans chaque cas, la di- rection de la résultante des forces P, P', P", etc., et à examiner si elle est perpendiculaire à la surface donnée, pour savoir si l'équilibre existera; mais il vaut mieux, comme nous venons de le faire pour un point libre , exprimer les conditions de l'équilibre par des équations entre les données de la question.

Or, la composante normale de chacune des forces qui agissent sur le point M est détruite par la résistance de la surface ; par conséquent, cette résistance équivaut à une force égale et contraire à la totalité des forces détruites. On conçoit donc que l'on peut faire abs- traction de la surface donnée , et considérer le point matériel comme entièrement libre , pourvu que l'on joigne aux forces données P, P', P", etc. , une nou- velle force de grandeur inconnue et perpendiculaire à cette surface.

Soient donc N cette force, et A, p , v , les angles que sa direction fait avec les axes MA , MB , MC; cha- cune des équations d'équilibre qu'on vient de trouver

64 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

sera augmentée d'un nouveau terme, de sorte qu'au-

lieu des équations (e) , on aura

NcosÀ+Pcosct+P'cos*'+Pf/cosar/+etc.=oJ Ncos^+Pcosg-f-P,cos^+Pr/cosg//+etc.=:o/(y) Ncos j/+Pcos3/+P'cosy+Iy/cosy/+etc-=0-i

Je désigne par x , y, z9 les trois coordonnées de M rapportées à des axes parallèles à MA , MB , MC , et par L = o l'équation de la surface donnée ; la direc- tion de la force N étant, par hypothèse, celle de la normale au point M, on aura, d'après les équations (5) du n°2i ,

-ïT- dh -xj dh T7 dh

en faisant, pour abréger,

v=±[(£)'+0+©]"-

Le signe de V sera inconnu , parce qu'on ne sait pas d'avance suivant quelle partie de la normale doit être dirigée la force N; mais V disparaît lorsqu'on éli- mine N entre les équations (f) ; et si l'on a égard aux formules (<?) , on trouve

..T dh ■%r dh r, dh v d\i , .

pour les deux équations nécessaires et suffisantes de l'équilibre d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface donnée

3-7. Si la position de ce point sur cette surface n'est pas connue , les équations (g) , jointes à i'équa-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 65

lion donnée L = o, serviront à déterminer les coor- données des différens points de cette surface , où le mobile pourra demeurer en équilibre. Lorsque sa position sera donnée, on aura seulement à vérifier si les coordonnées ce , y7 z, des points d'application des forces données satisfont aux équations (g). Mais, dans ce cas , on aura des équations plus simples en faisant coïncider l'un des axes MA, MB, MC, le premier, par exemple, avec l'une des deux parties de la normale ; d'où il résultera

cos X = ± i , cos fi. = o , cos v = o ;

ce qui change les équations (f) en celles-ci :

± N + P cos a + P' cos cl -4- Pf/ cos cl" + etc. — o , P cos S + P' cos g' + P" cos g" + etc. = o , P cos y + P; cos y' + Pr/ cos y -f- etc. = o.

Ces deux dernières équations font voir, ce qui est d'ailleurs évident, que dans le plan tangent à la sur- face donnée, les composantes des forces appliquées au mobile doivent se faire équilibre , comme si cette surface n'existait pas.

La résistance N, que la surface oppose aux forces P, P7, Pr/, etc. , est égale et contraire à la pression qu'elle en éprouve. En vertu des équations (f)7 cette pres- sion , dans l'état d'équilibre , est la résultante même de ces forces. Dans la pratique , il en faudra calculer la grandeur au moyen de l'équation (a) , pour savoir si la surface est capable de la supporter. Si le mobile est seulement posé sur cette surface, qui sera celle d'un corps solide, il faudra, de plus, que le sens de cette pression soit tel qu'elle appuie le mobile sur i. 5

66 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

cette surface ; condition qui ne peut être exprimée par une équation, et qu'on devra vérifier dans chaque cas , en déterminant la direction de cette force d'après les équations {b). Cette vérification se fera plus sim- plement au moyen de la première des trois équations précédentes.

En effet, supposons , pour fixer les idées, que la partie de la normale avec laquelle on a fait coïncider Taxe MA , soit la partie située dans la concavité de la surface. On saura si les angles donnés et, a', a!1, etc., sont aigus ou obtus ; et le signe de la somme X des composantes dirigées suivant cette droite sera connu. La quantité N devant être positive, il faudra, dans l'équation dont il s'agit , c'est-à-dire ,

d= N + X = o ,

prendre le signe — ou le signe -f- devant N, selon que la somme X sera positive ou négative. Dans le premier cas , on aura cos A = — i , et la pression contraire à N sera dirigée suivant MA ; dans le se- cond cas , on aura cos A = i , et la pression agira suivant le prolongement de cette partie déterminée de la normale.

58. Lorsque le point matériel M sur lequel agissent les forces P , P', P", etc. , sera assujetti à rester sur deux surfaces données ou sur leur courbe d'intersec- tion, il suffira, pour l'équilibre, que la résultante de toutes ces forces puisse se décomposer en deux forces perpendiculaires aux surfaces données , et qui seront détruites par leurs résistances. En joignant donc aux forces P, P', Pr/, etc., deux forces uor-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 67

maies à ces surfaces, mais inconnues en grandeur, on pourra faire abstraction des surfaces, et considé- rer le mobile comme entièrement libre.

N et N' étant donc ces nouvelles forces ; A , /a , v , les angles qui déterminent la direction de N par rap- port aux axes MA, MB, MC, et ?/, pJ , /, ceux qui déterminent de même la direction de N'; les équa- tions (e) deviendront

NcosA-J-N/cosA/+Pcosa+P/cosce/+etc.=o, ) Ncos^-j-N'cos^+Pcos^+P'cos^+etc.^o^ (h)

Ncosr +N/cos/+Pcos^+P/cos>/4- etc.=o.)

D'ailleurs, en représentant par oc , y, z, les coor- données du point M rapportées à des axes parallèles à MA, MB, MC, et par L = o et h' = 0, les équa- tions des deux surfaces données, les valeurs de cos A, cos/x, cos v, seront les mêmes que précédemment, et celles de cos A7, cos ju1 \ cos v' 9 s'en déduiront en y changeant L en L'. Si Ton substitue ces valeurs dans les trois équations (h) , et qu'on élimine ensuite N et N' entre elles , on aura l'équation d'équilibre à la- quelle devront satisfaire les forces données P, P', P", etc. ; ou bien, si la position du mobile n'est pas donnée sur l'intersection des deux surfaces , cette équation d'équilibre, et les équations L = o et L/=o, détermineront ses trois coordonnées oc , y, z.

Quand la position du mobile est donnée sur la courbe où il doit rester, on obtient immédiatement l'équation d'équilibre des forces P, P', P", etc., en prenant les axes MB et MC , auxquels répondent les angles /*, ë, €', etc., v, y, y', etc , dans le plan des

5,.

68 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

normales aux deux surfaces données. Le troisième axe MA tombe alors sur la tangente à leur courbe d'intersection ; il est donc perpendiculaire aux forces normales N et N'; en sorte que l'on a À = go% Xf = 90% et , en vertu de la première équation (h),

P cos a + P' cos et' + P' cos et" -}- etc. — o ,

pour Féquation demandée.

