DELLA PERSPETTIVA
D I MONSIGNOR
DANIELBARBARO
ELETTO PATRIARCA D'AQJ/ILEIA, Opera molto vtile a PittorU Scultori^ ad Architetti.
Con due tauole ,vna de capitoli prmàpali A' altra delle cofepm mtabili contenute nella preferite opera .
CON
P K I r I L E G I 0.
/ VE c7V^£ TI
^ppre/id Cmilk^é Rutilio Borgominieri fratelli, al Segno di Giorgio. Oì€ i> L X V J I I I.
MOLTO MAGNIFICO
ET ECCELLENTE M.
MATHEO MACIGNI, Daniel Barbaro eletto Patriarca d'Aquileia:
u4G N IF ICQ ^ Eccellente Fratello ycjfendo frmi ami nostri [otto la cura de buoni precettori.jta^ H gli jludt nostri communi il nodo dellamicitia tra noi legato dalla fmi^ianz^a della "virtt^ con ho^ neftiy 0* però fermi legami a me 1^ are di public are U firettez.z^a noHra sfotto parte di quelli titoli y ( qua^ li fi fiano ) che con degne; fatiche hauemo procurato di acquijtarfi: pero hauerete a bene , che fotto la "voflra correttione io dia in luce 'vno trat-^ tato della pratica delia Feripettiua ., che già molto tempo ordinai per mio piacere, o poi acommune^tiim ridufia quella perfettione ,chio fep^ pi , & potei , Grande fu il diktto noflro ne gli {iudt delle 7nat ematiche da primi anni y^ cip arcua, che quel piacere ]^ che prendeuamo di quelle, fojfe la maggiore vtilita ^ che fe mpotejje pigliare . Ma procedendo pm oltre y quel piacere:, nelqualegia fifermaua la noflra diligenzi^a^ ci ha fortat 0 vn frutto marauigliofo , perche ci e fata aperta la firada ad aU tifsime e fottilifime fj?eculationi : dekhe ben mille fiate ne hauemorin^ grat iat o la bontà diurna , che ci ha condotto di lume in lume a confentire con qualche ragionemk difcorfo aRe più fecrete cognitioni nello (plen- dorè dellequali abbagliano gli occhi di quelli^ i qiìalt non riconofcom, queL lo che fanno y ^quello che pojjonodachi fa, ^ può uer amente , ^ iat- tribuifcono molto, per poche co/e , che pare loro di fapere. Ma perche non fi crede facilmente a queUoyche pare lontano dalla pofsibtlita per ladebo^ leZpZ^a dell occhio interiore ya me fatisfaraychenoi ci fruiamo di quelle di^ fcipline per ancille di Hjna nobilifsimayC prefiantifsima cognitioncy & che il più de gli huomini fi feruaalle arti y allequali fi danno per fefte^ nmento della uita^ o del nome loro, finche piaccia a Dio y che noi vedia^ P70 il triangolo di vna linea dritta infinita ^ (S'U centro maggiore della mconferenz^a-^ State [ano.
PROEMIO:
R A molte belle, & iiluftri parti della ^Perfpettiua, una ucn'hà, iaquale da Greci è detta Scenographia . Di quefta ne i miei com- mentari fopraVitruuio mi ricorda d'hauer promefTo di trattare: Percioche fi come ella ha molte , & merauigliofe ragioni nell'ufo, & effercitio fuo molto utili a Pittori , Scultori , & Architetti , coli molto abandonata , per non dire fprezzata , & fuggita fi troua da quelli j a i quali è più neceffaria , che ricercata . Già in Athene in- fegnando Efchilo , Agatarcho fece; la Scena Tragica , & di quella nelafciòfcrittounobelliìTimo commentario, dal quale auuertiti Democrito, & Ana- xagora , uollero ancho elfi fcriuere fopra la iftelTacofa . Noi leggemo , che apprelTo de Romani gli ornamenti gli apparati delle Scene eranioin grandilfimariputatione. Auanti la età noftrai Pittori, che fi trouauano a quei temipi , lafciarono di quefta arte - molto belle memorie di opere eccellenti, nellequali non folamentei paefi,i monti, le felue , gli edifici fi uedeno egregiamente diiregnati,& adombrati, ma ancho gli iftefsi corpi humani,& gli altri animali co linee all'occhio come al centro tirate fono Ibttilifsi* inamente pofte in Perfpettiua . Ma in che modo , & con qiuali precetti fi reggeffero, niu- no (che io fappia) ne gli ferirti fuoi ne ha lafciato memoria. Se forfè non uogliamo chia mare precetti, & regole, alcune pratiche leggieri pofte fenza ordine, & fondamento, & efplicate rozzamente: perche di quefl:e ne fono pure alcune di Pietro dal Borgo S. Ste- fano, & d'altri , che per gli idioti ci potrianoferuire . Poche cofe ci ha lafciato Alberto Durerò , benché ingeniofe , & fottili . Più grolTamente fi (è portato il Serlio : ma l'uno , & l'altro (dirò cofi) fi fono fermati fopra il limitare della p orta . I Pittori de i noftri tem- pi altrimenti celebri, & di gran nome, fi lafciano condurre da una femplice pratica, & nelle tauole loro non dimoftràno fopra quefta parte cofa degna di molta commenda- tione , & nelle carte in ifcritto ninno precetto fi uede dato da loro . Federico Comman- dino nella sfera piana di Tolomeo ha pofto alcune dotte dimoftrationi, come egli è fo- lito fcmpre di fare , p'ertinenti alla Perfpettiua , comeprincipij di quella , non inutili per eccitare gli animi de gli ftudiofi : Ma quanto allo cffercitio , Se alla introduttione di pcr- fone none all'operare di mano ofcure^ & difficili . Perche aidunquc la ragione , & l'ufo di tale arte non è meno piaccuole,&di diletto, che neceffairio , & digiouamento io ho cercato ancho in quefta parte , quanto per me fi ha potuto di giouare a molti : Però con grande ftudioj&dih'genza io ho procurato di precettori , &maeftri,& di tutte quelle cofe,che io ho faputo imaginarmi, che mi potcfTcro a quefìro giouare . 11 cafo mi portò dinanzi un Giouanni Zamberto cittadino Vinitiano', ilquale io ho ufato per guida nella
pratica della Perfpettiua, ho prefo da quello molte cofe , che mi fono fiate utili , & di
A 2 piacere
PROEMIO^
piacere , Vero è che il diletto di fàpere , & di giouare mi ha fatto aggiugnere alle regu« le fue non poco fìudio, 6c fatica , mccioche io potefli con precetti , &: ragione di mathe- Kiatica prouare quelle cofe , che e|§li con la fquadr a , ac con la fefta operando femplice- mente mi dimoftraua.&accioche? coni decreti della fcienza iodefU forza agli efperi- menti dell'arte, DelchemifentQlhauereconfeguitOìCheiopofTo Scuramente cffortare quelli , i quali fuggono la fatica , cSc con quefta fola prorae0a rifuegliarli allo ftudio deL la Perfpettiua , che tra le arti,che c:on qualche effercitio, & opera fi uogliono dimoftrare, niuna è che habbia più certi , 6c ficmri termini, ne meno, che più ifpeditamente fi polTa ri- durre a perfettione di quefta partce della Perfpettiua, dellaquale fi tratta, Imperoche ef- fcndopofta la fua ragione (come(diceVitruuio)nelfapere,inche modo da uno certo, & determinato puntoi fi debbiano» {tendere i raggi del uedere, che rifpondino alle linee naturali 5 accioche di cofa incerta certe imagini de gU edifici nelle pitture delle Scene corrifpondentialuero fiuedino, &. accioche queUecofe^lequaline gli dritti, & nelle fronti piane fono difegnate,,parinio di rilieuo, certo è , che tutta quefl:a pratica in tre foli termini, (Sf nella cognitione di qu(elli è ripofta, Cioè,occhio, raggi, ^diftanza, Del^ lequali cofe, & certifHmi ammaefitramcnti fi danno, & gìocondiffime ifperienze fi fatino. Et accioche più prefto con fatti , c:he con parole fi proni quanto ho detto , io comincierà conl'aiuto diuino a fatisfare alla ipromeifa *
c
DIVISIONE DEL T RATT AMENTO
IELLA VE.^S'^ETTir Ji .
0 Trattteib di quella f arte di Perfpemu4 y la quale da Greci e detta Sce- nografhu , cioè defirittione delle Sicene , laquale con mirabile ran-io?i€ di linee dtv no ponto regolate fecomdo le dtfianz.e fa vedere le foperfi- cie de i icorpi , i rilieui . il fuggire , érirtfalimentì , egltfporti delle fa- hriche dttutti t corpi, ^ diptu i profili , le parti dt dentro, quelle , che nelle faccie oppofte a quelle, che- sivedeno , filamente apprefe fono dalla imiginatione con merauigliojfò dtletteuole inganno dtllav^. fi a , Cofi molto vtile a molti artefwi , come a chi uorra diligentemente considerare , fera manifefio ' U^^Qoue parti principali ha il prefente trattamento ,
Nella primd si ordineranno i primipij, é i fondamenti dellai Perfpettiua , ^ di quelle cofe , che hi fogna prima fapere ,o prefùp^orre , che si uenghi all'operare .
Nella feconda si tratterà del modo ycon ilquale si hanno a defiriucre le piante de i corpi ne i pia- ni y ilche ì detto Ichnographia, : cioè , defcrittione della piamta. ^ tanto nel perfetto, quanto nel digradiamo .
N ellaterz>a si dimofirera y come sihanno a leuare i corpi dalìle piante ^ ^ formare lo in pie y(^ il leuatiO , che Ortohgraphia : cioè , defcrittione del dritto si dice .
N ella quarta si defcriuer anno le maniere delle Scene con k piarti de gli ediftcij pertinenti alla Architettura . Onde la prefente opera e detta Scenographia y cioè defcrittione delle Scene .
Nella quinta si efponerà una bella, é'fecreta pratica di Perfpettiua , che non lafcia uedere le co- fe dipinte y fe non da uno certo y é' determinato punto y oltrat ilquale non si diftingue quello, eh e e dipinto .
Nella fefi^ji praticherà ilmodo di ponerei pumi ^(jrtcircolìi della Sphera nel piano fecondagli antichi.
Nella fettima si tratterà dei lumi yé' delle omBfè.
Nella ottaua si toccheranno alcune cofe pertinenti alle mifùre del corpo humam, si per ifcorciar^
le y come fer trappolarle d'una quantità nell'altra . Nella nona si formeranno molti inftrumenti, per porre le cofe in Perfpettiuayacommodità dimoi
ti yiqualiuogliono la pratica fòlamente ,
0 RD I N AT I 0 N E DE \ P.RINCIPIIy ^ fondamenti della Perfpettiua, Gap, I.
G LI e necepario per prociedere ordinatamente ,fapere , quale sia la intentione delPerfpettiuo , percioche da quefia cognitiome si potrà determinare quali parti fegli conuengom , (jr trouare i principij , ^'fondamenti della Perfpettiua . Pero io dico y che il Perfpettiuo non ha altra intentione y che difegnare ne i piani i» ta- uole fottopofte tutte le forme, ouero figure uijibili y ^farleparùr e i» quelmodo ^ che il giacimento y il sito , ^ la diftanz,a Iorio richiede. Ilche cosi efsendo non ha dubbio , che noi non h abbiamo a considerare Cocchio , che uede : il modo y col quale si uede : la cofa y che si uede : la diftan'^a y dallaqualsi uede : ^ il piamo y foprdlquale il Perfpettiuo ha da difegnare le cofe y che si hanno a uedere . Delle dette cofe r/iella ordinatione de i principij della Perfpettiua tratterò chiaramente j prima dell'occhio .
DEL-
PARTE
r> E L r 0 c c H 1 0.
Cap. IL
'OCCHIO da Perfpettim centro, fegno, ^ punto si chiama, ^ ì il princìpio, il fondamento di tutta la peritia , ^la proua della Perfpettiua . Percioche in quello e la punta yé'la fommità di quella Piramide , che sifuol fare nel modo del uedere : Ile he come fe intenda diro breuemente . Noi douemo imaginarsi , che la cofa ueduta sia come unabafa d'una Piramide , laqual si forma , da i rag- gi del uedere , iquali si parte no dal punto della uifta, peruengono alla foperfì- eie , contorni della cofa ueduta . Per lo concorfo adunque de i raggi del uedere nel centro del- l'occhio ^ si fanno gli anguli, fottoU ragione dei quali le cofeuedute fono diuerf amente rappre- fentate , come si diro dapoi . L'occhio e quello , a cui si riferifce la generale demminatione del- la Perfpettiua : Imperoche da Greci e detta Optica , da Latini , Profpetto : p^^ quefto nome nonintendeno uno femplice uedere jma uno auuertito considerato uedere . Percioche ilfèm- plice uedere non è altro , che naturalmente riceuere nella uirtu del uedere la forma , (jr la simi- glian\a della cofa ueduta . Ma lo auuertito ^ (^ considerato uedere , oltra il femplice , ^ natu- rale riceuimento della forma , ha la consideratione, é" l^ inueftigatione del modo del uedere , pero il femplice afpetto è operatione dt natura,^ il Profpetto e officio di ragione . Hora non ac- cade, eh e noi in quefto luoco riuochiamo quella quiftione 3 che sifuol fare . Se il uedere si fa. mandando i raggi dall'occhio alla cofa ueduta ,o pure riceuendogli mandati all'occhio della co- fa ueduta: Perche in qualunque modo la cofa si ftia , non pofsono non hauere luoco le regole, i precetti noftri : percioche in ogni modo l'occhio e pofto come centro , punto ^ nel quale tutti i raggi concorreno , fanno la ctma della Piramide predetta .
H
DEL MODO DEL VEDERE.
Cap. III.
0 N può l'occhio uedere fe non per linea dritta , imperoche e necefs4rio, che da tutti i punti xch e fono nella foperficie della cofa ueduta , si pofiino tirare alcune linee dritte a tutti i punti della foperficie dell'occhilo ..• ilche non e altro , che man- dare , 0 riceuere i ràggi , ac cioè he la simiglian\a della cofa ueduta , chiamata da naturalifpecieuisibikìfdfsil peruenire all'occhio : da quefto prociede , chele fpecie della cofa oppofta aluedere , che oggetto si dice , fono in quel modo ordina- K te,^difpofte nella foperficie dell'occhio , é*nell'animariceuute ,col quale fono ordinate , edi- fpofte nel piano o foperfcie deWoggetto . ConfeguenHmente adunque aduiene, che il uedre si fa in modo di Piramide , la cui cima è nell'occhio la ha fa nella foperficie della cofa ueduta, che il uedere si fa per linea dritta ,^ a fq.uadra . Come si può dichiarire per x^pollonio nel quarto Theorema del primo libro de gli elementi Conici , ér per la uerfa della quartadecima propositione dell' undecimo libro di Eucl. llche hauemo diffufameute nel noftro trattamento La- tino dimoft rato ragionando della Perfpettiua , Et quimsi potrà fatisf are conio ef empio per la figura fegnat a V. nellaquale si com^prende la Piramide del uedere. L'occhio } alla lettera a. La
cofa ueduta b
c d e . / ^^ggi ^ ab. a c. ad. a e.
iquali concor- rendo nell'oc- chio formano la Piramide del uedere i la cui bafa !■ he de. Bifogna poi imaginar- .. si,che daoqni ^ puto della det- ta bafa uen- ghino
f R I M A.
ghim i raggi del uedere all'ochio, é similmente da i contorni , 4moch( (lUsìuedi
tutta.
DELLA COSA FEDFTA,
Caf, JIII.
ER l^n^e^o della lm^cspf,edeno le figure. &le for-
me delle cofe. CMa a proposito ptgUeremo le gra^^de^e . continuando la di- chiaratione delle predette cofe . Dico che egli } necefsario . che la cofa . che si ha auedere, sia di qualche quantità fensibile rifletto alla fiperficiedeluedere. So- perfide intend,o quella parte feperficiale dell'occhio oppofia alla foperficie del fo- rodel rierodell occhio, che uuea. dal color [Ì40 e nominata, come dicono alcuni: Etfe la cofa ueduta non fojse difensibilegrande^a. l'occhio non riceuerebbe quello effetto, che in efiedeue farcia formadella cofa ueduta . Ilchecome fi intenda, sidicchtareràquiapprefso trattandosi della diftan':{a.nellaquale si uede.doue si ha da considerare ficondo le ragione de i naturali minutamente ogni cofa. perche fa molto alla nofira int emione «
DELLA DI Sr AN Z A.
Cap, r.
I LTRA di quefto egli e necefeario .che tra lacofa ueduta. l'occhio cisiauna I certa diftan^ : I mp croche è detto di Philofophi. che le cofe fensibili pofte fopra lo inftrumento del fin fo . leuano il poter fentirle : ile he si come nello uniuerfale e uero . cosi chiarlfiimamente siproua nel fenfo deluedere . si perche la uifta nor» riceue alcuno oggetto fen\a lume . ef endo che la luce faccia che la forma corpo- rale diuenti fpirituale . é-che le fpecie uisibili si moltiplichino . siano fatte atte ad efer compre fi dal fenfo deluedere . come dicono i naturali. Si per che (ér fa al proposito noftro)nelHedere si ricercano alcuni anguli.i quali ouero non ci farebbeno fe le cofe uisibili fopra giacefìero all' occhio. che e inftrumento deluedere.ouerofec.ifufsero.o maggiori. o minori delbifo^ gno farebbero . Egli } necefsario adunque . che le diftan\e rifpondmo ali occhio con certe ragio- ni proportionate di raggi, é- di anguli. acciochepiu certamente quanti. quali sieno sipofsino uedendo considerare, a perche con piit^hiare^a fe intenda quanto ho detto : Io repiglie^ ro da iprincipij naturali . é- Math ematici alcune cofe utilt, diktteuoli per die chiarir e i modi d el ued ere atti . ^ conu enienti al proposito noftro . Io,' ' - .
efeere
dritto concorfi di linee in un punto . ( perche le linee non hanno largherà ) e diuisibile in infini- to. si come ancheilpmtomathematico .per efsere considerato fin'^ materia, e fen^ parte. Lo angulo naturale . la linea. il punto naturale . perche fino cofe congiunte con la materia . (jr hanno le forme loro fottopofte al finfi. fono diuisibili .c^ terminate .^quello si dice nelle cofe naturali efere minimo, che nella minor quantità, che si pofa trouare.puo conferuare la fua for- ma . é-fare l e operationi confeguenti a quella forma . Imperoche le forme naturali si conferuano inuna determinata grandeT^a.^ciafiunafaie fue operationi. che fi fufsero fatte in parti minori .perderebbero il nome . la ragion loro . é'^on potrebbeno operare, ^uftirebbeno qua- si aa i termini naturali . (jrpaferebbeno a i termini math ematici . ISljlla Perjpettiua adunque, dellaqual trattiamo . si ragiona de ifigni. delle linee, ér de gli anguli naturali . Imperoche U Perjpettiua ( si come molte altre cogmtioni Jèa due fcien\e fottopofta . cioè alla naturale, é' al- la Geometria : dalla Geometriaeilariceue lalmea'.é-la fua ragione, dalla naturale .il uede- r e. di due nomi . cir ragioni componendogli insieme forma il nome .(^la ragione del fiofig- getto .c orne fanno quelle fidente . che si chiamano fubalterne . perche dalla linea . ^ dalue- dere sinomi/ia la Imea uifuale ( diro cosi) che in una fola uoce comprefa. . Raggio e detta da Per fpettiui : imperoche li raggio . inquanto che egli ì dritto . & chei fuoi m.e^inon adombrano gli ejlremi,^ si considera mathcmM amente . egli manca di largheT^a^ come fimplice linea: ma inq.uanto eglifirue ali off icio del Medere . diuiene fensibile . é'sifa linea naturale . Da i rag- gi adunque concorrenti in un punto , si fanno gli anguli naturali, cioè finsihili , fitto la ragio- ne dei
g PARTE
nedeiqualisiuedenoie cofe . . , / j ^ r r t
mia edi bt fogna auuertire, chr si bene non si può uedere alcm.ait.ande\^i-d fe non/otto qual- che anfrulo , non Vero sì può uedere fitto qualunque angulo . I m}efo cche egli non si può uedere ne Cotto ilmimmo . ne fitto tlgmfioì . ne fitto ti largo . ne fiotto l'ambulo MI contatto , come proua-^ no i Perfpetttut . Non fotto ti ?mmms , (come e munifiefto) tmperiche aucnga , che la cmantita continua stpofsa uedere tn tnfimitoi , nientedimeno la diuisione jrocuede fiotto forma fiensibile . fin che e^li si popa per la parte diutifia uenire in cognitione della fieae; : à la quantità continua e indiuitibile in infinito in potenza , cf" rion m atto, come dicono i li ^.tlh ematici.
Per qucfìa ragione, non si uede ^alcuna cofia fiotto t angulo del cmiattto .perche egli rifipetto a t rag^t ì indiuisibile, & l' angulo fiottto 'l quale si uede deue efier dimsMle per lo afise della pirami- de uifuale, come dicono i Perfpettimi . & nel contatto non si può fiar o^uiefio • .
^e meno fotto Un'auto giufio si^puo uedere alcuna quantità , c q^^fto nafie dalla confitttutto- ne dell'occhio . come d)cono r^li Speculatori . Perche quella parte àelnmro dell'occhio . che dicem- mo efsereuuea nominata ., che mamca della ritonde\za della Sphera. ^e minore della quarta par-
iu'o ^lufto Et fi fiotto il giufto perla ritorni e'^a . che manca nell me a . non si può uedere, necefi farioe, che non stpofisa uedere fottio l' angulo largo. Et fe pare agli tr^p enti altrimenti, quefto prociede daluelocifsmo mouimentto deli occhio, ilquale trac corre d^. uno termine alt altro per la mobilitifua, & inganna quelli, i quali non ricorreno alla ragione .pero molti Pittori fianno le ^ cofe f^arbate , perche non capificeno quefìa ragione , come io diro dapoi . E efta adunque, che le cofe SI uedmo fiotto l' angulo fretto, , & naturale, dalla ragione delqude si prende l' apparenza del- le cofieuisibtli,&i principe della ÌP erfipettma,iquali fionot fieguenu . ^elle cofie,che si uede no foìtto anguli eguali , p areno ^luelle cofie , eh e si uedeno fiottio anguli maggiori , p areno magport. ^elle cofie , che si uedeno fioìtto anguli minori , pareno minori . £luelle cofie , che si uedeno fiottio pm anguli , si uedeno più difilmtamente . \ La ragione degli anguli in fiom?ma fa parere le cofe defire, smiftre, alte , ^ bafse , come acca- de, che SI uedmo fiotto anguli deftm , simfirt , alti , o bafist . . . . ^
ciuefte cofie benché pie c iole in'^rande'\z.a , é- poche sieno dmumero , pero muiriu fino mol- k te, &'irandi,é' ci feruenomirabnlmente al proposito noftro.
Et perche iopofsi fattsfare a qmelli,t quali non si hanno efiercitato nelle Mathematiche, io di-
[, ro chiaramente quello , che intèn-
do. Egli si deue fiapere che la mi- fiura de gli anguli si piglia dalle parti della circonferen\a,che fino abbracciate da quelle linee , che fianno gli angu'-i . Ecco lo efiempio helU figura G. Le linee, che fian- r,o ì angulo bac ilqualeè angulo 2ì owfo, abbracciano maggiore giro ^del circolo à. b cche non abbraccia no ie linee, che fannol' angulo fi r et to b a f . pero ì' angulo b a c, ^ mag gioire dell' angulo b a f . quefto snmilrnente e maggiore dello an- gulo f a d. ^ amendue fiono angu- %j(lretti. Et l' angulo fac. cheì angulo largo e maggiore di tutti i
Jòpradetti anguli ^,p€r eh e abbraccia maggiore circonferenza de gli altri
M
tìora
F R 1 M A. f
A Uoradiro yche quelle co/è > leciuali si uedem fitto anguli eguali , pareno eguali: Et e co* fi mirabile , che fitto l'eguaUà de gli anguli molte cofe dtfeguali p areno eguali : come siuede nella figura doue i' occhio i »• i rag^i a b. ^ a c. ^ quali fanno langulo b a e ^ le grande'^e
dif^erfè fino à e. f g. h ì. l leqHdlifono differenti ^ ^ difeguali , perche fino uedute fitto uno ijìej^o angulo j che egualmente ferue a tutte yp areno eguali . Io nella Pcrfpettiua mia Latina ho ^ofìo le dtmojlraiàom di tutti i fondamenti di quefi'arte j k quali hora io lafcio per non ritardare glifludiofi della pratica della Perfpettiua. i quali deono hauere queftiprinciptj per certifimi. il fecondo principio era,che quelle cofij lequali fi uedem fitto angulo maggior e ^ apparem mag- ^ j giori : ilc/je mede/imamente si dichiara con lo ef empio foflo nella figura K. doue fino due gran
de'^e eguali ab. cà. uedute fitto diuersi anguli fdelle- quali luna apparerà maggiore dell'altra j cioè la c^. appa- rerà maggiore della :ih. perche langulo fitto l quale fiuede Id^ c d. che c e d. ì maggiore dello angulo, fitto Iquale fi uede la ab. chee 2^^\).
Similmente dalla detta figura fi dichiara il ter^ princi- pio : che e ^ che le cofe uedute fitto angulo minore app areno minori , perche la grande'^a a bi appare minore della gran- de^a ed. Imperoche la ab. eueduta fittol angulo a c b. eh e e minor e dello angulo c e d. fitto' Iquale si uede la gran- de^a ed. ^ per le cofe dette difiprala ^'i. app are^ eguale Mia perche amendue fi»o uedute fitto angult eguali.
Dalle dette cofe fi comprende la regula,(^ la forma del quadrante di Alberto Durerò , col qua- le egli proportiona le lettere jOU ero lefigure,chefino nelt altera di qualche colonna o parete. Dal- ^he fono auertitii Pittori, ouero gli Architetti a partire le altère in parti proportionate .
Sia per ef empio t altera della co- lonna ab. nella quale fi hanno a. ponere le littere , ouero le figure a proportione jf chele ddfopr a appa- nno di eguale grand eT^a con quel ledi fitto. Fac ciaf uno quadran- te y ouero uria por t ione di circolo > che fia per ef empio e f. dal centro & fi^ diufa quella portione in parti eguali, é'fi^ P^fl^ talmente che con debita difian^a il punto 'f. per dritto rijponda ai punto b. . doue fi hanno a cominciar le lette- re, ouero le fi,i_ure da piedi . Dapoi per lo traguardo fi g/4 ardi C^ra le diniftom fatte ff ella J^ortms d^.d circolo , & fsmnghi la mjla alla colonna ab. é'iuijifigni
B g h j.
IO
PARTE
g. h. i. k. cofi pojìi i fioi fegni ) ladoue termineranno i raggi nella colonna ^feranno anche ter- minatele grandeT^e delle Lettere , ouero delle figure lequali pareranno eguali y fe la dinifione del quadrante 3 onero della portione del circolo fera fatta egualmente, come fi uede nella figura , I. per che le cofej che fi uedeno fiotto anguli eguali p areno eguali . Et tanto uale la conuerfia , che fiegli archi fier anno eguali^ anche gli anguU fieranno eguali:, per la ugefimafieftaj uigefimafiet- tma del ter"^ di Euclide.
Dalche anche è manifefto, che le cofie uedute fiotto doppio » ^ triplo mgulo » doppie 3 ouero triple appareno . Dico appareno^perche neramente non fono doppie , 0 tripli . Et le ragioni delle bafie de i trianguli , non feguitano la proportione degli anguli oppofti ^ come dee Tolomeo nel primo del- lo Almagefio.
il quarto principio erajche le cofie fdedute fiotto più anguli ^ più certamente si uedeno . Et que- flosi fiàìnanifiefto : perche fie noi pigliar emod^e grandeT^e egualixhe tra fie siano egualmente diftantiydellequdi una sia più uicina all'occhio dell' altra iquella^ch e fiera più uicinajsi uederà fit- to angulo maggiore j che quella 3 che e più lontana . Ma tangulo maggiore si può partire in più parti i che langulo minore : Adunque lagrande^a pin uicina si ueierà fiotto più anguli ^ch e la lontana . Et perche lo afise della piramide uisiua ^ ilquale peruiene dia fioperfiicie della cofia ue- duta j f più breue nelle cofie più uicine adocchio yche lo afee della piramide , che peruiene alle co- fie uedute più lontane, peri) ne fiegue y chele cofie uedute fiotto più anguli, più diftmte j ^ più certe si uedino .
Appr efiso le dette cofie egli si deue auuertire fiche le lineerò altre quantità egualmente diftanti,
0 alte , òbafse i odai lati , che siano pareranno ali oc- chio uolere concorrere insieme , & unirsi, quanto più fieranno lontane dall' oc c hio .Eccolo efe empio nella fitgu- ra L. non fiolamente i lati ^\>. ^ cè^. pareranno auuici- narsi l'uno all' altro con le farti più lontane dall'occhio e. ma anche le linee ac. gf. hi. kV(^ hà. faranno lo ift efiso si che la b d. parerà più uicina alla k I che la k 1. allaWi. ^la hi. più uicina alla chela gf. alla ac. perche la bd. // uede fitto minor angulo , che la k\. ^ la k 1. della h i. ^ cosi il refi ante . Et similmente le par- ti delle linee ab. ^cd. che fieranno più lontane dall'oc- chio ( come ho detto ) pareranno ptuauicinar si jC he le più uicine .perche gli fipatij , che fiono tra le parti più lontane , pareranno più uicini : perche st uedem fiotto anguli minori. D'indi adiuiene yche fie isgàsi mrrà po-. nere in Perfipetiua uno portico coperto, ér colonnato fian, do l'occhio nel meT^ da uno capo, ci parerà , che il Jofiflto s'abbdsi, il pauimento s'inai^ à poco , a poco quanto più s'allontana dall'occhio . ^ similmente il parete deflroconle parti più lontane dall'occhio parerà più uic inarsi alle colonne dalla stnifira : Et anche de gli fpatij tra le colonne , quelli pareranno più fretti j i quali fieranno più lontani dall'occhio , di modo che le cofie alteparenoab- iafarf, le bafie inal'\arfi , le deftre piegare alle finiflre jì^Ic ftnifire uoltarfit alle deflre , quanto più le parti fie- ranm lontane dall occhio : come laijpe- rienT^ ci dimofira , ^ la ragione altroue lo in-
Jègna iilche tutto nafice da gli -, ^-^
anguli fiotto i qua^ ^-"^j^ lijtuedc»
C
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Dalle
P R I M A,
II
D4U dette cofe ci fera mamfejiùy che pop uno quadrato .alquale l'occhio fopraftta , ^ che
dall'occhio cada uno raggio nel me\z>o del quadra- to > la douei diametri smcrocia>70, diametri tra fe ^i lati pareranno eguali ^ come fi uede nelld fg^ra £1^ doue e il quadrato ed. e f. l'occhio a. / diametri ci. d e. // raggio, che cade dall'oc- ehio al me^o a g . ^ / raggi y che uanno dall'oc- €hio à gli anguli del quadrato a c. a d. a e. a f. Do- ueilati fi)no ueduti fitto anguli eguali j pero pare- ranno eguali i fi come fino . Et i diametri parimente pareranno eguali , fit come fiom , perche fi uederan- no fiotto anguli eguali, come dimofira Euclide nelU fuaPerfietttua y noi nella nofira latina hauemo dimoftrato. Con le ifiefieuie , ^modi procederemo mlendo dimofirare lo iftefio di ciaficuna figura di drit te linee j ^dimoiti anguli, eh e fia regolata, come della di cinque , di fiei , difiette, ^ di più anguli ., iir anche della figura circulare, doue e manifiefiio,che tali figure fi ueder anno come fiono,fie dall'occhio fio-^ prapq/lo cadera ne i centri loro una linea à fiquadra, CM a fie l'occhio e poflo in altro luoco , le figure mu- tano apparenT^, dalche fi fià,cheil circolo ci pare horaouato, hora ciporge apparenza di altra fior te di linee piegate , che non fino p or t io ni di circoli. più oltre per la mutatione dell'occhio fuole prociedere, che ciaficuna figura pofia nello ifief^o piano, doue e l'oc chio,fiuede (òtto linea dritta, imperoche allhorala figura non fi fià bafia della piramide, ma fifa bafa d'uno triangulo , delquale fi uede fiolamente la bafia ^ come di fitto anche nella tjfuinta parte ci fiera ni 1 j r rnantfefio.
Ultra le predate cofe (ac cloche egli fi pofia più fiicur amente praticare la Perfiettiua fie da
fiaper e , che fie l'occhio dall'alto guarderà le f operile ie inferiori pofl e in mo iftefio piano „ quelle,chefieranno più rimote dall' ochio , pa- reranno più alte , come nella figura S. doue le foperficie uedute fono be. ed. dg. infe^' riori all' ochio a. delle quali ed. dg. fina eguali. Dicoche àg. parerà più alta di ed. cada dall' ochio a. la linea dh.a piombo fi- pra la linea b g. nellaquale fi pigli il pun- to z. ^ fiopra 2. fia dri'^ata a fiquadra la linea z\. fiano poi dall'occhio a. mandati i raggi alle parti delle fiperficie pofie nel pia- no hg.ai punti c. d. g. i quali taglieranno la linea i ì. nei punti i. t. k. Et perche l'oc- chio uede quelle fiuperficie perii punti , che
fono nella ZI. (^ilpuntoi. e più alto del pun- ^ , tot.(^ il punto i. rifponde al punto g. ^ il
punto t. rtfponde al punto d. pero efiendo(cmeho detto) il punto i. più alto del punto t. &il t pttt alto del k. nefegue.cheii g. ci apparirà più alto del d. éil d. più alto dell' e.
^ a Similmente
Il
P ARTE
a
pu lontane dall'occhio : dico appareranno più hafe . come dimofira la figura T. fia ti pun- todeluederem^.fottopoftoal piano bg. nel- quàle fono le foperjìcte da efer uedute be. e d. d g. fiano t raggi a b. a e. a d. a g. de i qua- li lo ^h.Jiaa [quadra del piano b g. Dico, che la linea dg. che e pofta per una foperficie , parerà piubafa della dc^^/^ de. della eb. Jìa come di /opra U z i. egualmente diftante ^, alla ab. Jia tagliata dal raggio ag. nel puntolé'dal raggio ^.à. nel punto c. & dal raggio a e. nel panto k. ^dunque per le predette cofe , la Jpecie uifihile del punto g. apparerà inferiore, alla jpecie del punto d.
quefta più hafa della jpecie del punto e. percheil punto i. per loquale fiuede il punto g. e inferiore al punto e per loquale ji uede U punto d. & fimilmente il punto k. per lo quale fiuede il punto e e più alto del pun- to c. é- fecondo la dijpofitione . & fio di que- fte linee le jpecie di quelli fegni s'imprimeno nell'occhio .
l
DELIA
DiriSIONE Cap.
DEI VI.
PIANI.
MIMA, che io uenga alla diuifione > & compartimento de i piani , io dichiari ro con efempì , come fihabhta a partire una linea fecondo quella proportione , ... che ci fera data, dr ponero altre maniere di compartimenti proportionm. per rendere più facili le cofe feguénti . Dico adunque che fe ci farà data una linea, chela uoglUmo partire fecondo quella proportione, che hanno due altre linee
^ trafe. bifogneràfare in quefto modo. Sia lalmea ab. da efer e compartita m
auella proportione , che hanno due linee tra se pano di quelle l'unaA. & l' altra c. &jia La \, doppia alla à.pmi infieme amendue le dette linee in una longhe'^a,& damenduenejarai una, ~ ^'^ ^ ^ la tirerai di modo, che ella faccia angulo
dauno capo conlaltnea^h.à-daìt altro capo,do ueelalineaà.tireraiunaltneaalpuntoh.fche ella ferri uno triangulo ah d. poi dal punto c. che ^- ì principio della linea d. & f ne della e tirerai uerfo la una linea egualmente diftante alla lineai à. Dico che qu^a linea hauerà partito la data linea -^h. nel punto e. in quella propor- tione , che hauèua la linea e con la linea d. cioè in doppia proportione, fi che la parte a z.fera dop pia alla parte e h.come fiuede nella figura ^'^^ft' mile ti auuerrà in qualunque proportioue tu uolej diuidereldlinea^h.comepraticandopotrairitro M
um \ & U dimofiratione altroue e pofta da noti ■
Oltra
f R 1 M A.
il
Oltra di qusjio eglijtdeue fiptre , che fe tra due raggi ejlremi d'una propojla grandeT^a^fi
tirerà una linea egualmente diftante a quel la grande'^a, gli altri raggi, che faran- no di meT^o taglieranno la tirata linea conia ijìe^a proportione > con laquale ha^ «eranno tagliato la propojla grandeT^a . Sia adunque la data grande\z>a he. l' oc- chio i.. iraggiejlremid.h. 2iC . i raggi tra me^o ad. a e. af. a g. a h. iquali diuideno la data quantità come Ji uoglia . Sia tirata la linea pi. egualmente diftante alla data quantità hcchiu/à tra gli eftremi raggi ab. ^ a c. Dico che la linea p i. Jèrà dtuifa da i raggi trameno in quella prò por t ione j nel- laquak :, e diuifa da gli iftefi raggi la iftef- fa quantità b c. pero la parte ^k.hauerà quella ragione con tutta la linea p i. che ha la parte b d. con tutta la quantità h^- & ependo b - la fefta parte di b c. cofi^ k. fé- rà la fefta parte di p i. cofi nel refto fi troua , come appare nella Jìcura
Bt quello di più a da efere manifefto ,chefe egli fi manderà dalt occhio due ragi ad una linea, allaquale ne fa tratta un'altra egualmente diftante quella linea fràdi(4ft , ^ diuiderà con la iftef a ragione: ideiti raggi. Come per ef empio fi uedc nella figura O.Nellaquale l occhio e al
punto a. / raggi fono a c. ^ a b. iquali uanno alla linea c b. Sia poi tratta una eguale ^ egualmente difiante al- la linea eh. ^ fia i d. Dico che la linea f d. feratagliata : dal raggio a c. nel punto g. nellaquale ella taglièrà ti rag gio a c. dt modo >chefeg A. ferà doppio alla parte g f. del : la linea fd. anche la parte g a. frà doppia alla parte g c. del raggio a c. quefto e f empio ferà utile à molte diuifioni di linee ^ di piani nella pratica della Perjpettiua^ér derà facili molte cofi, che pareno difficili a quelli i qua- li non hanno l'ufo delcompafo ér della fquadra .