Cette équation exprime que îa somme des compo- santes de P, P', P", etc., tangentes à l'intersection des deux surfaces données , est égale à zéro ; ce qui est , en effet, la condition pour que le point M ne puisse pas glisser sur cette courbe. Après s'être assuré qu'elle est remplie , on déterminera les valeurs des forces N et N', et le sens dans lequel elles agissent, au moyen des deux dernières équations (h). Si l'on prend en- suite des forces égales et contraires à N et N', et qu'on les réduise à une seule par la règle du parallélo- gramme des forces , celle-ci sera la résultante des forces P, P', Y', etc., et fera connaître la pression exercée sur îa courbe donnée, à laquelle elle sera perpendiculaire.

39. Par ce qui précède, on voit que quand le mo- bile est astreint à demeurer sur une courbe donnée, il n'y a qu'une équation d'équilibre ; qu'il y en a deux lorsqu'il peut se mouvoir sur une surface don- née, et trois lorsqu'il est entièrement libre; en sorte que le nombre de ces équations augmente , comme cela doit être effectivement, à mesure que les mou- vemens possibles du mobile sont moins limités. Ces diverses équations peuvent être renfermées dans une

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 69

seule formule , qui deviendra, par la suite, l'équa- tion générale de l'équilibre , applicable à un système quelconque de points matériels.

Pour obtenir cette formule , supposons que le mo- bile soit transporté d'un point M, qu'il occupe dans sa position d'équilibre , en un autre point 0 infini- ment voisin de M, et tel que ce déplacement soit compatible avec la condition à laquelle le mobile est assujetti, s'il n'est pas entièrement libre. Désignons par r, p , p', p", etc. , les projetions de la droite in- finiment petite MO sur les directions des forces R , P, P', P", etc., dans la première position du mobile; et considérons chacune de ces projections comme une quantité positive ou négative , selon qu'elle tombe sur la direction même de la force à laquelle elle répond, ou sur son prolongement. Si l'on sup- pose que la force R soit la résultante des forces P , P', Pf/, etc., le produit Rr sera toujours nul dans le cas de l'équilibre : il sera nul pour un point matériel entièrement libre, parce qu'alors la résultante R devra être égale à zéro ; il le sera encore pour un point as- sujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée , parce que , d'une part , la force R devra être dirigée suivant la normale, et que, d'un autre côté, la droite infiniment petite MO appartiendra au plan tangent ou à la tangente, ce qui rendra nulle sa pro- jection r sur la direction R. D'après l'équation (d) , qu'on a démontrée précédemment, et qui a égale- ment lieu quand la droite MO est infiniment petite , on aura donc

p^ + py + py +^tc. = o , ; (/)

7o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

toutes les fois que les forces P, P', P", etc., se fe- ront équilibre. Réciproquement, l'équilibre existera quand cette équation aura lieu pour tous les déplace- mens possibles d'un point matériel entièrement libre, ou astreint à rester sur une surface ou sur une courbe donnée.

On appelle vitesse virtuelle d'un point matériel en équilibre toute droite infiniment petite, telle que MO, qu'on peut lui faire décrire, en observant les conditions auxquelles il peut être assujetti ; et le principe d'équilibre contenu dans l'équation qu'on vient d'écrire, sur lequel nous reviendrons par la suite , se nomme le principe des vitesses virtuelles. En l'appliquant successivement à un point matériel entièrement libre, assujetti à rester sur une surface, astreint à demeurer sur une courbe , on retrouvera sans difficulté les équations d'équilibre que nous avons précédemment obtenues. Chacune des équa- tions (e) se déduira de la formule (i) , en prenant pour MO le déplacement de M sur l'un des axes MA; MB, MC; on obtiendra les équations d'équi- libre qui ont lieu dans le cas d'un point assujetti à rester sur une surface donnée , en considérant ses déplacemens suivant deux axes tracés dans le plan tangent,* et la formule (£) fournit immédiatement l'équation d'équilibre d'un point astreint à rester sur une courbe donnée , en prenant pour MO l'é- lément de cette courbe, et pour pf p' ', p'1 r, etc., les projections de cet élément sur les directions des forces P, P', P", etc. Les angles que ces direc- tions font avec la tangente à la courbe étant ci r.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ?I

a', a", etc., on aura alors

p=MOcosct,, pf=zMOcQs*', p,,= MOcosan? elc. ;

en supprimant le facteur MO commun à tous les termes de l'équation (i), il en résultera

P cos cl -f- P' cos a' -f- Pf/ cos clu -f- etc. = o ,

comme précédemment.

7 1 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

^VVVVVVVVVVVVVWVVVV^iVVVVVVVVVVVV'VVVVVVVVVVVVVVVVVVV^

CHAPITRE II

DE L'EQUILIBRE DU LEVIER.

4o. On considérera ici un levier comme une ligne droite ou courbe ECF (fig. 10) inextensible, et de forme invariable , qui ne peut que tourner , dans un plan, autour d'un de ses points C supposé fixe, que Ton appelle le point & appui du levier. Ordinaire- ment il n'y a que deux forces qui soient appliquées à cette machine y et dont l'une a pour objet de tenir l'autre en équilibre; la première s'appelle la puis- sance, et la seconde la résistance. Mais, pour plus de généralité, nous supposerons qu'un nombre quel- conque de forces dirigées dans le plan du levier agis- sent en différens points de cette ligne; et il s'agira de trouver les conditions de leur équilibre.

Je ne me propose pas, dans cet ouvrage, d'appli- quer aux diverses machines les lois de l'équilibre qui y seront exposées. Pour ce qui regarde les machines simples, je renverrai aux Traités élémentaires de Statique; mais la loi de l'équilibre dans le levier étant un principe de la Mécanique , il est nécessaire de nous en occuper ; et Ton va montrer comment ce principe est lié à celui de la composition des forces qui agissent sur un point isolé.

4t. Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un corps qu'on suppose de forme invariable, on peut

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 73

transporter le point d'application de chacune de ces forces en un autre point du corps pris sur sa direc- tion ou sur son prolongement. Si une force donnée P agit , par exemple, à l'extrémité E du levier, suivant la droite AE, et que M soit un autre point appartenant à cette direction , qu'on suppose lié au levier d'une manière invariable, il est permis de remplacer la force P par une autre force de même intensité , agis- sant au point M suivant la droite MA. En effet, on peut d'abord appliquer au point M deux forces égales entre elles, agissant en sens contraires, l'une suivant MA, l'autre suivant son prolongement MA7; si , de plus , on suppose que chacune de ces forces soit égale à P, celle qui agit suivant MA' détruira la force P appliquée au point E suivant EA, puisque ces deux forces égales agissent en sens contraires aux extrémi- tés de la droite ME, de longueur invariable, par hy- pothèse ; il ne restera donc plus que la force P agis- sant au point M dans la direction MA, et par laquelle la force donnée P, qui agissait au point E, se trou- vera remplacée.

Les forces agissent souvent sur les corps qu'elles mettent en mouvement ou qu'elles tendent à mou- voir , soit en les tirant par le moyen d'un fil qui leur est attaché , soit en les poussant par le moyen d'une barre appuyée contre leur surface. Ce fil ou cette barre s'étend ou se contracte plus ou moins; c'est quand ils ont cessé de s'allonger ou de se rac- courcir qu'on les considère comme des lignes inva- riables qui représentent la direction de chaque force , dont l'action est la même alors que si elle s'exer-

74 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

çait immédiatement aux points de la surface du mo- bile où ces lignes viennent aboutir. Un levier n'est pas non plus, comme on le suppose ici, une ligne de forme invariable ; c'est une barre qui fléchit un tant soit peu , et s'étend ou se contracte aussi d'une petite quantité, en raison des forces qui y sont ap- pliquées. La forme qu'il doit prendre serait très dif- ficile à déterminer d'avance ; mais c'est quand il y est parvenu qu'on le considère comme invariable, et c'est à cette figure , très peu différente de sa forme naturelle , que se rapporteront les conditions d'équi- libre qu'il s'agit de trouver.