Dalle fopr adette cofe alcuni hanno ritrouato uno modo facile di compartire le linee in quante
parti uogliono j fanno fecondo ilbifogno uno piano partito in molte parti eguali ^ tirano le linee egualmente diftanti dduno lato alt al- tro ^ riportano la lunghe^a della linea , che uogliono partire a quel piano, tenendo fermo ^ / f ^ l'uno capo della line a in uno angulo del piano
compartito , alT^no ^ abbafiano l'altro capo, tanto che egli tocchi quella linea del piano compartito, che ha fegnato il numero delle par tt , nelquale uogliono campartire , e diuide- re la^ Uneà propofta '. ^ cofi trouano la linea compartita . Sia adunque la linea da efer di- uifa uh. il piano da prima compartito a b c à.pi gliamo co'lcompafola lungheT^a della linea ab. ^pofio il piedi del compafo ne II' angulo a. ^ ' " " ' ~ ■ del piano compartito , poniamo l'altro fepra
quella linea della diuifione,che ha notato il nu- mero,nelquale Ji uuolediuidert la detta linea 3 feir^ quattro fopr a la linea, laquale ferà del 4.
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PAR T E
come
fe in cincjue yfipra la 5 .fc in fei j fipra la 6- & eofi dì mano in mano fecondo la int emione : Ji tiede nella figura fegnata B.
Hora fi dimofirerà il modo di partire le tauole j i pani , fipra i eguali fi hanno a pone re le piante ^ ^ / leuati de i corpi in perjpettiua . Primieramente adunque egli fi ha a uedere come da uno propofio triangulo j 0 quadrato , 0 quadro ( perche non importa qu al figura fiuoglia ) fi pofa tagliare una propofia parte j 0 ter'^à^ 0 quarta , 0 quinta, 0 quanta ci fu, ouero diuiderlo, ^ com
partirlo fecondala data ragione. Sia adunque prima uno piano triangolare a b c. egli bifogna compartirlo in quella proportione , che ci fera data ouero leuargli quella parte , che ci fera propofia . Sia partito il lato h c. fecondo la da- ta proportione, che per hora fia compartito in tre parti in doppia proportione nel punto c. fi che la parte e c-fia doppia alla parte c \^.fia poi tirata una linea dal punto c. al punto a..di co, che la parte a c c. del triangulo a b c. ^ dop- pia alla parte a e b . del detto triangulo j, come dppare nella figura r. St adunque leuer ai dal trtangu lo abc. laparte abc. glthaueratU- uatounoter^o.
il jimigliante fi dichiara mi quadrato a b c d . con lafua parte a b e f . ^ fe nel quadrato abc à..fi tir ara la dia- gonale i dal punto a . al punto c . quella fe- ra tagliata dalla li^ ne a f e. nel punto g. in quella propor - t ione j nellaquale fe - rà diuife il quadra- to ^ i fuùi lati . per- che efiendofinel triarf gido ade. tirata la fine a g ^ • egualmen- te: e difiant e al lato de. me fegue, che i latifia- roo fiati compartiti in pnr opor tione , come s'è detto di fipra : cr piare nella figura a.
L9 ifiefo fi farà nel quadro della figuri
f K ì M A.
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slmilmente Jt dt-^ €hiara , che fe i lati del quddrato ^ o qua- dro ferdnno comparti ti in parti eguali, ^ da i punti delle diuifio niferanno tirate le li- . nee egualmente dìftan
ti a i lati 3 le linee par tiranno parimente gli Jpatìj del quadrato , 9 del quadro in parti eguali ì jpacij quadra ti come fi uede net quadrato a b c d. del- la figura /.
Dico di più, che fé la diagonale del quadrato fieràdiuifit in parti eguali, i^per li punti delle diuifioni fieranno tt* rate linee egualmente difianti a i lati del quadrato , quelle linee partiranno il campo del quadrato in/pacij quadrati, ^ eguali. Sia il quadrato ah ed. la c ut- diagonale fia à b. partita in quatro par ti nei punti e. f. g. Et fiano tirate le li- nee egualmente difianti a i lati per le diuijioni della diagonale, fi^no per une uerfo h eì. k ì\. mgn. egualmente'^ difianti a i lati a b. d c. ^ per l'altro^ fiano o e p. q f r. f g t. Dico, che quelle //-^ nee partir ano tlcampi> delquadrato , irt^ Jpdctj quadrati , ^ eguali : come fiue-^ de nella figura. 0, (^altrouesìprma^ todanoi,
/Re foprddette cù/e^^tftgmersl a ch^Jk il,Ì4iù del quadrato non fera partita in parti eguali»
con quellaragione , ^proportione fiera partit^i il quadrato dalle linee egualmente difianti, coti, (aquale fiera compartito il lato , ó' fie la dia- gonale fera diuifa , tirate le, linee egualmente^' difianti a ilati del quadrato per li punti deU le diuifione della diagonale jfimilmente y ^ campo del quadrato fiera compartito con le ifiefi fe linee , ^ con quella ragione ,. con laquar- le, fi diuiderà. il lato . co?ne nelld figura- i, fii uede nel qmdrato a b c 4. /• cui lati, Ia. diagonale fono diuifi in- parti difegtidli »■ per uno uerfiò dalle linee, ii p li o. I gq nt. ^ /^rZ^^/- tro dalie linee tp g è» J-, b.q ^. Efien4ù> anche par- tita la di^&md^ im tm. ptrtk inegu4k ne^k punti hg»
Lo ifiefis
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II
A
J> A T '- -.E
Lo-ifteJ^o adiuiene in quelle figure , lequaìi t^' dà geometri firn dette parallelogrammi , che ■per bora io chiamerò quadre cr fono fatte di linee parallele ^ hanno ilati eguali ma non gli anguli^ come e nella figura ^. Laquale e fé- gnata con leijlef e lettere , con le quali e fegna- to ti quadrato di fopr a .perche hìlaifiefa ra- 7^ W pone.
"^^n^Uc figure dette da gcometrìtrape'^e.che mi per hora chiameremo M enfile Jequali
fono quadre : ma di lati ^ anguli ineguali j ben- ché fi conchiuda lo tftefo , che di fopra (fiano le bafe loro partite in parti eguali cu eh difeguali ) nientedimeno ui hifognanó quefie codiiioni. cioè c he i lati y i quali ferrano le loro bafe , concorri- no in un punto (^le linee tirate dalla bAfa com- partita peruenghino tutte allo ifief^o punto é'fi- nalmète.che il quarto lato detta figura fia egual mente difiante alla hafa : come fi uede nella figura 4. douela menfolaì , ah ed. la cui hafa a b. e partita in tre parte eguali 0 difeguali y che fiano . I due lati à b. ^ a c. concorreno nel pun- to g. tirati da i punti efire?ni della hafa a b. l'ai tro lato\ che e ed. e egualmente difiante alla ha- fa .poi concorreno i raggi dalle diuifioni. della ha fa fatte nei punti c,^{.nel ptmto g. ^ forni dettiraggi Q^.^i^. Sia poitirataladiflgona le da. laquale fia tagliata dal raggio c^. in I. é.dalraggio £g.in n. & dalle diuifioni delladia gmaleper Ifia tirata r q. ^ pern. ^ o. egualmente diftanti alla bafi a b. ouero allato e ci. Dico.
tnno tra fe ^Ì. ' anche tra x k.
, , , ^ - w : feno parti della diaconale .
come altroue fi e dmoflrato .
louoglio per utile dei praticanti con uno filo diletteuole ef empio die chiarir e molte cofi dette di foprayér fare una ijperien^a nelle feguenti figure 1. 1(. Ljequalt dnnofir ano. chiaramente la jor\a de gli anguli s fotto t quali fi uedeno le cofe . Piglia la rh fura d uno palmo per^^empio. & hahhi una tauola dinan^ di quindeci . 0 uenti palmi per lunghe:^a . Io dico . che ponendoti all'occhio la detta mifura pm 0 meno uicma , ti parerà la miftra , hora maggiore . hora party bo- ra minore alla lunghe\z.a delia tauola . Se adunque uuoi uedere la mifi^ra minore della lungheZ- ^ della tauola . Sia per ef empio l'occhio ^.lamifura he. la lun^be\z,à della tauola^dc. nella fi-
che mnfiucda lofi?acio , che } tra la m fura , la lungheT^.a della ta:uGla y ma amc;^due le lun- ghe^e y Cloe ye.^ àQ.fiano come taluno ifiefso piano y come con diletto praticando ficonofie& di /opra lo h abbiamo acennatOy quando dicemmo ych e le figure mutano apparé'^ mutato l'occhio. Ma fi la mifiura fiera m altro fito y come nella figura k. poi , che l'hauerai accommodata. ella pa- rerà tanto grande y quanto }lo^ga la tauola perche gli efiremi della mfiira bc.^ dieftremi della lunghe^,a d ^. fimo uedut.i fitto uno ifiefso angulo . Ma quando la mifiura h^^.fu/ie pm ap- prefol occhio: (come fi uede netta figura L.) i raggiyi quali pa/eranno per gli efi remi della miCu- m ra b e.Ji allargheranno tanto y iche ufciranm fuori della lunghe^a della t augia , é- U M^^a hC' parerà maggiore della lunghezza d.^. • 1^
Douc
P A R . E
DOVE
SI DEVE
PONETE Voce H IO VII.
I ASCV NO, ilquaile hauerà comprefo le regote , é' ìfondamentifopra pofl"t,po tra fapere doue l'ochào fi h abbia a ponere commodamentej ^ quale effetto neucn ga a porlo più in un Imogo^che in maitre. Imperochefapcndofi^che leijlefe cofe ut cine, fi uedeno [otto amgulo maggiore ^é" te lontane fitto minore ,^che nel piano
fi hanno a poner e i termini della piramide del ueder e, fubito egli fa quefia confi- derationè praticandola in quefio modo . Sia l'occhio a . la cofit uedùta h c . la tamia, ouero termine doue fintfceno i raggi deluedere, àc.in una defrittione nel la figura i. Et fia l'occhio a . la cofit ucduta g h . // termine \.k . nella figura i. certo è j che he. per efi fere piuuicino allochio ,fi uedera maggiore j che g h. che e più lontano dall'oc- chio 3 c onfiegu e nt emente fiotto maggior angulo pare- rà bc. nel termine de. €he gh. nel termine ^k.
H
Oltra di quefio confide- Y^ndo lofi ac io jchee dalla cofit ueduta al termine » egli dirà : fie la ccfia uedu- ta^e nel termine , cioè fopra il piano j ella fi deficriuerà come giace , occuperà quelli fimiglianti luoghi , doue ella è pojid, ^ per o i perfetti,^ le piante fi for- mano ne i quadri fecondo il dritto pofiamento , toc camento della cofia ueduta con efii loro.
K
Ma doue il tèrmine e più lontano ([perche i r4ggi deluedere nella lontananza della cofia uedu- ta dal termine fi allargano ) gli eftrermi della piramide comprenderanno maggme (pacto 3 che fie il termine 3 0 piano j che fi dica yfufie? uicino alla cofia ueduta, come fi uede per la figura 3 . doue a. le l'occhio^ de. il termine più uiccim alla cofia uedta . fg. il termine più lontano , i raggi abd. ^ a ce. pigliano minor e Jp accio nel termine ^0 piano uic ino a he. che i raggi abf. ^ ^cg. nel termine fg.
^ Similmente
js?. similmente u'óleMò uUereMdtàfa^piuàltd^hifogna pùmrèiÌ4ifderef0mr4ggìfik Mt, é'cofinel reftante . Regolando/I adunque conle predette ragionile diftanT^ dall'occhio alla c^d ueduta , ^ dalla cofi ueduta al pidnù > ^ confiderandofi le qualità j ouero il Jìto de i raggi del uèdere y l'huo?no,giudiciofo fonerà l'occhio ^ doue gli parerà più commodo a fare lo effetto del la ueduta j che egli difidera^ ^ e cofk degna di co^deratione per fciogliere molte dubitationì.
BELLA DISTANZA.
Cap. FUI.
A dijian'^ fregola dalla grandezza del quadro o piano douefi difegna. Per- che quanto ferà maggiore il quadro ^ tanto maggiore efer deue la diftanT^ , Perche, douendof fare nel piano le cofe proportionate di grande^{za al pia- no , é- quando Jì riguarda una cofa grande fi' h uomo fi ritira da lontano ^pe- ro a maggior piano fi richiede maggior diftanT^ . Laqual diftanT^ péro de- ue eferaccommodata ■, ne più, ne meno di quanto fi può uedere egualmente tutta lacofa ychefi^uede. ^andoadunque fia iCheegUfirapprefentiunacofaallocchio per- ^ jettamenteallhoraycheellafiuedefòt
tola egualità de gli anguli maggiori caufati da ir aggi del uedere X fi nel- la b afa, come nella punta, che ter- mina ne W occhio j uoglio di quèfia co- fa darne ef empio euidente chia- ro . Sia adunque l'occhio a . la co- fa ueduta c d . Non e dubbio , che e maggiore iangulo a . che f angula € , per quello , che dimofir^ Eucli- de nella decimaottaua del primo li- bro . Et non efendo eguale i {cà* me s'è detto , ) la cofa ueduta mn potrà efere perfettamente com^- prefa dal uedere i come e nella fi- gura 4, ' Similmente fe dalla diflanT^^ h, fera ueduta la quantità ef. perche lo angulo e. fitrouaef fer maggiore , che! angulo b. la quantità ef. non fi comprenderà perfettamente , perche U egualità degli anguli fa uedere le cofe egualmente, quiui gli anguli, fono ineguali, come fi ue- j de nella figura 5 . Pero facemlofi la diJlanT^ fiotto anguli eguali , egli fi uederà la cofit' perfetta mmte^ )ilche come fi faccia^ mofirerò qui apprefio nella figura 6.
C % Siati
f j it r
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SiàUaaadro zhcA.tadidgónaU^Ù. l'alteT^adeW occhio cf. ladiflarP^ili^ ^f'^^ff'^.
■ ■ , tdqu4nto &poJioii
ped^ delcompafoin Ai. ^ tirato d circolo da h<t mrfo ^^. facciaficadere a piombo ini . la lirica gf. ^il punto g.ter- inini nella circonferen- fi che la Imea gf . Sa egualmente diftante alla linea bd. ^. in modo he le linee g f^ hi:, formino l'angu lo giufio nel funto iV: onde efendo angulo
giuftV j é'- ^^^^^ ^ f g . comprefi dal
circolo egualt j l'arfgulo
nella difan\a ^i.fèra
eguale allo angulo g.
Adunque h^- /^^^^ l^ pu giuftadtflan^a.che fpof a pigliare dal det- to quadro .
C\ia fe il punto dell'occhio fufe fermato in altra parte della diagonale > dico, che la di- ftanT^ fi trouerà a queflo modo . Sta ti quadro a b c d . ilqualeh abbia pofto l'occhio fipr a iadtagohak in dtuerfi punti . a. e. f. g. h. ì. d. Dico > che fe il puntoì pofto in à. fa fòpra lo Jpacio ad. tirato il circolo al punto m. ilquale fa lo eftremo della linea ed. continuata j ^f a la linea Ahr . tratta dal_ punto d. alla circonferenza , dal punto r. al punto ni; fa tirata la Imea rm. (jrf formerà il triangulo d mr . ijr efendo dr. egua- kà^^^-gliangulim. e^. r. fer anno eguali , f^ofi la diftan'\a dm. ila più commoda y che efer pofiftando l'occhio nel punto d .
Similmente fe l' occhio fuf ? nel punto i v fi farà il eii^cold fop'ra ì. . "^dh f>acio v'i^ fi
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^unto h. M a fi. l'occhio
P K I M
l'occhio fiife nel funto a . fia^fopra, lo fatto Ù circo lo fpacia ad. ^ fi a 2 d q . fi ano poi tirate le linee a c. ^l punto 2 . 0- a b. al punto q . lequa, lij> perche fino dal centro alla circon- ferenT^ d'uno cir- colo ijtefìo j feran- no eguali j ^ fie poi fi tir afe una linea, dal 2 . al Q^.fifor- ?narebbe il trian- gulo aqz. ^per^ che Az. ^ aq. fono eguali , anche glianguli z. ^(j. fono eguali. Adon- que la debita dt-~ fian\afcrà nel pun to q . efsendo l'oc- chio nel punto a
xMa fi l'occhio fuf e in c. fia centro ^. é'l/}acio ed. ^ formato il circolo pdy. é^'ti- rate le linee Còme dffopr a , ^ form'atoM triangulo e p y . con le linee ep . c y . 0- p y // tro~ nera laueradifl-àn^ nel punto ^. fiaudo l'occhio nel punto e. v
• 'Finalmente fi l'occhio firà in f . con lo fpacio f d. fopral centro f . fatto il circolo , tira ^ ùUlmee ,io . ^ ox. df firmato il triangulo (xo. fi trouerf U uera diflanka efTere net punto o. come fi uede nella figur^ T . Io ho lafiiatoU linee qz. py. ox. per non fare confufione nella^'figùra . ' ' fi ^
• . CMa perch-^e^li piò atmenire , che il punto non fia fiermato all'incontro della diaTonale > m^ Mltroue : pero c necefiario di dimoftjare in che modo fihabbia à pigliare la debita dtflanXa Sia adunqui'dat&il quadrato à.hcà,nelqualefiano le diagonali ad. é'^c.^^l'occhiofiia alfm contro del punto f. dr per lofiasio i'h. centro ifia tirata la ir conferenza i b \xf.am poi tirate le
chioma, come fuedenetla figHra.^.confimilimodifipotra pre^^^^
ri!^.&aj:commffdateJt/lan\£yfi^eglifiuorrà ufiar£dilpgen\a ,delche ne nafceramolta ^Tratta nelU PerJpettiue. ' 7: ^
a fe il quadro fufie più alto dell' ochio, li come alcuna fiata e hec e farlo (ilche ha fatt9 il Mante gna con molto artificio in Padoua nella fiaaytftia degli H eremitani) doue , per- fchèpcchio de riguAr danti è più bafio del qua ^ ^drO:^cifi>noMte figure Jequalinqn fiuede^ : m da^ i pi.edi , perche il piam doue fi fierina- no kia/vo^pde . pero bifigna fare in quifio
Siati
PARTE
Sia ti quadro a b c à. fitto' Iquale ne fia aggiunto un'altro della ifiep larghe:{&a, chejìa c d e f. la cui linea c f. fia ad angulo giufto con l' occhio: fia pi tirata La diagonale af. ^centro f. (facto ra ìtatirata la linea circolare zhg.e/endo continuatala linea àh.final punto nella circon- jerenKa.&lalinea ti.alpunto fia poi tirata la linea h^. laquale chiuder hi triangulo fhg. ^/^ . .r../. Il ^ « niy,n(>fTijAi. .i^' ter le Cotradetteraiioni AaueradidanXa di uedere
■iL . . _ ^
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i
^>ren{a la linea ti. al punto ^.fiapot tirata la linea ng. Laquai^ecmuaerautriangt il amuli delquale h. & %. fono eguali . & per le fopr adette ragioni , U uera dilfanT^ a i quadro ^hcà, fera U punto ^. efendo l'occhio nel punto ì, come jiuede nella fgura^.
LMa fe l'occhio fufe di fotto altro- ue i che all'incontro del punto f. come farebbe nel punto k . egli fi tirerà dal punto k . al punto n, la linea kz. é' fecondo quel- lo Jpacio fi farà la linea circolare nel centro k . dal qua- le > ^^^fi h • & uerfo g. fi tire- ranno le linee k h . ^ /^g. che faran- no lo angulo giufio nel punto k . ti- rata poi la linea. hg. fi chiuderà 4I trtanguk k\\^. di cui gli anguli h .
& % ' fèUnm è', gualp . ér g- fi^K ^ punto uero de^a difidn^ . come fi ueM\ mila figu-:^ ■ ra.Kà,
Con quefiaragione adunque fi hanno a formare ledifianT^t altrimenti ilpittore può errare
grandemente , errando nel porre -^U punto della diftan\a . perche egli ir ebbe far ueder e alcuna cofa j làq^a^ J- le per la ragione della diftanT^ no^fis douerebhe ueder e , pero e molto d'a- uertire a quefto . Come per ef empio nella figura 11. fia deferiti a una tor- re j la cui difian^ dall'occhio fia b c. lafommiià fiat, figli anguli c. & e- feranno eguali, molto bene fi potrà ue- der e la fommità della torre . Ma fe l'occhio fufe pofio nella difianT^ bd. fi gli anguli d. e- »on faranno eguali y non fi potrà ueder e la fommi- tà delia torre, perche l'angnlo , che
fa il
È
PRIMA,
^ fìilraggìoin f.eimjedito. Come fi uede nella figura ii. Et tanto fiia detto d'intorno alla re- golatione delle difian"e .
DI CHI GRANDEZZA SI DEONO FARE LE figure nel quadro . Cap. Villi.
A margior figura, che e quella Jaqu ale e più uicina all' occhio, fi poneefiendo il quadro gravide, non occupato da qualche edtfxio , chela ragione uolefie» che la figura fu/ minore del muo , fi pone (dico) tanto grande quanto e iluiuo \ Ma le altre figure più lontane , fi hanno a fare ,fiecondo che l'arte ci dimoftrerà, praticando . Bifiogna adunque proportionare le figure agli edificij quando ci fio- no: per non cadere in quello errore, nelquale cadeno molti, i quali, non int en- demia fiorT^ della Perfietttua , facendo le figure più grandi, chele porte, é- lecolonne de gli edificii uicini ^cofiamdtoinetta ,c Jgarbata ,0- falfia . Egli puh aunenire , che le figure fi deb- biano fiare maggiori del uiuo ,accioche filano bene intefie, come fieil quadro fiufie molto alto dal- l'occhio . Ma guardarfi bifiogna di non far e a uoglia ér a parere , perche bene fpefio non fi ri- porta quella lode , che fi difiidera . Come adun- que eglifipofiaprouedere al bifiogno diro qui ap- preso. Sia il quadro pofio inalteT^a zhcd. la cui difianT^ fia ^g-fia la perfetta alt eT^
^ d'una figura pofia fiotto efio quadro al pia- no io. Sia per centro ^ . (^ifpacio tirata la linea circulare f g /é . ^ h 'abbia ad efier nel punto m . la pianta della figura . Sia poi tira- ta la linea m e . che taglierà la linea circulare nel punto h. dal punto \\. uerfio k.fia pofia la quantità f g . ci^'fia quella h i .poi dal centro c. per lo punto Ifia tiratala linea al quadro nel punto 1 - Efiendo adunque h i. fopra U linea circulare tanto , quanto ^ g. fer- mandofit h i . nel quadro in mi. dico , che quan to fera la linea m 1 . nel quadro , tanto fi deue fare grande la figura , uolendo che dal punto c. la fi dimoflri tanto grande , quanto è la figura piano . Ilche e degno di auuertimento itello Angelo dorato fopra la torre di S. Marco inVmetia , con quefie ragioni, doue egli fi uede difiintamente , é- pare grande, come e il naturale, é- con qu efio artificio Alberto Durerò fiece lo inftrumento di proportionare le lettere, ouero le figure pofte nelle colonne, o in altre alte'^z.e. Co- me s edetto al capo quinto alla figura i. ér qui fila fine alla prima parte, laquale tratta de i principìj , regole , ^ fondamenti della Ferfiettiua .
25
A
PARTE FECONDA
Nellaquale fi tratta della Ichnographia , cioè defcrittione delle piante .
PRATICA DI DESCRIVERE LE FIGVRE dirnoltianguli in uno circolo. Gap. /.
RIMA, cheiouegni a defiriuerele piante, enecef^ario praticare il modo di defiriuere le figure dette polygonie , cioè dimoiti anguli, <^ molti lati eguali cir confi ritte dal circolo. La defcrittione adunque del triangulo e congiunta con la deficrittione della figura di fiei lati , ^ anguli eguali . Et e facile imperoche fiatto ti circolo con la iftefi^a apri^ tura del compaio, fi diuide la circofifieren'^a in fiei parti eguali : per quefta cagione il compafio fi fiuole chiamare la fefta, imperoche egli entra fiei uolte nella circonfiìren'^ del circolo intiero fatto dafie. Se adunque congiugnerai con linee tutte le fiei parti della circonferenT^ . haueraiinefiadeficrittola figura difei lati, ^fiei anguU eguali, cornee nella figura 13. fie tralaficierai uno punto dimeno , cr tirerai le linee nella detta circonfieren'^ahauerai il tri- angulo di lati ^ anguli eguali come fiiuede nella figura 1 2 .
La fioperficiequadrangularedettatetragona fi fia ponendo due linee in croce a fiquadra, dr facendo il centro nello tncrocciamento , dr allargando il compafio uerfio i capi di quelle linee, ^ quanto fi uuole , dr girandolo a torno fi ritroua il circolo diuifiò in quattro parti eguali ,é'fiecof» linee legerai ciajcuna quarta , hauenti la fioperficie quadrata , come e nella figura I4.
Lafioperficie di cinque anguli , dr iati eguali detta pentagona , f fuole fiore in molti modi, de i quali , ne eleggero uno fi'acile ,ilqude fi fa conunaapritur adi compafi^o . Sta adunque la li^ nea a b. uno de i lati della figura pmtagona . Apri la fefta alla lunghe"^ di quella, fia^ lo incrOcciame?m delle circonferenze di fiópram c. é-d'i fiotto m d. legapoi ed. con una li. nea . ^ Et reftando Ufiefia aperta come prima fa centro d. dr tirerai uno circolo , Hquale di ne- cefiità conueniràpajìare per li centri dei circoli incrocciati, cioè per a. dr per b . dr taglieri quelli circoli di [òtto ne t punti e.dri dr taglierà anche la linea c d. nel punto g. Sia poi tira^ fauna linea dal fiegno e. chepafiandoper ^.perueuga alla circonferenza del circolo hcàc.nelfie jr gno l Finalmente fiano tirate le linee zi. dr ^h- & haueremo tre lati della figura propofita: drglialtridue fi faranno a quefio modo . Nonmoueraila fefta ma pofta fiopraifiegni h. dr l toglierai i circoli fatti fiopra la linea de. prima allengata , & poftoim il termine nel fiegno k,
D hauerai
%6> jP A R T JB
l}meratgti4trtduelati,come fi uede nella figura 15-
CM.a fe uorrai hauere U. figura di qfdìndeci lati.é' ^^g^^i eguali .farai mm cìrcolo in cjuel Q lo fonerai uno lato del trtangulo .che fia ab. ^ nello iftefio circolo foni ti lato del pentagono , che fia a c, partirai lo Jpacio . che etra c. ^ b. in due parti eguali . una di quelle congiunta con una linea ti darà la detta foperficie di quindeci latitò' ^riguli egualhcome ti moftra la figura \ 6.
Della figura , 0 foperficie eptagona ^ cioè di fette lati , anguli eguali , j2 troua un modo . il- quale e commune alla defcrittione di tutte le foperficie di lati , ér anguli eguali , Partirai la. circonferenza dall' angulo giujio comprefa in fette parti eguali , é' 1^ ^o^da , che piglia l'arco del le quattro delle fette feti lato della detta foperficie. come fi uede nella figura 17. Bt quefla re- gula e uniuerfale a tutte le figure di lati anguli eguali . pure che tu dim-da la circonferenza comprefa dall' angulo giufto m tante parti . in quante ricerca la figura . che tu uuoi fare . cioè fi uuoi la triangulare .partirai l' angulo giufto m tre parti. ^ pigliane quattri di quelle . fi uuoi la ^ quadragulare .partirai in quattro la circonferenza comprefa dall' angulo giufio . p^^fi t^^tte quattro faranno uno lato della quadrangulare . fe uuoi di cinque , dimdi lo ifi efio angulo in cin^ que .pigliane quattro per uno lato della foperficie pentagona . Il fimile farai nelle altre foper- ficie .é'^e cofia degna di auuertimento . Come nel noftro latino hauemo pofto.
Balle détte cofie può efier manifefto . come con una apritura di compafo egli fi pof^a fiopra una data linea terminata defcriuerela foperficie di tre . di quattro . di ctnque. difei . é' di fette la-^ fi .(^ anguli eguali'
Sia la data linea terminata a b. fopra laquale . per la prima del primo di Euclide . fi far a il tri angulo di lati . é' ^^g^li eguali . Sopra la iftefia fi forma la foperficie quadrata per gli in- ^ crocciamenti de i circoli . come s'è detto di fopra: ^-fiff^^^i^ente farai la figura difei. di fette lati anguli eguali . Perche la ragione delle predette figure e tale, che ì angulo del triangulo di lati eguali è come tre a due. rif}etto all' angulo giufto .percioche ifuoitre anguli fono eguali a due anguli giufti . L' angulo del q?4adrato e eguale al giufto . perche i quattro anguli firn fono eguali a quattro anguli giufti . l' angulo del pentagono e come fei a cinque . perche ifuoi cinque anguli fono eguali a fei anguli giufti . Lo angulo dello exagono fi ha come otto a fet : & l: angulo dello epagonocomediecta fette, come fi uede nella figura 18.
K^lberto Durerò pone la foperficie di noue lati . é' anguli in quefto modo . Egli f art e ur^ ctr- colo . il cui centro e a. m fiei parti eguali . é' fìg^^ ^^^^^ circonferenza t principi^ de ilati d'uno triangulo con le lettere bcd. ^ dal figno b. al centro a. egli tira la linea ba. laquale fi diuide ^ in tre parti coni numeri i. 2. figm ^. cheì più uicino al centro a. tagliala linea ba. ad a ngu li giufti con la linea e t. trauerfa . Dapoi con la iftefia apritura del compafio . pofto l'uno piede nei punti tralafciati nel triangulo . che erano nella circonferenza . tirerà poi le cir con- ferenze de i circoli f n'alia circonferenZa del primo circolo . J^efte tagleranno la linea e f. la- quale refter a uno lato della figura di noue anguli. é'^^t^^g^^^^^ ^f^^^^ d'intorno al circolo mmo^ re.doue con l'opera dell a riga fi potrà partire la circonferenZa del circolomaggioreinnoue par ti. & formare la foperficte enneagona: cioè di noue anguli. cjr lati egnali: come e nella figura ip.
La foperficie di undici lati . ^ anguli eguali fi formerà pigliandofi la quarta . é'ia ottaua parte di quella quarta del diametro di quel circola, nel quale uorrai fare la detta foperficie. cioè di trentadue parti del diametro noue fono per uno lato di quella foperficie . che farà defirit ta .come nella figura ^o. fii uede . . .. X
CMa fe tu uorrai moltiplicar e ilati delle dette figure raddoppiandogli . come di una di fei farne una di dodici, lo potrai fare ageuolmente partendo ogni arco . per loincrocciamento de i circoli in due parti eguali . attirando al fegno delle diuifiom le linee . come fi uede nella figura fipr adetta fegnata io. doue l'arco trappofta tra i. 2. e partito m due parti nel figno a. fi pirerat la ìir^a dal punto i. al punto 2. haucraiuno lato della foperficie detta raddoppiata . "Allora non è luogo, che fi ragioni di quelle foperficie. lequahnon fono di lati, ne di anguli eguali perche fono irregulari . e ft anno neW arbitrio del pittore . Ben diro, cheneitrianguli. ^ ne i quadrati, fe dalmeZz^oéral me'Zzo dei loro latifi tireranno linee nella parte di dentro . fi M farannoftmigltanti figure ycome appare chiaramente nelle figure 21. c^22. Et fie prolungherai
i lati delle foperficie di cinque . di fei .fette ér ptn^ lati . eccetto ti triangulo . & quadrato che
non
S B C 0 N I> J,
^ non fanno lo effètto , come fi uede nelle fìre^e 2 ? . ^ farai fimìglUnti figure ,eome appare nelle figure . 25. ^6. 27. 28. %9- ì^'l(2quali ér S dentro > ^ di fuoripofsono efsere ftmiglianti jfe tirerai le ^^^^^ dagli anguli a gli arguii j da i lati à i lati /(^dai lati agli anguli .
KMOnO BI DESCRIVERE LE PIANTE. Cap. II.
EG7 IT AN T>0 dim ìfirero il nodo di fare le piange di quelle co fi > le quali fi hm/io a ponere in Perjpettsua , perche fen^t la Ichnographia , ctoì difegno bajso e piano ddle cofe ^ non fi pub defcriuere alcrma figura ^ efiendo che ogni cofia eleuatd nafce daUa pianta comi t albero nafie dalla radice . il piano adunqueì ouerodl fioperficie , come farebbe di triangulo j di quadrato 0 d'altra forma foperfidale j di motti anguli , & di m)ltt lati, é* an;h: cirsu'are ouero di qualche corpo , I> % regularej
PARTE
G
H
re^ùiare, 0 mr'eguUre > che egli fi fia . Se e di fiperjicie , foco hi fogna affaticarfi : tni^ proche égli fi forma uno quadro perfetto ^ nel quale fi difegna la ' foperficie giufta y come fi e praticato nel capitolò precedente jdalquale anche nafcela occafione di compartire i pauimen: ti j che fi fanno di pietre in ?nolte figure piane ^ nel che bifogna fapere molto bene adoperare il compafio j, la riga , (jr la /quadra . C^a diquefij) non uoglio trattarne in quefio luogo j efs'endofi da molti altri diligentemente trattato tra gli altrui Durerò huomo exc cliente infegna a figurare i pauimetiti di triangulhquadrati.pentagoni^é' efiagoni.ér d altre figure Ji più anguli ^ di più lati yofie y ò' foglie y ^ groppi y etafielli come fi conuiene y alqUale io rimando chi legge . Ma la importanza e di fare le piante di molti corpiyi quali da piede fino d'una gran- de%z>ay ^ poi al^andofii in diuerfe parti hanno mi/iori, é' maggiori contorni y c jporti y e ri- trattioniy lequali tutte cofe hanno da efiere figurate nelpiano:Perche egli e facile far e la pianta di uno corpo cubo y& d'altri corpi y i quali hanno il loro piano di fiotto eguale al piano difiopra, ci può bafiare per porli in pianta y formarne fiolament e la foperficie di fiotto, di quella gran deT^a y che ci parerà. Ma fi un corpo hauefie il fiuo piano di fiotto giufio é' eguale y ma difòpra hauefie uno rifialimento y oucro un'orlo j o cornice che fiportafie y come hanno i piedifiili delle colonne : bifignerebbe formandone la pianta yfiare prima uno quadrato della grande'^a del piano di fiotto y dapoi farne de gli altri maggiori y o minori fiec ondo i contorni dei rifialimenti y orli y cornici y ^ altri memhrelli y che uifiufsero . In fiommaj chi uuole formare la pianta di qua lunque corpo y hifiognaimaginarfi yche da tutti ifiuoi contorni maggioriyé"i^inori y cadino li- nee a piombo fiopra'l piano y che ci fierueper teUycarta ytauola od'altro y fopralquale hauemo à fare la pianta del propofto corpo. Et pero tra tutte le piante difficili y difficillima e la pian- ta del corpo humano per la moltitudine y ìdiuerfi,ta dei contorni di tutte le parti fiue. Poi le piante de i capitelli Ionico y Corinthio come fi uedera .
^j4anàò adunque t ime le fioperficie y ouero contorni di fioprarifiondeno ad anguli giufii con le fioperficie di fiotto y fi fia la pianta y che e una fioperficie di tutte le foperficie j pero bifiogna ^ con fiamma diligenT^ mifiur are ogni parte yì traportarla nel piano ^ altrimenti noìn fi potrebbe porre cofa alcuna in Perfiettiua y come ne ifieguenti capi ci fiera manifefio . ,
Tutte le piante adunjue fi delle fioperficie y come dei corpi y fi difiegnano nei loro (Quadrati per^
jfetti a quefio moddy che dd ogni angulo di quelle fi tira- no linee a fiquadra y cioè utd angulo giufio y fi nella linea inferiore del quadrato y co- me nel lato defirOyO fimifiroy che non import a > Sia adun- que nel quadrato d e f g. deficritta la fioperficie tridn- gulare a b c. (ir da gli an- guli di quella fiano tirate le linee ad anguli giufii _g fipraillato f e. di fitto
fiano quelle al. b i. ^ c k . similmente da gli ifiefsi anguli fiano tirate al lato de^ro de. le linee a fiquadrx a m . b n . ^ c o. Dico che a quefio modo fi hauera deficritta la fioper- ficie triangulare nel qua- drato : come appare nella M figura 3 i .
simigliaste
S E C O K D A. S'migliante modo fiufd nella figura quadrata, .^ melle altre^ figure .
jr
sia adunque il quadrato perfetto e f ^ h.nel quale fi dejcriua la foperfi eie quadrata ab nà.fiam tirate le linee da ciafcuno angulo della detta (hperficie a fqua- dra Jòfra il lato di fitto j é'fi^ no zi. b k, ci. dm. Jtano anche tirate lelineeda gliifiefi fi anguli a fiqua-* dra al lato defiro %• che fiano a n .
<:he fi hauera il perfetto della fo-^ perfide qnadrata» i' Ome appare nella figura 52.
fjMa fe UJòperficie quadrata fufse pofia nelmeT^ dlel quadrato fùo in modo^ che tutti i
fuoi anguli lati ri-^ fiondefs ero a gli angu- li 3 ca lati del fuo qua- drato j (jr fufsero egual mente difianti da ogni lato j cibafierebhe una linea, che andafse al lato inferiore , ^ una al lato defiro . come fi uede nella figura nel quadrato e f g h . dall'angulo d. della Jq perfide qu^^drata a[> ed. efiere tirata la li—: nea d i . laquale ferue anche al punto b. per lo lato di fiotto . fimil'-' mente la linea d k , mandata al lato defiro laquale Jerue anche al punto c. Et quefio adi- mene i perche gli angu
li della fìperficie quadrata a b c d . rijpondeno dritt amenti e con eguale diftan^a a gli anguli del Quadro e fg h . Ma perche cagione fiano tratte qmelle linee da gli anguli delle foperfi- eie defiritte a i lati del quadrato , chiaramente fi f aperà) nella pratica : perche fono rincon- tri da e fiere ripofli nei quadri di Per/pettiua , che fichiamiano dminuti ,0 digradati , fi come ifopràdcttifi chiamano i perfetti ^ dai quali nafceno i dimnnuti » 0 digradati .