42. Supposons qu'une seconde force Q agisse à l'autre extrémité F du levier, suivant la droite FB, et que les deux directions EA et FB soient com- prises dans le plan où le levier peut tourner; ces deux droites, ou leurs prolongemens , viendront se couper en un certain point M , que l'on pourra prendre , d'après ce qu'on vient de prouver , pour le point d'application commun à P et Q. Cela étant, par la règle du parallélogramme des forces on dé- terminera la résultante de ces deux forces , de la- quelle M sera aussi le point d'application. Or, pour qu'elle soit détruite et que le levier demeure en équilibre, il sera nécessaire que sa direction vienne passer par le point d'appui C; et cela suffira, puis- qu'en y transportant cette résultante, elle sera dé- truite par la résistance de ce point ûxe. D'après ce qu'on a vu dans le n° 29, si l'on abaisse du point C des perpendiculaires CG et CH sur les directions des forces P et Q , on aura donc, dans le cas de

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 75

l'équilibre ,

P : Q :: CH : CG;

et, réciproquement, l'équilibre existera quand cette proportion aura lieu. Par conséquent, en appelant p et q les perpendiculaires CG et CH , l'équation d'équilibre sera

Tp - Q?.

On appelle moment d'une force par rapport à un point y le produit de cette force par la perpendicu- laire abaissée de ce point sur sa direction. Ainsi , la condition d'équilibre dans le levier consiste en ce que les momens de la puissance et de la résistance, pris par rapport au point d'appui , sont égaux ; ces deux forces tendant d'ailleurs à faire tourner le levier en sens opposés.

Si l'on suppose les droites CG et CH liées inva- riablement au levier , on pourra prendre G et H pour les points d'application des forces P et Q , et remplacer le levier de figure quelconque ECF par le levier coudé GCH (fîg. n). Les perpendiculaires CG et CH s'appellent les bras de levier, de la puis- sance et de la résistance. La condition de l'équilibre ne dépend pas de la grandeur de l'angle GCH ; et c'est aussi ce que l'on peut voir a priori.

En effet , si du point C et d'un rayon CH on décrit l'arc de cercle HH', qu'on le suppose lié invariable- ment au levier , et qu'on applique au point H' deux forces égales à Q, agissant en sens contraires, sui- vant les parties H'B' et H'Bff de la tangente en ce point, il est évident que la force Q, dirigée sui-

76 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

vant H'B", sera détruite par la force Q dirigée suivant J3B.J car ces deux forces tendent à faire tourner le système en des sens opposés, et il n'y aurait pas de raison pour qu'il obéît plutôt à l'une qu'à l'autre. La seconde de ces deux forces se trouvera donc rem- placée par la force Q dirigée suivant H'B', et l'an- gle GCH sera changé dans l'angle GC1P, plus grand ou plus petit , sans que l'équilibre soit troublé.

Par ce changement, l'angle des deux bras du le- vier pourra devenir 1800 ou zéro; alors le levier sera droit; la puissance et la résistance seront des forces parallèles dirigées dans le même sens ou en sens contraires; et, pour l'équilibre, il faudra toujours que leurs intensités soient en raison inverse des lon- gueurs de leurs bras de levier.

45. Si l'on appelle R la résultante des deux forces P et Q concourantes au point M (fig. 10), et m l'angle ÀMB compris entre leurs directions , on aura (n° 29)

R2 = Pa + Qa + 2PQ cos m ;

et la valeur de R fera connaître la charge que le point d'appui C aura à supporter dans l'état d'équi- libre. Appliquée en ce point, la force R aura pour direction la droite CD, prolongement de MC. La fi- gure 10 suppose le point C situé entre les points d'application E et F de la puissance et de la résis- tance. Le contraire a lieu dans la figure 12; mais les raisonnemens qu'on vient de faire s'appliquent à ces deux cas : ils diffèrent l'un de l'autre en ce que, dans le premier cas, les forces P et Q agissent de deux côtés différens du levier, et l'angle AMB est aigu, au

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 77

lieu que , dans le second cas , elles agissent d'un même côté , et l'angle AMB est obtus.

Les trois points E, F, C, restant les mêmes, si le point de concours M des trois forces P , Q , R , s'é- loigne a l'infini, ces forces deviendront parallèles. Dans le cas de la figure 10, l'angle m devient alors infiniment petit; on a coszra = i, et conséquemment

R ~ p + Q,

Dans le second cas, c'est le supplément de l'an- gle 772 qui devient infiniment petit ; on a donc cos 772 = — i , et

R = Q _ p,

en supposant P < Q. Par conséquent, la résultante de deux forces parallèles est égale à leur somme ou à leur différence , selon que ces forces agissent dans le même sens ou en sens opposés; et quand leurs directions sont contraires, la résultante agit dans le sens de la plus grande. Dans ces deux cas, les com- posantes P et Q sont en raison inverse de leurs dis- tances CG et CH à la résultante.

Cela étant, si l'on mène une perpendiculaire com- mune aux trois forces parallèles, et qu'on appelle a la partie GH de cette droite (i^g» i3 et i4j com- prise entre les deux composantes P et Q , et x la dis- tance CH de la résultante R à la composante Q qu'on suppose la plus grande , on aura

en prenant le signe supérieur ou ie signe inférieur,

78 TRAITÉ DE MÉCANIQUE

selon que P et Q agiront dans le même sens (fïg* i3)

ou en sens contraires (fîg. 14). On en déduit

P : Q ± P :: x : a,

et, par conséquent,

X :

Q±P?

ce qui fera connaître la position de la résultante , dont la valeur sera en même temps Q ± P.

44* Lorsque les forces P et Q agissent en sens con- traires, et qu'elles diffèrent très peu l'une de l'autre, leur résultante, toujours dirigée dans le sens de la plus grande, se trouvera située à une très grande distance des forces données. Mais quand elles seront rigoureusement égales, cette distance deviendra in- finie ; ce qui signifie que deux forces égales , paral- lèles et agissant en sens opposés, ne peuvent être remplacées par une seule force- et, en effet, il n'y aurait aucune raison pour que cette force unique agît plutôt dans un sens que dans l'autre.

Deux semblables forces agissant aux extrémités d'une droite GH (fig. i5), feront tourner cette ligne autour de son milieu K; effet qui, évidemment, ne saurait être produit par Faction d'une seule force. On peut les remplacer d'une infinité de manières diffé- rentes par deux autres forces qui tombent dans le même cas * car on ne changera rien à leur action en appliquant, par exemple , aux points G et H, suivant les prolongemens GE et HF de la droite GH, des forces égales et de grandeur quelconque ; or, la ré- sultante des forces dirigées suivant GA et GE, et celle

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 79

des forces dirigées suivant HB et HF, seront encore des forces égales , parallèles et dirigées en sens op- posés , suivant des droites GC et HD , et ces résul- tantes remplaceront les forces primitives qui agissaient suivant GA et HB. Si l'on appelle P la grandeur com- mune de ces deux forces , et a leur distance mutuelle, l'une et l'autre de ces deux quantités changeront par l'opération que nous indiquons; mais leur produit àP demeurera constant , ainsi qu'on le prouvera tout à l'heure.