Similmente
^ o
F A R T M
Similmenu net perfetto ilk\m , JìJefirmrà usm foperjick dì otto lati >&anguli
cdctgh. doue da gli annuii g. II. t.fi uìene alhafo con le linee, e q, g p . h n. ^al lato de- jiro ^m. con le linee e r. g f. ^ li o . com e uede nella figura q^.
mefte l^nee pofono (?ajtare , perche glian- guli della detta foperfi- eie) che fono h g c.fino r egola de gli altri , a i quali gli oppofii fina egtiali j ^ egf^almente diftanti da itati del per fettOj come praticando chiaramente fi comfi-e rà . Et quefio fi ofitrua non fiolamente nelle fò- perfide angulari , ma anche nei circoli 3 ^ altri piani ^ come fi di-
t^dapot. In fimma tutte lefioperficie,^pìantepoftènéiperfetti, fecondo quefi a uìadi pmi- tare j fono da efiere regolate conio tirare da gli angulio dalle parti loro le linee allato di fiotto , ^ al lato deliro fiecondo che sì dimofirato nelle fioprapofie figure .perche fiono rincontri, efiegni per trapportare dal perfetto nel digradato con la debita proporttone.
tJMOBO DI DIGRADARE VNO A S S I G N AT 0 PIANO nel propofio termine fiecondo l'occhio jdr la difian'^. Gap. II J.
0 RM ATO il perfetto ^ ef" p^fta in quello la pianta ^che fituuole ponere in Per- jpettiua , fiegmta la digradatione del perfettto . llche .acùioche più ageuolmen- te fi fiaccia^ enecefario difiapcre come fit digrada uno afignato piano nel pò- fio termine fecondo l'occhio la difian{a . Sta adunque il piano afiignato b c . da efier digradato nel pofio termine b. Secondo la dijlan^ bd. (gl'occhio a. fi a prolongato il piano b c. al punto à.fopralquale cada una linea dall' oc hio a, ad an guligiufti .fiimilmente ne cada un altra nel termine h. dal punto f. pure ad anguli gufiti Jacpua-.
K
kfia rb . fia poi tirata una Itmea dall'occhio a . al punto q. che e il fine del piano bc. ^ fia quel- la cji.dico chela linea ca. mgiHeràin e. la linea bf. ^ che fiera il piano bc. digradato
fecondo
SECONDA.
3^
fecondo l'occhio ^é'U diJìanT^ . perchefe tener emo a] memoria i pr incipit dati di /òpra ^ confef faremo y che tanto grande ci parerà b Q.q?4anto bc. perche tirando la linea a b._/^ farà il triangolo a b c . ilquate ha due bafe cioè b e . ^ b c. op^ofte ad uno tftefo angulo . Et pero fi rapprefent eranno all'occhio eguali . Et a quefto modo fera digradato il piano b c . nel termine b. con la linea b c . fecondo l'occhio j^la diflan\a , come appare nella figura P.
CMODO DI RIDrRRE IN AD R 0
il piano digradato . Cap. II II.
0 R A fe uolemo ridurre in quadro il piano digradato 3 faremo a quefio modo . Sia la linea c\,( come nella precedente figura ) diuifa nel punto ouero termine . ^cada nel punto b . la linea fb . della quantità del piano bc. Sia l'occhio A. nella fua difian^ j altera a fquadra fipra à. Cadafimilmente fopra c. adanguli giufit la linea gc. della lunghe'^a del piano b c • é^dal punto g. al punto f. fia tirata la linea gf. eguale ^ ^ egualmente difiante al piano bc. Dicoche fin hora fi hà il piano ridotto in quadro perfetto jtlquale fierà bcf g. ^quefto qua- dro deue efiere digradato . ilchefi farà a quefio modo .
Siano tirati all'occhio da i punti c. ^ g. / raggi, i quali (ìano cA.(^ g A. J^efii raggi diui- deranno b F. in due punti, perche il raggio g A. diuiderà h£. in h. ^ il raggio cA .in E. Di- co che E. fi rapprefenta all'occhio più alto che h. perche A. efioprafiante ad E.(^\i. fi raprefen ta più bafio 3 che i .perche A. e più bafio y che f . come da i principij pofii nella prima parte
fi e potuto comprendere . dico anche che \>E. appare nel termine poflo eguale a bc & Eh.ap pare nel detto termine eguale az^.perlafioprapofiadichiaratione . Et bf. appare per la me- depna eguale a ì^. Ciano adunque tirati ir aggi At Ah. dall'occhio A . Dico che haueremo tre trianguli y ciaf uno con due bafe . lltriangulo Ahc. ha le due bafe j bc. ^ b£. // trian gulo Acg. hàleduebafe gc. ^ hE. (Ir il triangulo A g ha le due bafe fg. fb. ^iui <P per le cofe antedette lab afa b B . pare eguale alla bafa b c. perche fono fitto lo i fi efio angulo , (^la baf^t E\\. perlaifiefia ragione , pare eguale alla bafia cg. ^la bafa 'th. . pare eguale alla bafa g. Fin borami hauemo la digradai igni di tre piani- del quadro , perche bj?. di^
grada
51
PARTE
fie uì e il perfetto b c f g . termine b f . ^ il quadro digradato b c fg. con la fu a altera , (gl'occhio fuori di /quadra ^ la fuadiftan\a. hD . Sogliono i Perjpettiui chiamare l'alteT^a. dell'occhio or i'^nt e . Et trasportando l'altera dell occhio j cuero l'occhio Jì nel me'^o ^ ó" ^ fquadra , come fuori difquadra ^ fempre met- teno l'occhio in una medefima altera j di mo- do :>ch e l'occhio primOj^ l'occhio trasportato è in una linea dritta 3 detta Une a ori^ontale . come nella fgura s 6. la linea a A .
G
grada il piano h c. Eh. digrada cg. ^ fh. digrada fg. é' quella ragione 3 0 comparatio- he e da Ah. a ^E . che e dà de. ahc quella mede fima e da Eh. a cg. che e da AE . ad Ac.(^ quella proportione ì da h E. ad ih. mfieme a cg. che e da Ag.ad b g . quando le di- Jlan^ 3 le cofe fono in una proportione coni' alt c'^a dell'occhio alla coja digradata ìfen^a dubbio la digradatane evagioneuole ^ proportionata . Nora per ferrare il quadro digrada to , faraiinquefto modo . Eira dall'occhio A. una linea interminata egualmente difante alla linea àc. Dapoi partirai he. egualmente nel punto ì. ^ fopra i. cada ad anguli giuftì dalla linea interminata lalinea ^ì. Similmente dal punto E. tir a una linea egualmente difl ante a bc che tagli cg. nel punto k . poi dal punto a. al^unto b. tirerai una linea ^ che tagli Ek . in à. . jimilmente dal punto a. al punto c. tirerai una linea , chetagli E k. nel punto e. A que- j(0 modo hauerai ridotto in quadro il piano digradato j ilquale e he de. ér uedifi la proua fe Et
. e eguale a db. che appare tanto qnanto 0 fimiglia cg . perche e quella proportione da ab. ad ad. cheì da ac. ad a£. ^ quella medefima proportione e da dea bc che e da e h. a c g . efendo p^oportionali fono 0 eguali 0 fmilt : ma fino eguali 3 perche ponemo h c . del- tuno eguale a b c. dell'altro .
(JMa fe dimanderai perche cagione fi ha ripportato l'occhio nel me^o . ri/pondo 3 perche egli e più conueniente a porlo nelmeT^o 3 perche meglio fi uedeno le cofe in Perjpettiua fi an- dò l'occhio a fquadra 3 che fuori difquadra. Ma bene fi può porre l'occhio doue ci piace , non pafando i termini 3 come fi dira poi j ^ doue lo ponerai 3 uenirà nella iji-ef a proportione come appare nella fi- gura 36. doue l'occhio epofio fuori di 5 j quadra il refi ante fta ne ifuoi ter- mini già detti, nella figura J5. do--
DIVISIONE BEL c^V A D RO fecondo il perfetto .
DIGRADATO Cap. V.
01 che s'è digradato il piano dal perfetto . Egli e necefario di fapere 3 come egli fi compartifia fecondo le diufioni del perfetto 3 & come in quello fi pof a M digradare ogni pianta . Oltra di quefio 3 come fi pof a aggiugnere 3. 0 leuare 3 0 al\are il quadro digradato . Ilche ci fera facUe per le cofe nel VI. capo
della
S È C Ó N D A,
qua ilperfem ab e f. ^ fimUmentefM il digradato a b e f . Jìam tirate le diagonali nell'uno, é* nell'altro quadro , chefiano h-^. par tifi aft poi ( per efs empio) il perfetto in parti cin'iue i li g . bifigna nel digradato riportare le dimfioni del perfetto, tira adunque dai punti del perfèt- ro giii^ . fatti nella linea ab . commune all'uno ^ l'altro quadro , tir a dico le linee al pun tó a. ch'e e poflo per l'occhio comefiuede nella -figura 57. Et fe le diuifioni del perfetto fi ranno eguali i anche le diuifiom del digradato feranno eguali y fi difeguali j difeguali .
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perche nel cap. VI. fopràdetto hauemo diuifo il perfetto in foperfcie finili , pero egli fi potrà fare lo ifle^o nel quadro digradato j fera la ifi efs a ragione di proportione . Sia adunque il perfètto , ^ il digradato rijpondente ^cdef. cdfe. fa poi partito il perfetto m tante foperfcie fmiglianti j come fiuede nella figura 3 8 . riporta all'occhio a . tutte lediui- foni della linea de. che fono c. 11. q. m. d. quefte linee , lequali fono riportate al- l'occhio a . tagliano la linea f e . del digradato parti fimili della linea c d . commune all'uno j ^ l'altro quadro . che fino i . p . t . 2 , ^fi uuoi riportare dal perfetto nel digra dato le linee trafuerfali yx. rf. no. kì. fi come nel perfetto le facefti pafeare per li ta-^ gli della diagonale j cofi farai nel digradato 3 con le linee eguaknente diftanti alla linea ed.
<iMa fe la diuifione del perfetto fatta fufse in parti difeguali , come nella figura ^^.fiarai lo iftefso jhauendo confiideratione aitagli , che fianno le linee trauerfinel perfetto con la dia- gonale , (jr quello ifiefso fiarai nel digradato .
^ U I t fiolamente fi ofseruano quefie regole là j doue l'occhio ^
\ pofio nel meT^o j a fiquadra jma anche doue l'occhio e fuo* ri di fquadra . come fi uede nella figura ^ . doue il perfetto € a t) c d . (^ì partito in fidici quadri con le linee eh. f i . g.f. perunouerfo. ^ con le linee no. mp. Iq. per l'altro, (^il digradato parimente fuori di fquadra è partito in fidici quadri proportionati dalle linee corrifiondenti alle linee del per fetto 3 fecondo i tagli delle diagonali. Et tanto fi a detto della dimifione dei quadri digradati fecondo la proportione dei per-< fetti. Horafaperai come fipofia aggiugnere joleuare dalqua^-'
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1
^4 PARTE
dro digradato alcuna parte , fecondo L'occorenT^ .
lMODO DI ACCRESCERE, O SCEMARE il quadro digradato. Cap. VI-
*^ E C E S S A R 1 0 e difapere , come eglifi pofia aggiugnere > o leuare al qua-r- \ dro digradato 3 quando ci uenifie occafione di fare il quadro maggiore :,ouer a minore rijpetto a qualche edificio , che fi uolcfie ponere oltra il primo quadro , oue^ ro ri/petto al poco jpacio , nel quale hauefii a ponere il piano j, che fuf'e molto lort- go. Per aggiugnere adunqne tn lunghe^a ^ in largherà unitamente , ouero in lungheT^a folamente , ouero feparat amente in larghe'\z>a, egli bifogna pratica- H renel feguentemodo.
Sia il quadro digradato b c d e. alquale fe intende difopra aggiugnere altri quadri fimi- glianti. Siano tratte le linee diagonali ^ che s incrocciano nel punto t . alquale dal punto a., che et occhio j tira una linea adanguligiufiij che cada /opra la linea h c. ch^ termina nel p»$' tb g. ìtaglia anche la linea de. nel punto h. 's^ H ora fe uogliamo fepf a aggiugnere ^fi tirerà una linea dal punto b. che pafierà perlo h. (^•., taglierà la linea ac. nel punto i. poi tir crai dal punto i. una linea eguahnent e dift ante alla li- ne a d e. laquak taglierà a b. nel punto k. che farà ti quadro digradato d c /f i. fimigliante oue- ro eguale al qua- dro digradato b / càe.. percioche la diagonale ag. ^ proportionatamé te nel punto h. il- quale cocorre nel funto i. ideila li- nea ac. (^seti- rato i. egualmen te difianteit de. che tocca ^h.nel ^ punto k. ^ quel- la proportiane e da 2ik.ad ^h.che e da k ì. a ^ c. ^ quella proportio- needa ^k.ad a.d.
che eda k{. a àcfi che aggiunto hauemo al pano b c d t-per lun^he'^a il piano d e i. eguale y & fidigli ami.
<JM a fe eglifi uorrà aggingnere per larghe'^za fi trarà dal punto f. la linea egualmente difian ^ te alla linea \i ce he taglierà hà. nelpunto cq. nel punto m. poi fi tirerà ào:. fino al punto p. che ferà ep. eguale a de. Dapoi fi tirerà dal punto h. una linea, chepajìeràper lo punto "ca. fino al punto ^. dal punto ^.tirerai una linea per lo punto ^. fino al punto o.fin alquale fi prolun- gherà la linea b c. Dico adunque yche co. è eguale a b c.perche ponemo e p. efiere eguale a <^c.^ quella proportionee daàQ..a \)c.cheì daz^.a co.et quellamedefimae da dp.a ho. Adunque fono eguali. Et pero egli fi ha lo intento dhauere aggiunto per larghé\z.a al piano b c d e./7 piano c o e p.
CMa fi uorremo aQcreficere per lungheT^a, ^ per largherà, tanto che egli fi faccia uno qua dro di quattro quadri eguali a bcde. piglierà co. della quantità di bc. che fierà co. ^ dal punto a. tirer)} ao. dapoi da b. tirerò la diagonale per q. fin alla linea ao. nel punto q. dal qualpunto tirerò una liuea eguahnente difìante alla linea he. che taglierà ^h. nel punto
a quejì 0 modo fi hauerà il quadrato b o /' q. compofio di quattro quadri , come era il propofito nofiro. come fi uede nella figura ^i.
Come
SEC O N D A. ^5
^ COME SI TAGLIA V N O J^J" ADRO DAVNA
foperficie quadrangulare' , che fìa più larga , che lungha . C^/. ' VII.
I A il pam longo palmi ciinquanta j largo dieci ^ da quejla mia int emione e di tagliare un piano quadlro . Sia primieramente ti piano digradato b c d e. del quale bc. Sia per diecci ^ ^ bp. per cinquanta palmi prima che fuj^e digradato, tirala diagonade be. ó' perche la largherà ^ chee dieci entra nelU lungheT^a , che e cimfjuanta ^ cinque fiate 3 pero egli fi farà di b c. parti cinque eguali j che fier annoi ér fi filiera h al punto a. che taglierà la
^ diagonale nel punto k. (jrfi^r^rrà dal punito la linea egualmente dtfiante alla b c. cheta*
D
glierà hà. mei punto I. ^ c^. nel punto m.. Dico hduerc taglia todal piano digradato un piano quadro y ilqualee blcm. ^fi proua in quefilo modo . Facciafi uno quadrilatero in propria for- ma longo palimi cinquanta 3 largo dieci, nopq. fian^. cin- quanta no. dieci . fia tratta la diagonale 11 q. partifcafi no. in cinqme parti eguali, r. f. t. u. ^dal punto r.fia tirata una linea egmalmente difiante ad n p. laqual taglierà la diago- nale nel puntto X. (Spartirà la linea pq. nel punto y. (^dal punto X. fiat tirata la linea egualmente difiante ad n o- che par- tirà la linea n p . nel punto 2. ^ o q. nel punto & . / quali punti fiaranmo uno quadrato y che ferà n02&. in propria for- ma tagliato , dal piano quadrangulare n o p q. condotto dalla diagonale y cthe pafia per lo punto x. che diuide la linea r y. laqualeìlacpiuintaparte di no. come sì detto efiere b c d c . digradatOy^r la linea hc.fiatta eguale alla linea no.laqualeepar tita in cinqutc parti eguali ^ ^ prefiane una delle cinque yC he e h{.
tiratala ad punto a. che diuide la diagonale nel punto k. ^ trat tala egualmiente difitante y che pafia per lo punto k. ^ diuide td. nel punito 1. ^ ce. nel punto m. Si come se prefio la quin- ta parte di no. cioè r. ^ quella tirata egualmente diftante ad np. che parte la diagonale nel punto x. ^ se tirato x. egualmente cdifi ante ad no. che diuide n p. nel punto z. ^ oq, nel punito &. ^ perche la diagonale dtuide la fioperficie in propria fiornna y nella quinta parte n o 2 &. csfi diuide la diago- nale la fioperjficie digradata y come per liprincipq sì ueduto.-
CMa fie egrlt non li fiapefiséla lunghe^a y ne meno la larghe"^ 7^ del detto pìiano j fi trarrà dal punto a. una linea egualmente difiante alla llinea b c. della quantità , che s'hauerebbe pofio il termine all'otcchio dato : doue fi farà il punto o. dalquale fi tire- rà la linea O) c. che partirà la linea b d nel punti 1 . ilqùale punto ha toltto dalptano b c d e. digradato la] quantità b c . la-
B a ^uale
3^
P A R T JE
uH^ie e b 1. SU pi tiratA dal fumo \. la egualmente difl ante alla Ime a he. che taglie^ Va la diaconale nel punto k. &cz. nel f unto m. ér a quefto modo diremo .che blcm fta il auadnlatero tagliato dal pano non quadrato bcde ferche la linea, che fi parte daL l'occhio o. ér termina in e ér dimde bd. in ^. fiche e fi raffrefenta allocchtopuaL to di b . la quantità di \>\. come se dimofirato dt fofra .
COM^ SI RISPONDA A ^ELLI. I M^ALI NBL PARTIRB il piano a braccia . mene loro maggiore lo fior ciò, che il perfetto. Cap. V 1 1
lETRO dal borgo S. Stefano , ilquale ha lafciato alcune cofe diPerfiettiua, dalquale h)) prefo alcune delle foprapofie defirtttioni ,dice queftc formali pa- parole . Per leuare uia lo errore d alcuni > t quali non fono penti nella Perfiet- tiua , dr dicono , che molte fiate per dtuidere ti piano a braccia ^ mene loro mag criorelo fiordo y che il perfetto : Dico che la fìguente dmofiratlonc potrà loro MI leuare l'occ afone di errare . Facciafi adunque uno quadrato , che fiia bcde.
di dentro del quale fene faccia uno altro, tcui lati filano egualmente diftanti dai lati del pri m -éfi^ fghi. ìttrerailediagonalt Acquali fitaglierannond punto a. ^ pafierenno per
H
^lianzuli del quadrato fghi. Diuiderai pofcia la feperficie trai due quadrati tn parti egu^ % coninumeridi fiopra . i. 2. 5. 4. 5- 6. 7. 8. alHncontro dei quatt fi^ranno nel quadra^ ^ Udt dentro Enumeri 17. i^- 15- ^l- édaunoangulolalettera^, éddl altro la let
ter A
SECONDA. 17
jì ter a f. JìMment e partirai il lar.o bd. con immeri zi. 22. 2^. 24. 25. 2^. 27. 28. l'incontro dei quali fcranno nel lato ili. inf4meri ^z. fn S7- & tutte cjuejle din^fioni , fono egualmente dijìantij^r quadrato^ j é'rapprefentate al pmto :i.(ilquale s'epoflo per l'oc- chio ) diuifo dalle diagonali be. de., in quattro parti eguali j che ciafcuna per fe uolemo , che [ìa per un'occhio, per ciò eh e l occhio ìe ritondo y di fuori ( come detto haiiemo ) non peruiene al la perfetta ritondita della quarta partie d'uno circolo. Si che diremo il ptmto a. efere quattro oc-* chi. Vno e quella parte 3 che e oppofla aliai linea f h. l'altro oppoflo alla linea g- f. // ter7^ alla linea g i. l ultimo e oppofto alla linea h i . percnoche fe fono quatro huomi'ni ^ ciaf -uno x che ngziarda alla ' fua facciata, farà quello iftefo , che diremo dell'occhio a. ilquale occhio facemo ritondo , dalla interfecatione di due piccioli nerui uiene lauirtu ui/ìuaal centro dcll'hu?nore chriftallmo^ dx quello fi dilatano i raggi, e fi end en dofi tritamente dtuidendo la quarta del circolo, fanno nel cen- tro l'angulo dritto perche le linee , (cheefceno dall' angulo dritto terminano ne t punti fg. di- remo, che la linea fg. ì quella maggiore quantità, che toc eh 10 oppoflo pofa uedere : perche fe pafafìe la diagonale , feguiterehbe „ che l'altro occhio fufe meno della quarta parte del ton do . Ile he non può efere, perche le diaigonali del quadrato perfetto diuideno il tondo in quat- tro parti eguali : fiche fg. e nel maggior termine , che fi pofa uedere dall occhio: per quefl9 auuieue , che paf andò quel termine la quantità digradata uiene maggiore j chela non digra- data, perche entra nella parte dell' ala ro occhio col uedere , ^ la prouaeque/Ia .
Faccian/th. i. 2. ,3. 4. $.6. y.S.c. al punto a. dico che la linea ah. diagonale paf era perla punto L della linea fg". érfi ^ggiugni atlla linea he, la quantità hi. eh e fiahk. ^gg^^g^^
^ quantità f. 2 1 • ehe fia n. 1 . pm tirata k 1 . farai il quadrato hk\. 21. uederai , che lo fiordo e maggiore che 21* ^ 1 . /^on Jigr adato . per la quantità zi.(^ vs\. perche k\.fi rap- prefenta eguale ad Im. ilquale e maggiore cheì. 21. (come hauemo detto) lo fcorcio maggio- re,che qwetlo ,chenon è fiordo , che rp-on può efere , percioche locchio non può in quello termine uedere k. ilquale e parte dell'occhio oyppofto alla linea Fh. Ma benché locchioueda^^. lo in- telletto nom comprende, ne intende le fuc; parti,fie non come una macchia ueduta da lungi, che non fa giudicare fie e huom.o , 0 altro animade cofi fono f g. al punto a. perche lecofi ^ che non fi pofono intendere , non fi pofono con ragione digradare ,fe nonper macchie , e necefario piglia, re maggior termine , che la linea fg. accioche locchioriceua più facilmente le cofi a lui opp9 fie,chefi rapprefi'ntano fiotto minore angulo, che il dritto, percioche i tre compongono uno triangu-
10 equilatero,, che tanto hà for\a uno a.ngulo , quanto hà l'altro , (jr perche quefta linea mene in radici, metteremo in numero uero „ perche queflo termine più chiaro fe intenda . Dicemo , che fi il tuo lauoro e di largherà difietfe braccia, che tu fila dà lungi a uedere per fii braccia , ^ non meno, cofi quando fufe più, che itu flia à proportione. Ma quando il tuo lauoro fufe meno di fette brada tu puoi fare fei, Sfitte brute eia da lungi col uedere, ma non ti puoi appreJentare,con maggiore proportione, chedafieiafiette„ ( come e detto ) perche in quellotermine locchio fendami gerfiuede il tutto, chefie egli bifiognafe molgere , farebbeno i termini falfi, perche fariano più ue- deri. Dunque fe tu oferueraile ragioni, .eh e haue?no dette,conofierai, che il diffetto e di que tali , ^ non delia Perfiettiua jfi la cofa digradata uiene maggiore di quella, che non e digradata.
£ Io ho uoluto ponere le parole iftefe dei fopr adetto Pietro pittore , accioche fi ueda quali confi- derationi deono hauere quelli , i quali mogliono praticare le cofie della Perfpettiua . Benché nelU prima par te al cap. V. doue fi ragiona della difian{a . Io ho fondato d principio della propofla di Pietro pittore , cr da quel luogo io ho corretto in alcuni luoghi quello , che egli dice . perche la. circonferenT^ del nero dell'occhio non e tanta , che fi pofa abbracciare con la ueduta t angulo gi» fio . Ma e tempo dt uenire alla defctitti'one delle piante , fecondo lordine de i corpi regulari,i qua
11 fono (lati in tanta confideratione app refo degli antichi , che Platone per quelli figmfìcaua gli elementi del mondo , il cielo iftefo , dr per la fie creta intelligen^ delle forme loro afiendeua al fommo delia (peculatione delle co fe. (jrp'^r corpi regulari egli mtendeua corpi di molte facete » ^ di angulifodi , fimili , eguali, che erano ciré orfc ritti dalla ritonde\z,a della Sphera , come fi uederà nel fieguente .
Pianta
PARTE
H
PIANTA DEL T RI AN GV LO, ET COME DAL perfetto^ fa il digradato. Cap. IX.
L trianguloì laprima jigura 3 che ciuiene innanT^ , perche ogni altra figura in quello fi nfiolue j come dicono i Mathematici . quefii e bafia della Pira- mide j laquale e il primo corpo de i regulari j per la fimigliante ragione , che il triangulo e la prima figura . Stando adunque nel modo predetto del- la figura triangulare . Sia il perfetto a b c d. con le fue diagonali a c. b d. fia formatoinefi^o iltriangulo di anguUi calati eguali i. 2. 3. Siano poi ti- rate le linee da gli anguli del triangulo , ai lati del quadrato perfetto ( come detto hauemo) fi allato di fotto j come allato defiro . Si che dall' angulo i. cada la linea 1. i. (Ir dall' angulo 2. la linea 2. 2. ne accade tirare la linea dall' angulo ?. perche egli e nella ifie/s'a alte'^^ nel per- fetto appare dell' angulo i. ai quali ferue una iftefia linea . Similmente Jìano tirate le linee da gli anguli detti al lato defiro 1. 1. *• co^^^ fi uede nella figura E . Facciafi poi il quadro
digradato in modo j che la li-
o
nca a b. del perfetto fia commu- ne al digradato . ilquale fa a b ed. poi riporta lo fpacio ìà- del- la linea de. alla linea ah. fi^ quello a i . riporta anche lo fipa- ciò della linea de. che ed 2. alla linea ab. ^f a quello a 2. Final- mente riportalo IP a do à i . del- la linea di fitto alla linea a b. ^ fia quello h^.^ dai punti 1.2* l'fegnati nella linea ab. tirerai i raggi dri%^ati ali occhio o- fin- che taglinola linea d c • del pia- no digradato . Dico j che Jòpra quefie linee hanno da efiere pofii gli anguli del triangulo i. 2.. 5. del perfetto, ilche cerne fi h abbia a fare hora ti mofirero , fie auuer tir ai j che le linee j Icquali uann» da gli anguli del triangulo al la- to da bafo nel perfetto > pofiono» (^ì meglio ) efiere tirate allato di fiopra j che e commune al per- fetto j é' digradato . Piglia dal perfetto la difian^ i d. che è nella linea a d . ^ qr^ella ripor- terai nella linea a b . commune al perfetto 3 (jr al digradato, dal punto a . uerfo il punto b . ^ fia . fimtlmente riporta la di Jìan^a là. della linea ad. alla linea a b . commune . fia quel- la a f . Hora da i punti r . i. tirerai alcune linee occulte j cioè, che fi pofiinoleuar e, 0 cancellare , le tir crai ( dico) ali occhio o. é'^oue quelle tagliano le u diagonali farai punto ^icjrpofia la riga fiopra quel punto, tirerai le Un e e egualmente diftanti alla linea commune a b. noterai doue qiuelle linee j ouero la riga taglierà le linee dri'^ate alt oc c hio,
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datfunnouenMguhdelmmgulonfortatialUlmea ab. Come efernpio. Copra U Imea che nafcedal fumo ^.fegnato nella Uneacomm.ne ■ bada efser^oftolaiuTdeltrZ^^^^ i'fftonelPerfemEtfetuu.0^^^^^
7LK r. ^fdoMneaoecuha ,he„afie dipinto r. /agluladJZaU c T&.ui
gataghalalmea chevunedfangdoi -fa fumo ^.é-fenhe [an.Ai^enelUmelrm^^^^^ *f^fgna^anchenelUbneadellUngu^^
amuU nel digradato ctoe Lf^T- 2. Hnra uìpv -hn^^^^ ^ ./...v....^;- / ^ ' ^-jc^uutu une
nea chenafieddfegno ^ nddtgradat, .fegna 2. chetmì .Uter;^angulo deltrJJuh L gradato dt eguale ualore al mangulo del p^erf etto. '^^rt^moai
Et fe me dmandt. perche capone fre.ag^^^^^^ r Imea che nafte dal punto é dtjotto.'ìt agitata laiflepdtagonÀ nel punto ^TaUlltne^ occulta, che mene dal punto l Ej}onderet. che tutti ang^t tutti punttTtm^^^ hnee che fono nel perfetto rtftondennallepartt fupertort dellf dtagonalt. haLfMant rl JPetttalledtagonalM
rtjpondere come praticando f conofce molto megUo. che ragionando . Beco adunate con Zie ragtonefepoftalaptanM^^^^ J/^/, J
laqualect fruirà potalluogofuonelloal^areìdri'^arela Piramide ,
COME SI FORMA LA PIANTA BEL CVBq nel perf etto, érnd digradato. Cap. X.
I A il perfetto abcd. nelquale fa defcritta la pianta del cubo con le antedet^ te ragioni, perche e uno quadro perfetto . & fia quella .1254- f^no tirate Le diagonali ^ da gli angult dd quadrato fiano ?nandate d lato inferiore le linee i. i. che fruirà mche ds. é' 2. 2. che fruir) d ^. ^ fmilmente fa fatto nel lato deftro . Sia poi fatto il quadro digradato . nella linea com^ ^^^^^d^^^'^^i'efianoriportatidallalinea de ipunti ^.4^. ì tratte le linee da quelli alhcchmfinche taglino la àc. dd quadro digradato ,fi fapera come fopra quelle hanno da fare gli angult dd quadro digradato. & per porli drittàmente farai m quefio modo, piglia dalla linea d a . dd perfetto la diflan^a , 0 lo J}acio d. 2. 4- } trasporta quello jpaccio nella linea commune ^h. dallo a. uerfi il b. quefi uenira nelmeZzo della li- nea commune, & taglierà le diagonali mi punto ,doue smcrocctano , fopra il quale pofta U riga egualmente diftante alla linea commune ab. doue la rightaHia le linee, che uenzono dal 4. & dal z farai punto dalla deftra 2. & dalla fmiftra 4. é' per hauere di altri due anguli, piglia dalla linea àz. dd perfetto lo Jfacio d. i. ^ .& ripport do nella li- nea commune dallo a. uerfi b. ^ dd b. merfo a. quefto caderà nei punti 2. "g- 4. pri?na fé- £ gnati,lelineedeiqualitaglianolediagoBaltdi fitto, ^é-dt fopra, neiquali t adi polla larLa fegner ai fopra la linea . che^ uiéne all'occhio da i punti i. ^ 5 . difipra 3. & di fitto i. ér a quefto modo hauerai i due anguli reftanti della pianta digradata, i quali congiunti con linee , ti daranno la pianta del cubo digradata , come fi uede nella figura . I' laquale ci fteruirà poi nello aliare il cubo , pero di quella con quefio commune ef em- pio fipiglierà al bifigno pre- 9 fentequello,chese
detto.
x^ltri
W^ERCtìE da gli epmpifoprapofti / può trarre, come fi pop ridurre al dt- gradato ogni feperfiae , io lafciero per bora la digradattone delle piante de Hi altri corpi regulan, é- parche ne ragionerò nella feguente parte , m,ie me con i modi di aliare le dette piante . Bora io mettacò altri moai di fa-^ re le piante, accio che a fcielta di ciafcum . / pol^a ufitre pm uno modo,
che un altro . ■ • ■
Sia dato il quadrato abcd. con le fiie diagonali ad. bc. lequali fi mcrocciano m &. ^ fepra &. fi faccia ilcirculo ,nelqualefia infcritta la foperfiae di cinque lati egua-
■ ) vi »
M
SECONDA.
41
A li, e f g II i
é'fiano frolongati tieni i lati della detta Jòperfieie fino a i lati del ferfettè
a b c d . come fi ue- de nella figura 44. il lato e i . fiare la linea V c f x. il la- to e g ; fiare la li" nea c g o • // la- to g i. fiare la li- nea y g i r • il la- to i ^ . fare la li- nea ^ i h z . il lato h f . fiare la linea 1 f h p . fia poi tira- ta la linea a q. per lo punto g . fin al lato de. la linea br. per lo punto li. fin al me defimo la- to . A quefio modo egli fi hauera fiorma- to il perfietto della fo- perficie predetta con tutti gli incontrifiùoi.
Sia fatto ni piano digradato ab c à . fia l'occhio in ^. & fep^^ ^^^^^ commu- ne , filano ripportatii punti c. o. q. r. p. d. Ripunti ^- 1- iq^^li punti m.
* n. hanno arijpon
dere fiopra la linea ed. comtnune prefi da la linea ab. del perfietto . Siano poi tirate le linee m^. k^. I&. é' " &• ^ doue le dettt li- nee taglieranno la linea ab. fianot ap- portati i punti k. i n. . n . fia trati ^ la linea dal punto k . della linea a b. al punto o . ^ dalpun to ì. al punto p . ^ fimilmente dal pun- to a., al punto q.
dal b. alo r . doue la linea a^. ta gliera la linea k o . Jta fiatto punto g .
taglierà la linea Ip. nel punto h.fia tiratala
fla tirata la ^^^^"^ g^- & doue la line a br. tagliere - , .
hi. dr^^ ^^^^^^ ^S- & ^^-fi taglieranno nel punto i . fitano poi tirate le Linee im. & in . alla linea • ^^^^ ^^^^^^^ taglieranno le linee ko. dr ì]^- i punti e. dr ^- fi^ tratta la linea dr^ quefio modo fi hauerà ripportato nel piano digradato la fioperficie pentagona trattaddfcrfé'o- ^ ^^^^^^^
42.
PARTE
Vn altro modo è di riportare ne i pani digradati ^ le foperficie dal perfètto > ilquale e que- fto . Sia ti perfetto ABCD. con le diagonali AB. ^BC. lequali fi taglieranno nel punto E . fopralquale fatto il circolo occ^dto fi defcriuerà una foperficie difei lati eguali i^H I K L, Ba i quali punti cader anno fopr a CD. le linee HM. ^KN. gLO. IP. Sia prolongatd la linea C B . altr etanto nel punto ^ lo fpacio B fia partito egualmente in S . con la linea MS. R. cada giufiamente fepra la linea T ó'fi^ l'occhio in T. alqua le uadino i raggi . C T . M T . NT. 0 T . P T . i quali taglieranno la linea E B. ne i punti ^hcàt . fiano poi tirate le linee AT . IT. gT. HE IT. KT. ^ LT. le qualità gli eranno la linea BB . ne i punti f. g . h . i . k . 1 . fiano poi da i punti a . b . c . d . e. che fono nella linea 3 B. tratte le linee egualmente dtfianti a B nella linea ^^T. iqua-
t
li pmi far anno le line e a m. b n. c o. d p. e q. ^efte linee taglieranno la linea RC neipun- ti V. r. f. t. u. fia poi riportato lo fpacto della linea B B, che è da ad I. nella linea 3. V m.dimo do che, dal punto Vyucrfo a. ^ dalmedef no punto uerfò m.fia pofio quello fpacio fipra a m.
dalla fimflra fa x. ^ dalla defira y . x y .fia lo fpacio del lato difopra del quadro digrada- to. T rapporta dalla linea B B. lofpacio i 1. ouero i g. chetuttoe uno.fopra la linea d t p. ^po- fio il compafso fegna dalla finifira> z. ^ dalla defira , &. Conloifiefso modo riporterai lo fpacio i k, dalla linea B B. nella linea e i o . fegnando dauno lato 2 . é' dall'altro if,. le linee b n. <^ c q. tagliano la linea R f. neipunti r, ^ u. iquali fono due angult della detta figura , gli al- tri fono 2. &. 2. 1;,. che legati infieme con le linee rapprefì}^tano la figura digradata, come fiuede nella figura ^6. cr qui fia fine alla feconda parte ,nellaqualc (i e trattato della Ichno- graphia. Seguita che fi uenga alla Ter\a ,nellaquale fi tratta della Orthographia cioè della eleuation'e dritta de i corpi , dalle piante loro.
4J
LA TERZA PART
Che tratta del modo di leuare i cor- pi dalle piante.
E.
TRE M 0 D I B I LEVARE dalle piante . Cap. /.