45. Au reste, ce cas particulier est le seul dans le- quel un système d'un nombre quelconque de forces P, P', P", etc. ^comprises dans un même plan et agis- sant sur des points matériels liés entre eux d'une ma- nière invariable , ne puisse pas se réduire à une seule force. En effet, soit que les deux forces P et P' con- courent en un point , ou qu'elles soient parallèles , on les réduira à une seule force Q , par la règle du pa- rallélogramme des forces, ou par celle du numéro précédent. On réduira de même à une seule force Q'? cette première résultante Q et P" ; puis à une seule force Q", la seconde résultante Q' et Pw; et ainsi de suite , jusqu a ce qu'on ait réduit toutes les forces don- nées à deux seulement, qui se réduiront elles-mêmes à une seule force R , à moins qu'elles ne tombent dans le cas d'exception dont il s'agit.

Dans le cas général , cette force R est la résultante des forces données P, P', P', etc.; et si l'on joint aux composantes une force R' égale et contraire à R, il y aura équilibre dans le système. La grandeur de R et sa position dans le plan des forces données ne dé-

>

8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

pendra nullement de l'ordre dans lequel on aura pris ces forces dans les réductions successives qu'on vient d'indiquer; car, en changeant cet ordre, si l'on par- venait à une force S différente de R en grandeur ou en direction , il faudrait que l'une de ces deux forces prise en sens contraire fît équilibre à l'autre- ce qui serait impossible.

Pour l'équilibre des forces P, P', P", etc. , quand elles seront appliquées à un levier situé dans leur plan, il faudra d'abord qu'elles se réduisent à une seule force ,• car si elles se réduisaient à deux forces parallèles S et S' non réductibles à une seule , et que S' fût la plus rapprochée du point d'appui , on pour- rait décomposer S' en àeux forces Q et Q', parallèles et agissant dans le même sens, dont la première se- rait directement opposée à S et la seconde passerait par le point d'appui : ces deux composantes seraient l'une et l'autre moindres que S' ou S, la force Q' serait détruite, et il ne resterait qu'une force S — Q, qui ferait tourner le levier dans le sens de S. Les forces données étant réduites à une force unique Vx. , il fau- dra , en outre , pour l'équilibre du levier, que cette force vienne passer par son point d'appui. Cette con- dition s'exprimera par une équation, au moyen du théorème que nous allons démontrer.

46, Considérons d'abord deux forces seulement et leur résultante. Le moment de cette résultante , par rapport à un point situé dans le plan des trois forces, sera égal à la somme ou à la différence des momens des deux composantes par rapport au même point : à la dif- férence, quand le centre des momens est situé dans

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE. 81

l'angle des composantes , ou , dans son opposé , au sommet; à la somme, quand ce point est hors de ces deux angles.

En effet , soient P et P' ces deux forces , MA et M A' (fig. 16 et 17) leurs directions, Q leur résultante agissant suivant MB , C le centre des momens, p, //, q, les perpendiculaires Ca, Ca', Cb , abaissées du point C sur la direction de P, P', Q. Décomposons cha- cune de ces trois forces en deux autres, dirigées sui- vant la droite MC et suivant !a perpendiculaire KMK/ à cette droite; et considérons les composantes per- pendiculaires. On a évidemment

cosBMK = sinBMC = ?,

c en désignant par c la longueur de la droite MC; donc la composante de Q suivant MK sera égale à -^. De même, les composantes de P et P' perpendiculaires à MC seront -f- et -£-. Elles agissent en sens con- traire, quand la ligne MC traverse l'angle AMA' (fîg. 16) , et dans le même sens, quand elle tombe hors de cet angle. Or, la somme de ces composantes, dans le second cas, et l'excès de la plus grande sur la plus petite , dans le premier, doit reproduire la com- posante de Q, puisque Q est la résultante de P et P'; en supposant la composante de P plus grande que celle de P', et supprimant le diviseur commun c, on aura donc

Q? = Pp ± py;

ce qu'il s'agissait de prouver.

1.

1

82 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Si l'on imagine que le point C soit fixe et que les perpendiculaires Ca, Caf, Cb, forment un système in- variable, les forces P, P'? Q, qui peuvent être cen- sées agir aux extre'mités a, a', b, de ces droites, ne pourront produire qu'un mouve aient de rotation au- tour du centre des momens. Or , Finspection de la fi- gure 17, à laquelle répond le signe supérieur dans l'équation précédente, montre que quand le point C tombe hors de l'angle AMB, et de son opposé au sommet, les trois forces P, P', Q, tendent à faire tour- ner leurs points d'application dans le même sens au- tour du point C ; au contraire, lorsque ce point tombe dans l'un de ces deux angles, la figure 16, qui ré- pond au signe inférieur, fait voir que les forces P et P' tendent à faire tourner les points a et a' en sens op- posés; et l'on voit aussi que, dans ce cas, la résul- tante Q tend à faire tourner son point d'application dans le même sens que la composante qui a le plus grand moment. D'après cette remarque, le théo- rème qu'on vient de démontrer revient à dire que le moment de la résultante de deux forces est égal à la somme ou à la différence des momens de ces deux forces, selon que les composantes tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens ou en sens opposés autour du centre des mo- mens, et que la résultante tend à faire tourner dans le sens de la composante qui a le plus grand moment.

Ce théorème ayant lieu pour des forces dont les directions font un angle quelconque, doit encore sub*- sister lorsqu'elles deviennent parallèles; c'est effecti-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 83

veinent une conséquence facile à déduire de la com- position des forces de ce genre (n° 4^).

47 . L'avantage de ce dernier énoncé est de pouvoir fa- cilement s'étendre à un nombre quelconque de forces P, P', P*, etc., dirigées dans un même plan. En re- gardant le centre des momens comme un point fixe, autour duquel les forces tendent à faire tourner le système de leurs points d'application , liés entre eux d'une manière invariable, le moment de la résultante est égal à la somme des momens des forces qui ten- dent à faire tourner dans le même sens qu'elle, moins la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner en sens contraire.

Pour fixer les idées , supposons que les trois pre- mières forces P, P', P", tendent à faire tourner dans un même sens, et toutes les autres dans un sens opposé. Reprenons la série de réductions du n° 45. Soient Q, la résultante deP et P', et Q' celle de Q et P", ou de P, P', P". Soient aussi p, p', p", q9 q', les per- pendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de P, P', Pf/, Q, Q'; nous aurons, d'après ce qu'on vient de voir,

Q? = Tp + P>', QV = Qj + P>", et, par conséquent,

QY = p^ + py + py.

De même, si l'on désigne par Qy la résultante de toutes les autres forces Pw, P,v, etc.; par q{ la perpendicu- laire abaissée du centre des momens sur sa direction; par pm, piy, etc. , les perpendiculaires abaissées du

6..

84 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

même point sur les directions de P'", PI?, etc., on

aura aussi

Q,^ = ¥"'pm + Py + etc.