I C 0 RP I
M
R E fono i modi più 'vfitati da leuare i corpi dalle piante loro j de i quali ilprimoeilfeguente. Sia dato il piano digradato a b c ci. nelquale Jìa la pianta triangolare digradata e g i. (gl'occhio o. // centro h.Jìano Jòpr ai punti a. ^ h . del quadro digradato dri\z.ate linee di quella al- te^a j che uogliamo „ che fia alta la piramide , ^ Jtano quelle a F. ^ hk.^ fia tirata la linea F k. laquale ciferue per l'altro piano . pero fia no tirate dai punti K . f . le linee ouero i raggi Ko . ^ (q. Siano poifopr ai punti c. ^ d. del primo piano digradato tirate le linee d m. ^ c\. fin alle linee K o. ^ f o. fi tirerai una linea da 1. ad m. haue- rat digradato il fecondo piano che eikXrxx.fia quejìo piano diuifo dalle diagonali Fm . nel
punto n . dalqule cada la linea n h . nel punto h. ilquale è nello incroccia mento delle diagonali del primo pia- no^ ^ e centro della bafia della pira- mide.fiano poi al punto n. tirate le li ne e dagli anguli della b^fa digrada t a. ^ fiano ne. ng. ni, ^aquefto modo fi hauerà leuato la piramide fiopra la fiua pianta digradata ^ co- me appare nella figura A. ^ con quefia uia fii può facilmente leuare ogni corpo.
il fiecondo modo e quafi lo iftefio col precedente, peroche digradato il quadro ^ pofta in quéllo ' la bafia i f g . con le regole di fiopra . fi dri^ :{afopral punto ti. della linea commune la linea a f. deltalteT^a^ che fi uuole la piramide d4 punto i. fi tira una linea all' occhio o. poi dal centro della bafia \\. finir a una line a fin al la-.
E ^ to ca.
44
p A R r M
W ca . doue Jì fa funto I . ^Jòpra U linea hi . dal punto 1 -Jt tira Ialina \m. fi cheti punto
m . fi a nella linea f o . fimil" mentefi tiraunalineafofra'l funto h. a piombo dell' alt eT^ della linea Ini. laaualee hn. ér il punto n . fera per la et- nia della piramide : alqnale fe tirerai le linee da gli angu li della bafa yU\. ^n.ìn.ha uer ai aliato la propoftapira- midein quella altezza ylaqua le fera i Fgn. £)uejÌomodoin uirtu e il precedente, et jìuede che} nato dalla elettione di chi UMole praticare unifiefa cofa con modo diuerfo. come fi uede nella figura B.
Ilter^ modo di leu are e queflo. Sia il per feto abcd. ^ fuo piano digradato > fecondo il modo detto nella figura 45. della feconda parte , c^fia dfgh. Bifogna poi uolendo al\are al- cuno corpo in quello 3 pigliar e l' alt e'^a 3 che fi uuole di quel corpo > ponerla dal punto c. al punto del perfetto^ nel punto i. ^ dal punto alt occhio tirare il raggio i ilquale ta- glierà la linea à\>, del perfetto in (^dal punto ìj alla linea bd. del perfetto fia tirata la li nea ì^jadanguli giufti ^prolongata fino al punto iij (i;' dai punti & nifi ano tirati i raggi
H
|
a |
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|
— — — -:i^^^ìì^^ |
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|
t ^^^^^^^^^^ |
||
di punto che faranno n>hy fi^ poi tirata una linea dal punto chetagli lati M
nea e >ì< ^ in\i n^iii , in m, cofi haueremo digradato il piano difopra ^ ilquale fera e 1 m Ji adunque in quefli piani d fg ^ e 1 m n,fufie di/segnata la fiperficie di fei facciate ( co^ie se detto mila figura ^6jJ ^ tutti gli anguli del piano difopra fufiero congiunti con linee ^ co^
^ R Z A.
45
A gli 4ngtilidelUpanta corrijpondenm .fi formar ebbe ti corpo decelerato di otto roperficte deL l altro nellafgura C. cofifileuarebibe ogmjìguratn efadeferitta, un piano jofra.
SPIB^ATVRA B^Rirro. ET ADOMBRATIONE della Ptrramtde. Cap. / /
^tffT'/," ''"tififirueri quejl' ordine , che nelfrimoluocoto- nererno le lloro legature, dafcle loro f tante ferfetfe , é- digraL te,ò-finadme„tetdrm,, loro adombranoni . Spie^Lre ,o
tT.tÌl fT'T '''"'f^"" aperte MequaU fi Ulo i eorfi J<>''W»'dole,nfiemeperdmoftrattonedeluemc^^^
'''«yerl^rf ica &dUetteuoleperformaremoltic,rpimla»^ ne^é-altruufidiptacere. ^
di^XJf""J''r'^''"''"r\"'" "'f ^'""tro /uccie triangulari, ..ir- ]^ t,'^^''*"&"''^''''''"'fi'^g'ituraìUiizHraD,é-ree7lia ptegera U carta defirHtaé con collat gentUmentefi umranno t lattdt ^Ìàa !fifortiàlfptt
mideuera esemplare laqua le è compojìa di quattro piani tri angulari ( come se detto ) (^hk quattro anguli fidi y ^ acuti, fiei lati y dodici anguli piani acuti. Formata adunque la. pianta della piramide fi nel per- fetto 3 come nel digradato . fi- condo la regula foprapofia della
^''""^ /^y%^././. defiràZt, ^I>atfdfia^^^^^ Zoll T r' i'^' f^f^'^'.^J^r &ropratlfimtdtametro à^.fiapofto uno trian- gj^iodt Un eguali ^hà.&fopradfem,idiametro ^h. fa formatoti trian^ulo ù>i& finalmen^ tejopra laltnea a cfia formato ti tn^angulo ^.fiapot tirata una linea daU, al e, é- un'altra dallo e, al b. lequalifitaglieranm ned centro del trtangulo a b c, nel punto i, dalquale punto fìa
^j^rata una linea uerfi il lato hà.f no ^llacirconferen:{a nel puntoli Jaqual^ ^ per/ etta del corpo piramidale, comie appare nella figura F, j ^
UH a che uerofia , eh e la linea h ì^jCta l'altera della piramide . eglifi conofce in quefto modo.
Sia tirata dallo augulo a.per lo centro ijUna linea alla linea bc. nel punto centro k, Jpatio K^yfiafatto il circolo ^h.^rda k,fia tirata la linea k"^, ^da hj la linea ha^^ efiendo la linea k\iy (^\\ dal centro alla circonfeten^ del circolo a h.,feranno egua- li > é^fimilmente efiendo le linee a.bj ^ ab, dal cètro alla circonferenza del fimicircolo dc^ feranno eguali, (^perche ak, e la linea diametrale del triangolo a b c ^ ^ a \ì,la li- nea laterale efiendo tanto k quanto ka., ér tanto ^\\,quanto ahfeguitachelalinea Il fi a la uera alteT^a , per che il corpo pira midaU ha le linee laterali oppofie alla jue fo perfide , o f accie . Et perche eglifi pofia dal la fioprapofi a figura F. trarne anche la [pie gatura della piramide j diro che facendofi
uno
4^
PARTE
mo triangulodilan eguali /oprala linea hcyhauemo dall^ -detta figura comprefi in e/a quat- tro trianguli cioè a b d> a b Cj a c b c f, ^ quali piegati j ^ incollati infie me sformeranno il fodo della pirami de . Dalla figura E. foprapofta (i ha la pianta y cir il dritto della pirami- de . Fero e che l'alteT^ di quella fu pojlafen^a la fuauera mifura. Ma il modo e quello iflefo .
L'adombratione della piramide e facile j come fi uede nella jìgura G . nellaquale la piramide è pojlain Per j^ettiuaj,^ adombrata come appare.
G
H
S P I E G AT r R A, DRirrOj ET ADOMBRATIONE del cubo. Gap. III.
L cubo e formato di fei foperficie ^ quadra te perfette j di otto anguli fodi giufti 3 dt uentiquatro pia- ni } ^ dodici Latii co- me dimofir a la fua jpiegatur a nel- la figura H . laquale ferrata in corpo rapprefenta iluero cubo .
^luanto apartiene alle piante fi nel perfetto j come nel digrada- to, dello impie egli fi può trar- re dal decimo capo della feconda parte > nella figura I. Et la adom- bratione è qui apprefio nella figu- ra K. L' alt eT^a del c ubo i etan- to j quanto uno dei fiuoi lati . Gli antichi dauano il cubo alla terra , uolendo dimofir are la fua fer meT^a y ^ fodera , perche gettato il cubo , egli fi ferma im mobilmente da fe 3 come fa un da- do.
/ jt R T £
ISGATVRA, DRjrro, del corpo detto octoedro ,
ET A DO M B RAT I 0 NE Cap, mi.
ti
L corpo detto octoedro da, M athemati - ci:, perche ha ottofacie:,fo~ pralequaii e- gli fi può pofare y Sformato di otto foperficie triangulari di lati eguali ^ } contiene dodi -dilati i fet anguli fodtgiufti , ^ uentiquattro acuti piani . Lajpiegatura fu ai alla figu- ra L, il modo di ritrouare il fuo perfetto è quefto . Sta nel perfetto pofta lafiperfcie di fi lati 3 ^ angult eguali b c d e f g j, fiano poi per li pun- ti alternati y formati i trian- goli c f e . ^ b d ^.comc appa re nella figura M. ^j^efti due trianguli c f for- meranno otto trianguli j qua- li fer anno cfe^ bdgj bTg, ged^ edc;, dcbj eh fiati- rata una linea dal punto bj al punto €^ laqmk tagiterà k linea c f, nel punto (jr l^ linea d g^ nel punto \\> ^ fo pra il punto hj e jfacio b fia tirato il circolo hij ^ dal punto ky per lo punto ^,fia ti rata la linea al punto L final la circonferenT^ del circolo h ìy quefia linea k L fera l'al- te'^a del detto corpo octoe- dro . Et che quefio fia ucro fi dimofira . fia tirata la linea b \j quefia fera eguale alla li- nea b hj perche amendue uan no dal centro alla circonferen 7^ d'uno circolo ifiefio^é' ef fendo la linea bh^ diametra- le del triangulo b d g, &h\y eguale a quella la linea 1 k^fe rà la uerà alte'^a del detto corpo 3 formato di otto trian- guli eguali al triangulo c e f , perche la linea bh^ } la lar- gherà ma non ad angulogiu
fio 3
K
T B R Z A.
j fio , perche fi fu/e ad angulo gMo , il punto k, farebbe fipr a il pmto b. sia adunque il perfet to 1254. nelqualefia la pianta del predetto corpo b c d e f fial occhio doue concorreno le Une e
che fi parteno dai punti i. 2. fia l'alte^.a dell'altro piano fiecon- do la lunghe'^a della linea k I, ouero \>h.y dal punto i, al punto C dalcfuale fia tirata la linea del pia no S, (jr 6, di modo che fi formi il piano digradato 3') 6y Sj nelqua fi formerà ti triangulo bd ^, fi co- me nel primo piano digradato se defiritto il triangulo c c ^ gherai con linee glianguli del tri augulo di fipr a ^ con gli anguli del triangulo di fiotto con ^, ^ ij con Qj ^ {, (Ir g>
con Qj comafiuedenelpta no digradato della figura M , Et l'adombratione del detto cor- po} nella figura N.
SPIEGATARA, DRITTO, del corpo dodecaedro.
ET ABOMBRATIONE Cap. F,
GLI fi fiormd uno corpo re- golare di dodi- ci fiac eie di cin que lati luna > ilquale fì chia- ma dodecaedro, perche ha dodi ci piani di lati, (^ anguli egua li i trenta lati , uenti anguli larghi fiodi, cy-^fie franta anguli larghi piani . La cui (piegatu- ra e nella figura 0, ilperfietto di quefto corpo praticando fi fa adun?nodo j ma dimoftran- dofii con ragione di Geometria fi fa ad un altro. Io ponero quiap prefio quello j che appartiene al- la pratica . Et perche tutti que ftt corpi regolari fiono circon- ficritti dalla fphera , cioè cork tutti gli anguli loro toccar ebbe no la concauiata d'una Jphera. nella quale fufiero rinchiufi , pero nella fior mat ione delle lo* r oppiarne perfette j fi forman9 in uno circolo.
G
Facciafi
so
P A R r B
Facciafi adunquejòpral centro t> fino cìrcolojC^^apartito in dieclparù eguali hj c, à,
kj \j ^ alternamente /òpra quelle farti face tanfi due foperficie di cinque lati eguali j luna fia b d f h l'altra c e g i 1^ ^ quefia è per la pianta di quella foperjìcie y che pò- fa nel piano 3 ér la bd fhyi^. per la pianta della foperficie di fopra, fia poi dal punto k, per lo
centro tirata una linea allato df, nel punto ^nche trattane unaU
tra dal punto bj al punto h.,laqualeta gliara ky^nel punto l^. Sia poi fopra il centro a.j fatto uno circolo tanto gran do i che la linea b hj, fia in quello uno lato d'una foperficie di cinque lati egua li y^ fia moqlUj i cui angulirifp ondi no agli anguli del pentagono b d fli k, cioè al \ì j al ài, q^» al f, C allo ^ Uj al kj SluejH punti ri- Jponderanno nella pianta a quelli angu- li di me'^o del predetto corpo , i quali fono eleuati dalla pianta^^ perche ci e un'altro ordine di anguli eleuati , pero nella pianta del perfetto , quelli fi fanno cofi . Facciafi uri altro pentagono nel cir culo maggiore . / cui anguli fiano p, Y, t, i quali rifiondino a gli anguli del pontagono minore a c, ad rj al tj allo ad h Dei
pero auuertire ^chei pentagoni maggio ri, non deono efere congiunti nella pian ta con linee laterali . ma fono abafian- gli anguli loro fopra la circonferen 7^ del cir culo maggiore jilquale anche deue efer tirato occultamente , cioè , che fi pofa leuare » come fi uede nella figura P. e/^ere leuato .nellaqualenon appare cir culo alcuno ne minore 3 ne maggiore . Ben è ^ che fiano tirate le li nee apparenti bm^ ci\, ào, ep> fg, gr^ hC it^ k^x> fimilmente n\n> noy op;, pq> rf^ ftj tu^ u Xj \m, ^ con quefio modo fera de— fritta nel perfetto la pianta del detto corpo y laquale hauerà dodici foperficie. cioè, ccgiljbdfhk^mnobinopce^ opqfd, pqrgc. rftgi, {txxkh, xxx^hky xm^cX, come fi ut de nella figura P.
Finita la pianta 3 fà di bifogno diritrouare le alte'^e conuenienti, per)) fia fopra il centro c> érjpacio ccj tirato un'arco di circolo di fipra dalla defira-dr fp^^ (^fiacio yk^ ne fia tirato un'altro alla ifiefa parte del primo 3 dri'^ata fia fopra una linea ad anguli giufii 3 & fia quella p^^ quefia taglierà gli archi predetti fatti fopra y 3 nei punti àc^ é" »^ &de ue efere tanto Unga , quanto è lo fpacic p i< , perche tanta e l'alteT^a di tutt'ol corpo 3 & quefii tagli z,& ^3 feranno le altere dimodoy che ì il piano inferiore 2 3 ilprimo leuato 3 & /'/ fecondo Zy il terT^ . fiche n4 piano del p. fera digradatala foperficie ce gii nel piano pofliipuntÌ3 nprtx^ (i' nel piano ^3 i punti my O3 C é' nel fiano ^3 la foperficie h ri. fhk^ (^poi tirate le linee i come se detto fiformerà il corpo predetto dri'^ato in Perfiettiua .
Come
K
T E R Z J.
51
A Come fi uede ftella figura T. M achei' fumi z, & ijfiam le altere del predetto corpo j fi tro- nera tirando la linea eguale ad ^ o, come linee tirate dal centro alla circonfieren^a ^ duno iftefio cireulo . // punto j ^,ferà laprim.aalteT^a .perche la prima altera e tanto , quanto uno
lato del pentagono:, ma non ad angulo giufio. perche la linea e 2 ^ non e pofia ad angulo giufio fiopr al punto e j pero la fiua altera e quanto p perche Zj è ad angulo giufio fiopr a p ^ il-
^ \ / I \ \ 1 {i^ual Pj e nel cireulo nato
dal centro non fi può efiendere oltra efa linea 2 ^jperciochefie fii efiendefi fe il corpo non fiarebbe per- fetto . llchefi può con dilet to conoficere j hauendo il perfetto dinanT^ a gli oc- chi . llfimik aduiene alla linea k y^dri'^ata alfiegno Scj con la linea y &^ per la^ quale fi proua , che il pun- to e la feconda alt eT^a, perche tanto e dal me^o dal lato f dj al punto & , quanto e la linea ky ^ ^Jj fi troua eguale a y^^ efiendo l'una , ^ l'altra li- nea da uno ifiefio centro ad una circonferenza » ne può y 8>Cjfienderfi oltra Se perche zScjC tanto quanto p Impero il punto i-. e l'al- tra alteT^a, perche 8c z, alato del pentagono come àpij ilche fi uede nella, figura P.
(JMa perche fia meglio dichiarito quanto se detto d'intorno le alteT^e j diro più inanT^ .fia nel perfietto della figura P. tirata U
J il AC r r j ^^^^^ "^'^ ^ quella, (jr
delLato^ l/tafatto daparteuna figur.aquadrangulare ,i cui lati fiano ab cd./^ nel fiuo cen- tro fatto lo circolo dello fiiaccio ta.,qiuefio circolo uenira alquanto maggiore dello antepofio» perctochefie ti detto dodecaedro fiufie poj/io in uno corpofpherico , che con tutti gli angulifiuoi toc- caf^eUfioperfictefih erica Al fiuo circolo^ maggiore fiarebbe lafoprafcritta c ir confier enfia . Ilche procctede dalle linee ^h, é' ^<^. che ridotte in quadranguìo formano efio circolo , come fi uede nel corpo ertale . sia adunque fiopr a i punti ab ed, del quadr angulo conio fpacio di ky.prefo dalla figura p, tratti quattro archi ^ ma occulti , i qualifi tagleranno ne i punti G & %^/tanopot tratte le linee bf, fd, cg, ga. Sia poi dal punto a, uerfo rapportata dalla figu- ra PI laltnea *35. nel punto KdalU figura R, ^/^ mede/mafia trapportata dal punto b,
G 1 uerfo
5*
P A R r E
ucrfi in ì.é'dal cyUerfo ^jin k, ^-dal à,uerfi f.. m hfimopoi tratte le lìnee g u g L ki, Q dr H qmm le linee gi> & fi t agiteranno nel pmto m. ò' g^^ ^''^ ^ punto
n ^ y^/? poi tratta la linea m
^ feranno formati quattrof pentagoni j cioè abimh^ mn Iig/(% cd/'lri;, mnifl„c^ ////W quattro fono oppofti a que- fi y ^ gli altri quattro occupa- no le linee b f, f c g. g a, 4$"^ poi dal punto ij alla linea k z, tirata una linea ad angu- U lo giuflo nel punto quefla linea foj, e l'altera di tutto il corpo-ér tanta fera^ quanto p ^, nell' altra figura . ^ nd, inque* fa e tanto , quanto in quella c2 j quefa , quanto
y^j in quella, f ano poi tratte le linee nlj le quali ta-
glieranno la linea nei pun ti ^> & & tanto e oc^j ^- in quejla 3 quanto in quella pij tanto qp;, in quefa» quanto 2 & ^ in quella 3 ^ tan- to pf. in quefla quanto in quella . Adunque i detti punti 2 fono le uere alteT^e del fopr adetto corpo come appare nella figura
l^adombratione del corpo dodecaedro fe pof a nella figura
K
SpkgAtUYA
TER
S P IJE G AT r A A, D RI T r 0, del corpo icofiedro
Z A. 5^
BT ADOMBRATIONE
Cap. ri.