Or, îa résultante R de toutes les forces données sera celle des deux forces Q' et Q^ si, donc, on représente par r la perpendiculaire abaissée du centre des mo- mens sur la direction de R, et si l'on considère que ces forces Q' et Qy tendent à faire tourner en sens op- posés, on aura

Rr = ±(QY-QA),

selon que Q^' sera plus grand ou moindre que Qy^. Dans le premier cas, la force R tendra à faire tourner dans le même sens que la force Q', et, conséquem- ment, dans le même sens que les trois forces P, P', P". Nous supposerons que ce soit ce premier cas qui ait lieu; et en substituant pour Q'g' et Q^y leurs valeurs, nous aurons alors

Rr== pp + py + py — py _- P*y v — etc. ; ( i )

équation qui renferme le théorème qu'on voulait dé- montrer.

En supposant, que le centre des momens soit le point d'appui du levier auquel les forces P, P', P"? etc., sont appliquées, il faudra, pour l'équilibre de ce le- vier, qu'on ait

Pp + py _|_ py — py — p«y t _ etc# = 0 f ^

puisque, dans ce cas, ces forces doivent avoir une résultante qui doit passer par le point d'appui (n° /\5), et pour laquelle on a donc r = o.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 85

48. On peut rendre lequation (1) plus générale, eu supposant que par des décompositions et recom- positions des forces P, F, P", etc. , on les ait transfor- mées en d'autres forces S, S', S", etc., dont l'ensemble soit équivalent aux forces données. En désignant par s, s% s", etc., les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de S, S', S*, etc., on trouvera, par le même raisonnement que dans le numéro précédent ,

SH-SV+SV+e,tc.=Pp+Py+Py'— P>w— P1Tp"— etc.;.(3)

équation dans laquelle on devra prendre avec le signe +, les momens des forces S, S', S", etc., qui tendent à faire tourner dans le même sens que P, P', P"; et avec le signe — , les momens de celles qui tendent à faire tourner dans le même sens que Pw, PIV, etc.

Le cas particulier où les forces P, P', Pff? etc., sont irréductibles à une seule, est compris dans cette der- nière équation. Soient alors S et S' deux forces égales, parallèles et non directement opposées ; et appelons h leur distance mutuelle. Si le centre des momens est situé entre leurs directions, on aura s + s' = h ; elles tendront à faire tourner dans le même sens autour de ce point; on donnera donc le même signe à leurs mo- mens, et il en résultera

§s + SV = SA.

Si, au contraire, le centre des momens n'est pas com- pris entre S et S7, et qu'on suppose <?>.?', on aura s — s'z=zh'7 ces deux forces tendront à faire tourner on sens opposés; on devra donner le signe + au mo-

86 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

nient de S et le signe — au moment de S'; et il en

résultera

Sj — S's'=Sh.

Par conséquent , l'équation (3) deviendra toujours

$h = ¥p + P'// + P*/ ~ Py — PITPIV — etc.

Son second membre se composant de quantités qui sont toutes données, il en résulte que si les valeurs de S et A viennent à changer, leur produit demeurera constant, ainsi qu'on l'avait déjà dit plus haut.

On conclut aussi de cette dernière équation que, quand son second membre est nul , les forces données ne peuvent pas tomber dans le cas d'exception où elles sont irréductibles à une seule ; il s'ensuit donc que l'équation (2) exprime à la fois que les forces P, P', P", etc., ont une résultante unique, et que cette résultante passe par le centre des momens ; par conséquent, elle est l'équation nécessaire et suffisante pour l'équilibre du levier, dont ce centre est le point d'appui. La résultante R que Ton obtiendra par la série de réductions du n° 4-5 , exprimera la charge qu'il aura à supporter; quand elle sera nulle, les forces P, P', V\ etc. , se feront équilibre dans leur plan sans le secours de ce point fixe.

4g. La condition de l'équilibre dans le levier peut aussi s'exprimer par une équation analogue à la for- mule (i) du n° 5g.

Soient, par exemple, M, M', M' (fig. 18), les points d'application des trois forces P, F, Pf/, qui agis- sent sur le levier ECF, suivant des directions MA, M'A', Wk% comprises dans son plan. Faisons tourner infî-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 87

niment peu ce levier autour de son point d appui C, de sorte que M, M', M", viennent en m, m, m". D'a- près la définition du n* 3g, les arcs infiniment petits Mm , MW, M'V, que l'on peut prendre pour des lignes droites, seront les vitesses virtuelles des points d'application M, MF, M", des trois forces que Ton con- sidère. J'abaisse de m T mf, m", des perpendiculaires ma, m'a', m'a', sur les droites MA, M'A7, M"A", ou sur leurs prolongemens ; Ma sera la projection de Mm sur la direction même de la force P, qui tend à faire tourner le levier dans le sens de la rotation qui a eu lieu; Ma' et MV seront les projections de Mm' et M'ni sur les prolongemens des deux autres forces P' et Pr/, qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé. Pour cette raison, je considère la première de ces projections comme une quantité positive, et les deux autres comme des quantités négatives. Je représenterai ces trois quantités par <sr, <&' 9 <&".

Cela posé, en vertu du principe des vitesses vir- tuelles, la somme des forces données multipliées res- pectivement par les projections ainsi définies des vi- tesses virtuelles de leurs points d'application, est nulle dans le cas de l'équilibre, et réciproquement l'équi- libre a lieu quand cette somme est zéro; en sorte que l'équation d'équilibre du levier est

P<sr + PV + PV —o; (4)

et, en effet, il est aisé de vérifier qu'elle coïncide avec celle que l'on a déduite de la considération des momens.

Pour cela, désignons par /?? pf, p", les perpendicu-

88 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

laires CG, CG', CG", abaissées du point C sur les di- rections des forces P, P', P"; par c, c', c", les distances CM, CM', CM", de leurs points d'application au point C; et par y, y', y", les vitesses virtuelles Mm, M' m! ', M*mw. L'arc infiniment petit M/w se confondant avec sa tan- gente, les triangles Mma et CMG ont leurs côtés perpendiculaires l'un à l'autre, et sont semblables; on a donc

Ma : Mm :: CG : CM-

et à cause de

Ma — <sr, Mm = y, CG=p, CM = c,

on en déduit

On aura de même

py

p y w ^ p y

<ar = — —r p

en observant que <sr' et <&?' sont, par hypothèse, des quantités négatives. De plus, la forme du levier étant supposée invariable, les trois arcs Mm, Mlm', M" m", décrits en même temps, répondent à un même angle ; et en les divisant par leurs rayons respectifs CM, CM', CM*, on aura trois rapports égaux. En dési- gnant par S la grandeur commune de ces rapports, on aura donc

c ' " c' c

et, par conséquent,

®r=ph, <sr' = — p'8, <sr" = — //'&..

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 89

Or, si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (4) , et qu'on supprime ensuite le facteur G commun à tous ses termes , elle deviendra

ce qui est effectivement l'équation' d'équilibre du le- vier que nous considérons. Réciproquement, si l'on multiplie cette dernière équation par 8, elle se chan- gera dans l'équation (4).

Le raisonnement serait évidemment le même, quels que fussent le nombre des forces données P, P'9 P*, etc, , et le sens dans lequel elles tendent à faire tourner le levier.

ui fi

9° TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

<WV/WVVV>WA/VVVVVVVVVV^A/V^JVVVVWVV\lVV\/VVV^^

CHAPITRE in.

DE LA COMPOSITION ET DE L^EQUILIBRE DES FORCES

PARALLÈLES.

5o. La composition des forces parallèles se déduit, ainsi qu'on l'a vu précédemment (n° 43), de la règle du parallélogramme des forces, en considérant les forces données comme des forces dont le point de concours est à l'infini; mais en s'appuyant toujours sur cette règle, on peut aussi obtenir la résultante de deux forces parallèles par un autre moyen qu'il est bon de connaître.

Soient P et Q les deux composantes, agissant aux points E et F de la droite inflexible EF, suivant les directions parallèles EA et FB, dans le même sens (fîg. 19), ou en sens opposés (fig. 20). On ne chan- gera rien à ce système de forces, en appliquant aux ex- trémités de cette droite des forces égales, dirigées en sens contraire Tune de l'autre, suivant ses prolon- gemens EC et FD, et dont la grandeur commune sera représentée par S. Je prends la résultante des forces P et S appliquées au point E , qui sera une force P' agissant suivant une droite EA' comprise dans l'angle AEC ; de même la résultante des forces Q et S , qui agissent au point F, sera une force Q' dirigée sui- vant une droite FB', comprise dans l'angle BFD ; et si l'on excepte le cas du n° 44? ou les forces données

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. gi

P et Q sont égales et agissent en sens opposés, les deux droites EA' et FB' ne seront pas parallèles. Par conséquent, en supposant leur point d'intersection K lié invariablement à la droite EF, il sera permis de le prendre pour le point d'application commun aux deux forces P' et Q' (n° 40* P31" ce point K, je mène les droites E'F' et KH', parallèles à la droite EF et à la direction des forces P et Q, puis je décompose cha- cune des forces P' et Q' suivant ces parallèles : il est évident qu'on retrouvera de cette manière les com- posantes S et P, dirigées suivant KE' et KH, et les composantes S et Q, dirigées suivant KF7 et KH (fîg. 19), ou suivant KF' et KH' (fig. 20), Nous au- rons donc les quatre mêmes forces qu'auparavant, mais appliquées toutes quatre à un même point K. En supprimant les deux forces S, il restera les deux forces P et Q, dirigées suivant la même droite KH, dans le cas de la figure 19, ou suivant cette droite KH et son prolongement KH', dans le cas de la figure 20, qui suppose que Q est la plus grande des deux forces données. Donc, la résultante de ces deux forces leur sera parallèle ; et en la désignant par R, nous au- rons

R = Q ± P,

selon qu'elles seront dirigées dans le même sens ou en sens opposés.

Pour déterminer le point O, où sa direction viendra couper la droite EF ou son prolongement, je sup- poserai que E' et F' soient les intersections des lignes AEetRF avec la droite ET7; les deux quadrilatères

g* TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

EE'KO et FF'KO seront des parallélogrammes; et si l'on prend leurs diagonales KE et KF pour représen- ter les résultantes P' et Q', on aura

S : P :: EO : KO, S : Q :: FO : KO,

pour les rapports des composantes. On conclut de là

P : Q :: FO : EO;

ce qui fera connaître la position du point 0, qu'on pourra prendre pour le point d'application de la ré- sultante R.

On en déduit aussi

P : Q =b -P :: FO : EF, Q : Q db P :: EO : EF;

les signes supérieurs se rapportant à la figure 19, et les signes inférieurs à la figure 20 ; en ayant égard à la valeur précédente de R, on aura donc, dans les deux cas,

P : Q : R :: FO : EO : EF-

ce qui montre que chacune des trois forces P, Q, R, est proportionnelle à la distance comprise entre les points d'application des deux autres.

Cette proportion, et, par suite, la position du point 0, sont indépendantes de l'angle sous lequel les directions des forces données sont coupées par la ligne EF , qui peut être une droite quelconque aboutissant par ses extrémités à ces deux directions.

5i. On résoudra maintenant, sans aucune diffi-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 93

culte, toutes les questions qui peuvent se présen- ter sur la composition de deux forces parallèles en une seule et sur la décomposition d'une force en deux autres qui lui soient parallèles. Nous n'entre- rons dans aucun détail à ce sujet; et nous ne re- viendrons pas non plus sur le cas particulier des forces égales et non directement opposées, que nous avons exclu de la démonstration précédente , et qui a été suffisamment examiné dans le n° 44-

Je vais actuellement considérer un nombre quel- conque de forces parallèles, dont une partie agit dans un sens et l'autre partie dans le sens opposé, qui sont situées ou non situées dans un même plan, et appliquées à des points liés entre eux d'une ma- nière invariable , par exemple , à différens points d'un corps solide.

En composant deux de ces forces en une seule, puis celle-ci et une troisième encore en une seule , et ainsi de suite, on parviendra à déterminer la grandeur et la position dans l'espace de la résul- tante de toutes les forces données, à moins que les deux dernières forces qu on aura à considérer ne tombent dans le cas d'exception du n° 44 • Cette ré- sultante sera évidemment parallèle à la direction commune des composantes; de plus, elle sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens, moins la somme de celles qui agissent en sens contraire , et elle agira dans le sens de la plus grande somme. Si donc on regarde les unes comme des quantités positives , et les autres comme des quantités négatives ( n° i 1 ) ; qu'on les représente

94 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

toutes par P, P', P", etc., et leur résultante par R,

ou aura toujours

R—P + p'+p'-J-etc.

52, Si les forces données viennent à tourner au- tour de leurs points d'application sans cesser d'être parallèles, leur résultante tournera aussi autour d'un des points de sa direction ; car son point d'applica- tion, qu'on trouve en composant successivement les forces données, comme on vient de l'indiquer, ne dépend en aucune manière de la direction commune de ces forces, et reste, conséquemment, le même quand cette direction vient à changer.

Ainsi, par exemple, supposons que les forces don- nées soient au nombre de trois, P, P', Pff, dirigées suivant les droites MA, M'A', M" A" (fig. ai). Soit d'abord NB la direction de la résultante de P et P', qui sera égaie à P H-P'; soit ensuite N'B' la direc- tion de la résultante de P + P' et f; cette der- nière force P" étant supposée, dans la figure, agis- sante en sens contraire de P et P', et plus grande que P + P'. Concevons maintenant que les trois forces P , P', P", tournent autour des points M , M', M*, en conservant leur parallélisme et le sens relatif de leurs actions. Soient Ma, MV, MV, leurs nou- velles directions. Dans ce nouvel état> la résultante des forces P et P' rencontrera la droite MM' au même point N qu'auparavant , puisque la position de ce point ne dépend que du rapport des composantes , et nullement de l'angle que la droite MM' fait avec leurs directions (n° 5o); elle sera présentement di-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 95

rigée suivant la droite N6 parallèle à Ma et M'a', et encore égale à P -f F. Par la même raison < la résultante de P •+- P' et P" rencontrera le prolon- gement de la droite MM/ au même point N' qu'au- paravant , et sera dirigée suivant une droite N'^' pa- rallèle à Nb ; par conséquent , les trois forces P , P' ', P", tournant autour de leurs points d'application M, M', M" , leur résultante tournera aussi autour d'un même point N'.

53. Nous appellerons centre des forces parallèles le point dans lequel viennent se couper toutes les directions successives de la résultante, quand ses composantes tournent autour de leurs points d'appli- cation, qu'on suppose invariables.

On verra par la suite combien le centre des forces parallèles est important à considérer, surtout dans les questions relatives à l'équilibre et au mouvement des corps pesans. On peut déjà observer que si un corps solide est sollicité par des forces parallèles quelconques, que l'on détermine le centre de ces forces, et qu'on le suppose fixe, l'équilibre aura lieu dans toutes les positions que le corps pourra pren- dre autour de ce point , pourvu que les forces don- nées restent toujours parallèles et appliquées aux mêmes points de ce corps; car alors leur résultante passera constamment par le point fixe , ce qui suffit pour qu'elle soit détruite.

Les coordonnées du centre des forces parallèles, rapportées à trois axes rectangulaires, dépendent, comme on va le voir, des produits de ces forces mul- tipliées par les coordonnées de leurs points d'applica-

96 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

tion. A cause que ces produits se présentent dans un grand nombre de cas, on leur a donné un nom parti- culier; on appelle moment dune force par rapport à un plan ? le produit de cette force et de sa distance à ce plan. Ainsi, P étant l'intensité d'une force appli- quée en un point dont les coordonnées sont x, y, z, les produits Pz, Pjr, ¥x , seront ses momens par rap- port aux plans des x et y, des x et z, des y et z. Les momens de cette espèce n'ont rien de commun , en général, avec les momens par rapport à un point qu'on a définis dans le n° 42- Ceux-ci dépendent de la direction de la force , et sont indépendans de son point d'application; les momens par rapport à un plan dépendent, au contraire, de la position du point d'application de la force, et sont indépendans de sa direction. On ne fait usage des derniers que dans le cas des forces parallèles; en sorte qu'ils peu- vent être des quantités positives ou négatives, à rai- son du signe de la force et des coordonnées du point où elle est appliquée.

54. Soient M, M', M", etc. ( fïg. 22), les points d'application des forces parallèles P, P', P% etc., dont il sera inutile d'indiquer les directions. Menons arbitrairement trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz , qui seront ceux des coordonnées; désignons par x 9 y, z, les coordonnées de M; par x', y', z', celles de M'; par x\ y", z\ celles de M", etc.; et supposons que toutes ces coordonnées et ces forces sont des quantités données qui peuvent être positives ou né- gatives. Soient encore Q, Q', Q", etc., les projections des points M, M', M", etc., sur le plan des x et y;

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 97

en sorte qu'on ait

MQ = z, M'Q' = z', M"Q"=<s", etc.

Enfin, représentons par «r,, jrl9 zx, les trois coor- données du centre des forces parallèles dont il s'agit de trouver les valeurs.

La résultante P -f- P' des deux forces P et P' ren- contrera en un point N la droite MM' ou son prolon- gement, selon que ces deux forces seront de même signe ou de signe contraire; mais dans les deux cas on aura

P' : P + P' :: MN : MM'.

Soit K la projection de N sur le plan des x et y. Par le point M, menons la parallèle MGH à la droite QKQ', qui rencontre les droites NK et M'Q' aux points G et H, de sorte qu'on ait

MQ = GK = HQ'; on aura aussi

MN : MM' :: NG : M'H;

et de cette proportion, jointe à la précédente, on conclura

(P + P')NG = F. M'H.

A cette équation, j'ajoute l'équation identique

(P + F)GK = P.MQ + F.HQ';

ce qui donne

(P + P') NK = ?z + PV.

La résultante des deux forces P + P' et P" rencon-

98 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

trera en un point N; la droite NM" ou son prolon- gement^ selon que ces deux forces auront le même signe ou des signes contraires; et si K/ est la projec- tion de N' sur le plan des x et y, on trouvera, comme dans le cas précédent ,

(P + p' + p'/j N'K' = (P + PO NK + P V ;

par conséquent, on aura

(P 4. p' + p") N'K' = Pz + P V + PV'.

On continuera de même jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données P, P', Pr/, etc. ; et si R est leur résultante totale, on aura finalement

RZl = Vz + P V + PV + etc.

La figure 22 suppose que tous les points M, M', M", etc. , N, N', etc., sont situés d'un même côté du plan des x et y, ou que leurs ordonnées parallèles à l'axe des z sont toutes de même signe; mais il est aisé de voir que si l'équation précédente est vraie dans ce cas, elle le sera encore lorsque ces ordonnées seront en partie positives et en- partie négatives. En effet, transportons le plan des x et y, parallèlement à lui-même, a une distance quelconque h de sa posi- tion primitive. Par rapport à ce nouveau plan , soient Z, Z', Zf/, etc., les coordonnées de M, M', M", etc., et Zx celle du centre des forces parallèles, de sorte qu'on ait

Zx=zzx—Ji9 Z=z—h, Z'=z'—h, Z'f=z"—h, etc.;

si Ton retranche de l'équation précédente l'équation

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 99

identique

Rh = ?k + PVz + Y'h -f- etc. ,

il en résultera

RZt = PZ + PZ' + P "Z" + etc. ;

équation dans laquelle les ordonnées Z, Z', Z", etc., peuvent être positives ou négatives.

On voit donc que, dans tous les cas, le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles par rapport à un plan choisi arbitraire- ment, est égal à la somme des momens de ces forces par rapport au même plan.

55. En prenant successivement les momens par rapport aux trois plans des coordonnées , on aura , d'après les notations précédentes ,

Rx, = P.r + Yx + P V + etc. , s

Rj, = Pj + py + py + etc. , ( (i)

RZi =Yz + PV -h PV + etc. ; )

et à cause de

R = P + F + P^ + etc, - (2)

les trois coordonnées du centre des forces parallèles seront complètement déterminées. En menant par ce point une droite parallèle aux forces données, dans le sens indiqué par le signe de R, on aura la direc- tion de la résultante. Ces quatre équations renferme- ront, de la manière la plus générale ? la théorie des forces parallèles.

La somme des momens des forces P, P', Pf/?etc, est égale à zéro, par rapport à tout plan passant par le

70

îoo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

centre des forces parallèles ; car , en prenant ce plan pour celui des x et y9 il faudra qu'on ait zt = o , et, conséquenmient ,

p^ + PV + PV + etc.

Dans le cas particulier où P, P', Pf/, etc., se ré- duisent à deux forces égales, agissant en sens opposé, leur somme R est égale à zéro ; ce qui rend infinies les valeurs de xl9 yl9 zx. Le centre des forces paral- lèles est donc alors situé à l'infini , ou plutôt ce centre n'existe pas, non plus que la résultante.

56. Lorsque tous les points d'application M, M', M", etc. , des forces données sont situés dans un même plan, il est évident, par la nature du centre des forces parallèles (ne 5^), que ce point , s'il existe, devra aussi se trouver dans ce plan; c'est aussi ce que l'on peut conclure des équations (i) et (2).

En désignant par a9 b, c, trois constantes don- nées, on aura, dans ce cas,

z = ax + bj -f- c ,

z' = axf -f- bjr' + c ,

z"= ax"+ by"-\- c, etc.

Je substitue ces valeurs de z9 z9 z"9 etc., dans la troi- sième équation (1); il vient

Rzt — (Px + PV + PV -f etc.) a + (Pj + Yf + P'y + etc.) b + (P + F + P" + etc.)c.

En vertu des deux autres équations (1) et de Téqua-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. I0Ï

lion (2), on peut remplacer par Rjt,, Kj \ , R, les coefficiens de a, b, c; et en supprimant ensuite le facteur commun R , on a

zM = axt + byz -f- c ;

ce qui montre que le centre des forces parallèles ap- partient au plan des points M, M', M", etc. ,

Lorsque tous ces points sont sur une même ligne droite, ce centre s'y trouve également; et il suffit de la première des équations (1) pour déterminer sa posi- tion, en prenant cette droite pour Taxe des.r. Si, de plus, les forces P, P\ P", etc., sont perpendiculaires à cette droite , les momens que nous considérons ac- tuellement se confondent avec les momens par rap- port à un point, qui est ici l'origine 0 des abscisses x, et la première équation (1) coïncide avec l'équa- tion (1) du n° 47- Il est aisé de voir, en effet, que parmi les forces données P, P', P", etc., celles qui ten- dent à faire tourner autour du point G dans le même sens que la résultante R, sont toutes les forces qui ont le même signe que leurs distances x, xf, xu, etc., à ce point, et que celles qui tendent à faire tourner dans le sens opposé sont les forces qui ont un signe con- traire à celui de ces mêmes distances ; par con- séquent, les momens des premières s'ajoutent, et ceux des dernières se retranchent, conformément à l'énoncé du numéro cité.

57. Les équations d'équilibre des forces parallèles P, P', Pf', etc., se déduisent aisément de la théorie qu'on vient d'exposer.

^> il n'existe aucun point fixe dans le système, il

102 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

faut, pour l'équilibre, qu'en séparant l'une de ces forces, par exemple la force P, toutes les autres aient une résultante qui soit égale et directement opposée à P. Soit donc R' la résultante des forces P', P", etc.; puisque les forces P et R' sont égales et dirigées en sens contraires, elles doivent être égales et de si- gnes différens, ou, autrement dit, on doit avoir P + R' = o. Mais R' est la somme des composantes P', Pr/, etc.; il en résulte donc, pour la première équation d'équilibre,

p + p' + P" + etc. == o. (a)

Pour exprimer, en outre, que les forces P et R' sont directement opposées, soient et, ê, y9 les trois coordonnées du centre des forces parallèles P', P", etc. , de manière qu'on ait

R'* = PV + P"x" + etc. , R'£ = P'/ + Y'f + etc. , R'y = PV + PV + etc.

Ce centre étant le point d'application de leur résul- tante R', il sera nécessaire qu'il se trouve sur la di- rection de la force P, pour que R' soit directement opposée à cette force , ou , ce qui revient au même , ce centre et le point d'application M de la force P doivent être sur une même parallèle à la direction commune des forces données. Si donc on prend , pour plus de simplicité , le plan des œ et y perpen- diculaire à cette direction, il faudra que ces deux points soient situés sur une même perpendiculaire à ce plan; ils auront alors la même projection sur ce

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ,03

plan ; par conséquent , leurs coordonnées seront les mêmes parallèlement aux axes des x et jr9 de sorte que Ton aura

cl ^^ x , © zzzz y »

Je substitue donc x et j à la place de et et S dans les deux premières équations précédentes, et, à cause de R' = — P, il vient

Fx + PV + PV + etc. = o , Pj + py + py + etc.

équations qui signifient que la somme des momens de toutes les forces P, P', Pf/, est nulle, etc., par rapport aux plans des x et z9 et desj* et z, parallèles à leur direction.

Ainsi, l'équilibre de ces forces exige que les équa- tions (a) et (b) aient lieu en même temps. Récipro- quement , quand ces trois équations sont satisfaites , l'équilibre existe ; car si l'on considère la résultante R' de toutes ces forces moins une, on aura, en vertu de ces équations,

R'= — P, R'cl = — Vx, R'£ = — Pj,

et, par conséquent,

et = x , £ = y ;

en sorte que cette résultante sera égaie et directe-^ ment opposée à la force P, qu'on avait omise. ïl n'est pas nécessaire, pour cela, que les deux plans par rapport auxquels la somme des momens des forces données est zéro , soient perpendiculaires l'un à

-io4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

l'autre ; il suffit qu'ils soient parallèles à la direction de ces forces ; et Ton peut aussi s'assurer facilement que si cette condition est remplie par rapport à deux plans parallèles à cette direction, elle le sera égale- ment par rapport à tous les autres.

Concluons donc que pour l'équilibre d'un système de forces parallèles , appliquées à un corps solide en- tièrement libre, il est nécessaire et il suffit,

i°. Que la somme de ces forces soit égale à zéro; 2°. Que la somme de leurs momens soit nulle par rapport à deux plans quelconques parallèles à leur direction commune. Quand toutes les forces seront comprises dans un même plan, cette seconde con- dition sera déjà remplie par rapport à ce plan, et il suffira qu'elle le soit, en outre, par rapport à un autre plan.

58. Si l'un des points de ce corps solide est supposé fixe, il suffira, pour l'équilibre des forces parallèles, que la somme de leurs momens soit nulle par rap- port à deux plans passant par ce point et parallèles à leur direction , et il ne sera plus nécessaire que leur résultante soit égale à zéro; car alors les dis- tances de cette résultante à ces deux plans seront nulles : elle coïncidera donc avec leur intersection , et sera détruite par la résistance du point fixe.

Lorsque ce point sera le centre des forces paral- lèles, la somme des momens sera zéro par rapport à tous les plans passant par ce point ; par consé- quent, les forces données se feront équilibre, quelle que soit leur direction commune; ce que nous sa- vions déjà (n° 53),

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 105

Si le corps solide est retenu par un axe fixe , au- tour duquel il ait seulement la liberté de tourner, il suffira, pour l'équilibre des forces parallèles ap- pliquées en ses différens points, que la somme de leurs momens soit égale à zéro, par rapport au plan mené par cet axe parallèlement à leur direction ; car leur résultante tombant alors dans ce plan, elle y rencontrera l'axe fixe, et sera détruite par sa résis- tance. Lorsque l'axe fixe est lui-même parallèle aux forces données, le plan dont il s'agit est indéterminé; la condition d'équilibre s'évanouit par conséquent ; ce qui doit être , puisque des forces qui sont toutes parallèles à un axe fixe ne peuvent faire tourner un corps solide autour de cette droite , de sorte que , dans ce cas, l'équilibre a lieu indépendamment de leurs intensités et de leurs distances à cet axe.

io6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

/VVVVVVVVVVVVVVVVV\ \WVVV\ 'VVVVVVVVVVV^'VVVVVVVVVVVV V*

CHAPITRE IV.

CONSIDÉRATIONS GENERALES SUR LES CORPS PESANS ET SUR LES CENTRES DE GRAVITE.

5g. On appelle indifféremment pesanteur ou gra- vité, la force qui précipite les corps vers la surface de la terre aussitôt qu'ils ne sont plus soutenus. Son action s'exerce sur tous les points matériels, dans des directions perpendiculaires à cette surface , ou suivant des lignes verticales. Les directions prolon- gées de la pesanteur en différens lieux de la terre convergent donc vers son centre , à cause de sa forme à peu près sphérique ; mais en ayant égard à la grandeur du rayon terrestre, relativement aux di- mensions des corps que l'on considère ordinaire- ment , on peut supposer , sans erreur sensible , la pesanteur parallèle à elle-même dans toute l'éten- due d'un même corps.

I/observation a prouvé que l'intensité de cette force varie à la surface de la terre avec la latitude, et que sur une même verticale elle varie aussi avec l'élévation au-dessus de celte surface; mais il faut que les changemens de hauteur et de latitude soient très considérables pour que ces variations devien- nent sensibles, et elles ne le sont nullement dans l'étendue d'un corps de dimensions ordinaires.

60. On conclut de là que la résultante des forces parallèles, en nombre infini, qui agissent sur tous

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 107

les points d'un corps pesant, est indépendante de sa forme; cette résultante est ce qu'on appelle le poids du corps. Dans les corps homogènes y le poids est évidemment proportionnel au volume; mais une expérience journalière nous montre que les corps de nature différente n'ont pas le même poids sous le même volume ; ce