L c orpo icojiedro cefi detto per hauere uemi facete triangolari è fottofofto àgli an gultftrettt jé'ài larghi ,^e eguale al corpo dodecaedro ne i latifuoi j perche ^ quejlo ha trenta lati : ma nelle bafe , (jr ne gli anguli fodinon conuiene :> per- che quello ha dodici hafcj ^ uenti anguli fidi:, ^ quefìo ha dodici anguli ^é' tienti bafe , é' quello ha gli anguli larghi fefanta , ^ qtteflo gli fretti fefanta . La /piegatura di queflo corpo fi uede nella figuraV. il perfetto di queflo corpo fi forma à quefto modo. Sia fopra il centro 2., fatto il circolo nelquale fa defi ritto uno pentagono dt lati eguali, b c d e f. fopra c efia fatto uno triangulo dt lati egua- li, ceg. dintorno del quale fia fatto uno circulo occulto , ilcui centro Jìa hj ^ in efo defcritto fia un'altro triangulo che fia iklj eguahnente difiante con gli anguli fuoi da gli anguli c.g.e. del primo triangulo. fia poi tirata la linea h i, ^ la linea b che cadtnoin b, ad anguli giufii . fia anche ti- rata la linea li c, continuata pn al punto in,^fipra \\:>cen troé" fiat io II m ^ fia tirato il circulo i nelquale fia defcritta unafeperficie dìfei lati eguali mno^c^v fiano poi tirate le linee r>é^ rcj, rnij rq, nij ne nm, nOj ng, pi-» P P g> p p m /é^ m o o o 1 qe^ hauerai defcritto il perfetto coni fuoi uenti trianguìi j come appare per la figura X.
I piani Meramente, ^ le alte'^e di que fiocorpofiuannoinnefiigando nel modo ^ chefegue.
1
Sia
54
FARTI
Sia tiratala linea rg, laqualttaglierjt ce, nel punto > (^ìh nel f untò u ér fipra'lp^nto t. fia pofta ad angulogiujio la linea yx. ^ per f. centro è (patio i g . fia fatto uno circolo j ilqua- le taglierà yr^ nel punto u, (^per Kj centro e Jpatio ne fia fatto un altro ilquale taglierà y\Xi nel punto ^l, fia poi partitala linea xu^ egualmente nel punto ilcfuale fia centro , érp^""" lo jpatio z "^jfia tirato ilcirculo j il quale taglierà y nel punto ^^uefti punti &^ fon9
i piani del detto corpo y in modo ^ che fe nel piano x,fera portato iltriangulo k i L e^//^*/ piano \x, i punti vciy q, nel piano x, i punti npr, ^ nel piano &j il triangulo c^z, & tirate poi le linee » come nel perfetto anteferito j iì dimsfirato , fi formerà il detto corpo icofiedro .
CM a che i punti \y ò^fiano le alteT^ e del detto corpo yfi dimofira in quefio modo. Siano nel la predetta figura tirate le linee uf. cjr^l^j c^percheuf^jè eguale ad fg. é^yhy eguale a kì, efendo nel corpo uero la prima alteT^a %j laqualee eguale a kt^ il cui punto u, termina nel la linea x feguita , che ti detto punto n^Jia termine della prima alte%z>a . ^ perche nel uero . la feconda alt e'\z>aì k\, ilqualeì eguale a k%j il cui punto \y termina nella line a efo punti xy ì la feconda alte'^a. perche zfic^ ì eguale a zVy efendo nel corpo materiale la ter^ alte^ ^ tanto d/fiante alla feconda Xy quanto la prima del punto Xj pero il punto ^yfcrà Uter\a. alte\z,a . He he col feguente ef empio più chiaramente fera praticato .
Sta con I0 linee h^j ^ ce^ della figura K sformato il quadrangulo abcdj fiatrouatoil
fuo centro t.y dal quale fia tirato circolo i che paft per lo punto a , Quefio circolo farebbe il maggio re y quando detto corpo fufe cir- confcritto dalla Jphera. Sia poi dalla figura Xy prefilo Jpatio gC fatti centri i punti a, by e, d, delquadrangulo fi ano tirati gli archi che s incrocciano per ogni nerfo f h ad uno lato yd^^K ^ ìmy dall'altro . ^ìlueftifita- glieranno ne i punti o, ^ fia no poi tirate le linee ao, oc, bp, pd, ap^ cp^ ho, quiui le linee ap, ^ cp, s'incroccieranno con le linee bo, ^ do^ nei punti q, ^ Xy ^ fera formato il detto corpo in altro modo . Et t uenti trianguli fono a b q> b q p;, p q prd, drcj croj orq^ aoq, altri otto fono oppofti a quefii . ^ quattro afcondeno le linee ao, ocj bp, pdj le quali fino li- nee diametrali del triangulo . abj dr cdy foni i lati y i quali fono bafe del detto corpo . fia poi tratta la linea p f. ad angulo giufio fopra la linea o c, quefta linea p C il' altera del detto corpo . & e tanto , quanto nella figura Xy la linea ^x. Adunque òcxyè U uera alteT^ay efendo tanta y quanta la linea pf, perche ^^y nafte da uno corpo y Hqualee- formato y con quella dimofiratione della pcura X, ó- quello che f ab. nella figura y» ini e mno lato del triangulo. & qi^ello y che e zo, tn que- llo y iui e il diametro del triangulo . ér^Oy inquefiae df. in quella diametro del pentagono.
a in quefia y e in quella b f, diametro) del pentagono . egli e manifefio adunque y che l'ai- n'idei detto corpo e la linea come fi uede nella figura T.
Bora
H
M
f
r E n z A,
A mrÀ eon ftUfrdHcA dimdperole antedette cofe, SU adunque foprdl centrò fatto un» circubinelqualejia defiritto la fiperf eie di cinque lati eguali, bcdcG ó'fia tirata la linea
b come nella figura Z^fi ftede. Sia poi altroue fatto tino circolo fiprdl punto h. che uno lato del pentagono della figf4ra Z. ftalato d'uno triangulo di lati eguali ^de- fcritto in detto circulo .fiano defcritti indetto circulo due trian7uli di lati eguali , ^ egualmente dijlanti con gli anguli loro j fia l'uno j c g
t altro j ^ ih fia poi per det io centro tirato uno circo- lo di tanta cir conferenza ^ chela linea bf, della figura Z. fia uno lato di triangulo in quella defcritto . Nel qua- le circolo fiano ritrouati fola mente glianguli di due trian guli di lati eguali , defcritti nella circonferen'^jcon egua le difian\a . / quali hanno a rijpondere a gli anguli de i trianguli prima defcritti > co me nella figura X, s'e dimor Jirato, Siano adunnque i det- ti anguli m o (| , di uno trian
X> gulo j^nptj dell'altro . Sia
no poi tirate le linee , come ideila figura fera for- mata la pianta nel perfet- to come e biella figura SCj Nel la defcrittione dellaquale e necefiaria la forma penta- gona i per cieche aggiunti in Jieme cinque dei firn trian- guli per farne il corpo i rie- fce la forma pentagona .
Hora per intendere le fìte alteT^e fia nella figura & . tirata la linea k laquale taglierà ce^ in C & if» tffiadapoifopra pofiala linea yo, ad angulo giufto , (Ir per i> centro e fpacio tk» fia tratto un'arco di circolo , Uquale taglierà la linea y , nel punto m , & Z> <^^^^^o ^ Jpacio fia con un'arco di eirc^tlo tagliata y\x, in fia poi
5(?
P A R T E
ftafoirifprtdta ladiftan\a dio^y da x> ad^^ & hauerermi pani del dettò corp o/u/^i. ^tamoe \\Oj quamo . ^
Hora f erueder e fei detti pani fino le u ere alt del detto corpo, fiano tirate le li?.cc tu, & ' g yj -perche t e quanto tk,(4- 1 c la pri^
ma alte^^a : pero è la prima ale'^a ^ & perche, txj, ì tanto, qtdanto gc gc. ì la feconda altera, pero x,è la fecmda alte\^ perche àc.che e la ter\a aitila e tan to dijìanteda feconda alte'^a quanto e x\, prima alt eT^a dal puuto Oj ^Jendotan to dcxy quanto \xo, feguità j eh: il punto òCifta la terT^ altera . Adunjue fe nel piano ferafor?nato il triangdo cge> nel pano u, i punti moq, nd'^pia- no X, i punti n p r j nel piam & y il triangulo ìk\y ^ tratte le linee come nel jerftto . fi formerà il detto cotpo icofie- dvo come fi uede nella figura la adom-. hration^ e nella figura a.
;7
J)ESCRlTrjONE DE I CORPI IRREGV LARI , CHE NASCENO
dai corpi regulari. Cap. VII.
A i corpi regulari fopr a pofii , i quali non pofiono efiere più di cinque (lafciando il corpo Jpherico ) fi formano molti altri corpi ir regulari , per la mutatione de gli anguli piani fidi j come fiuedera dalle loro piegature y che dima (ir ano que- fii corpi efi ?re cor/tpofii y prima dal corpo piramidale nafice il corpo formato di quattro fioperficte di fei lati y cr di quattro tr languii dilati eguali, é'ha ucnti quattro anguli larghi y dodici fretti piani dodici fidi y lati dieciotto . co- me fi uede per la fua [piegatura, y nella figura 4 . il perfetto della quallefi forma in quefio modo pratica . Sia formato uno quadrato , delme'Kz.o del quale .fopra il centro ^jfia fatto uno cir
culo f
T S K Z j4.
$7
S
culo , (jr IH epjia defcrkfd. Ufoferjicie b c a c f difei lati eguali Jta poi tratta la linea b g^
érfopra'l centro 2Ly fatto uri altro circulo di tan
tacirconferen'^ chela detta linea hg^ fòrmi
in quello i punti di uno triangulo di lati eguali , che f ano \v, ì, kjjiano poi tratte le linee cd^ ^§[> ^^-> & c^j & fi formi uri altra foperfeie difei lati eguali i cui punti fono 1,
p> <\i fiano poi tratte le linee mn^ mq, ^ é'fi formerà uno triangulo di lati eguali, ^ cui anguli fer anno va, q. ftano poi tratte h linee hm, hb^ hd^ ic, in^ ie, kg. ^ f> & fera defcritto il perfetto i cui quattro ef^a goni fono bcciefgj bchimn^ lidmfq/éj ine q g ^, / quattro trianguli m n q> h b dj i c e, f g> Le alteT^e i ^ i piani del detto corpo fi fanno d quefio modo . Siaprefa la Imea q é' fi^ po- Jlo ilpunto T, doue ellae diuifada fg, (j^ poi ■ detta linea qr/è^ fa ripportata fopra la linea inferiore del quadrato ne ipunti £,t,ny fiapoi partita egualmente la linea bo nel punto &fia tratta la linea xq^ laquale taglierà mn, in y^fiapai per lo fiacio qvj e centro trattala linea circulare, laquale taglierà la linea defira del quadrato nel punto per lo Jpacio xr^ (^centro mj fia tratta la linea circula-
re i che taglierà la detta linea defira in per ilche ipunti Se, z. L fono ipunti delle alte^
^ perche tratta la linea ^\x,(^ zt, efia & Uj ^ tanto j quanto e -x-v, ^ zt, e tanto quanto e, y q, t:^ pere he nel corpo fido, y q. t la prima alte^^y ma non adangulo giù- fio pero 2 C che e ad angulo giufio con f t> efio punto Li e la prima alte^a^ ^ ilfecon do piano . Et perche nel fido xvfc la fe- conda altera , ma non ad angulo giufio > pero & f . che ì ad angulo giufio con fu > efio punto Sc> è la feconda altera , ^ ter- spiano. Adunqnefe nel piano C feràp9 fialafoperficiedifeilati bcdefg, ^nel piano ipunti hik^ nel piano &. il triangulo m n q, ^ tratte le linee , bb, hm^ bd^ ic, in. ic^ kf^ kq, y%> fi formerà il detto corpo irregulare , taglia^ to dalla piramide .come fiuede dalla figu ra 5;, M a perche efiendo formato di feper fide dtfiei , ér di tre lati eglifi può ferma, re con ia triangulare y é' con l'efiagona, pero jfe nel piano C ferà deferitto iltrtan^ gulo mnq, ^ nel piano z> ipunti bif, (ir nel piano & , la foperficie b c d e f g. ^ tirate poi le linee (come se detto) nel per fetto egli fi pofirà con la hafatriangula- re . L'adombratione fe intende chiara^ mente perla detta figura %y nella qua^ le ui e il perfetto in pianta j é* digrada to dritto .
U Defcritiont
p A }i r %
DESCRITTONE D'FNO CORPO, IL^ALE NASCE Q dal cubo j & dall' octoedro j fra Jpiegatura , Cap, Vili.
ASCE dal c7iho > dall' octoedro f4no corpo , Uguale contiene in fèlefi perfide di detti corpi, cioè , otto triangtdt j ^^ fei quadrati , ^fifì ta- gliando i lati dell'uno dell' altro in due parti eguali :> (^tiratele linee dal punto di meT^o di quelle parti a l'altro leu andò gli anguli fedi ai detti corpi al termine eflremo di dette linee, in modo , che tagliando gli . anguli fidi dell' octoedro, che feno Jet, fi formeranno fieifeperficie quadra te j^refierannoottotrianguUdi lati eguali, gli anguli d eie uh o,c he fono otto tr languii formalo otto trianguli , (jr gli refi ano fei quadrati , Cr queflo corpo ( come s'e detto )hafei quadrati , ^ otto trianguli di ' U eguali ,uentiquattro angulifiretti altretantigiufti piani, ^ dodici fidi formati da dritti, (jr larghi , ^ lati uenttquatro . La (piegatura di queflo corpo e nella figura 6 > Ma la pratica defcrittione del perfetto}
quefta. Sia fopra'l centro z., fatto uno circulo , nelqualefiadefcritta una fope'r ficte di fei lati eguali ^, c, t, f. g-^ é'fiano tratte le lime )>c, bf, c o cdi
> & 4g^ lequaliformerannoun al / trafiperfictedt fei lati eguali \i\m'ikn, per li cui punti \y, i> V.^ ì, m, -n, fiano formati i trianguli di lati eguali , h.ìk\, \mn, ^cofe fihaueràilper fetto > i 4:ui otto trianguli feno , k ì ^ Jmn, Iicb;, Ibd^ idfj ^g^^ cmcj ^ i fei quadrati , cheA% cmbìj bhdi^ dlfn^ ^^S^^-* ^ cnij co?neì nella figura "1 . Nellaqua le e anche il digradato. C Le alte'^e di queflo corpo fe eglifi ha da pofare con la bafa triangulare ,fi trouano a queflo modo. Sia la line a d partita egualmente nel punto o, ^ fia tratta la linea mo. laquale taglierà In, in ^,fia poi fopra o. pofia la linea fdo, fopra centro , ^ ifpacio df^ fia tratto il circulo tlquale taglierà ^à, nel punto r, ^centro ^jfi>acio r o, fia tratto l'arco ,il- quale taglierà fr, in c\y ^quefii punti, ò, forni piani , ^ le alt e^^e dd propofio cor-
po, perche tirata la linea ^r. tanto fera tra p r. quanto e df. ^ di. e la line a laterale d'uno quadrato , ^ il detto corpo e tanto alto mila fu a prima alt eT^a , quanto eia linea laterale de ^n fuo quadrato , ma non adangulo gii(fìo , pero p i* . non ì ad angulo giufio . fipra p. ^ per- che nel detto corpo tanto è dfiante la ter\à alte'^a dalla feconda , quanto eia feconda dal piano o . pero il punto q. che e tanto diftante dal punto r . quanto e. x .dao. egli farà U ter^a alte^- ^ ^ . Adunque fe nel piano P . fera pofto il triangulo I m n . nel piano r . lo efagòno b c d e f g. ^ nel piano q. iltriawgulo \\\k . (^tratte poi le linee da gli anguli de i detti trianguli agli anguli dello ejs^agono , Cloe , Id. Ib. nf. ng. me. me. ifib. he. id. if. k^. kc.fi for- merà il detto corpo digradato, che poja con la bafa triangulare .come fiuede r,ella figura 7. digradata. Ma pofando conia bafa quadrata,, egli fi può digradare in due m(di . La prima col corpo cubo già dimofirato , dalquale egli nafie partendo egualmente Of^ni fio lato , ^ ti^ r-andoji le linee al termine di quelle parti , cioè da una diufione all'altra tic he firiadefinuere quel corpo nel cubo. La feconda uer amente conti perfetto contrafcritto , ilqude è molto faci ledi confideratione , ^ di pratica . Sia adunque dato uno circolo fopra'l centro 1. nelqualefia no de fi ritti i quadrati bcde. ^ fghi. uno di dentro l'altro oppofitamente , ^tale ferà la ^ piani a perfetta del predetto corpo ,
Vv II prime
Il primo piano); il punto l il fcon do ci. il ter"^ g. pero fi ne i piani i . g . fera formato il quadrato b c d c . nel piano <J . ritrouati i punti del quadrato f^g h i . poi tirate le linee y Iii. de. ce. id. cii. eh. iie. he. Sf. cf. fb. fc.
• tig- g-b . gd. y^" hauerà for- mato il foprafcritto corpo , come ap- pare nella figura 8 . digradata , doue i piani ì. d. g. fino gli iftesfi , che nel perfetto e la "li-
nea idg
CMa fe nel cubo fi hauefie a de- fcriuere il detto cor^o > con ?nolta facilità egli fi potrà fare operan- do fecondo le regole già date . Et perche meglio fii conofcej^e ti corpo dal cubo feria bene fare il cubo di colo- re differente dal corpo ^ o più ne- ro > 0 meno fecondo , che ci tornaf- fe meglio . Come fi uede nella fi- guri 9-
L
j/ adombratane del predetto cor- po può trarre dal fuo digradato aficondendo quelle parti , chi deono efierafcofe , ^ la- fidando uedere quel le i che fono op' pofie al- l'oc-
thiO' & ombreggian- do doue fi ue- de.
IR
r £ R Z A, 6%
DBSC^ITIONE DI VN'ALTRO CORPO IRRECriARE, chenafce dal cubo, Cap. IX.
ASCE anche dal cubo un altro corpo di otto foperfcie triangulari ^ fèi ottangule . Jt forma in quejio modo : Ritrouail centro d'una fi- ferficte del cubo 3 dal centro ritrouato tira una linea ad uno de gli anguli di detta fiperficie , lacju al Linea riporterai da ogniangulo fuo /òpra ciafcuna linea laterale ^ ér doue quella termina j leua ogni an^ulo fido dal cubo , per eh e ^i anguli leuati fanno otto trianguli j ^ Jei fi- perjìcie di otto anguli , e lati eguali , ha lati ^6. Anguli fidi 24. anguli fir etti piani 24. (^larghi
Za /piegatura di detto corpo e nella fgttra i:
Il perfetto fi forma in diue modi, perche egli fi pf4o pofare >&conlafoPerfictedt tre. & con ladiottoam^ulijeeglififermaconquelladtotto.fopralcentro fi faccia uno ctrcub.ne aualenanotnfcritti due qjtadraticongli anguli loro egualmente dtfianti . bcdc, f ghi. qr*^' fiiformamladettafiperficiedi ottoUti. klmnopqr, laquale coni punti fi'^'/P'Xrr Wdelcorpopredetto. gliottotriangulidelqualefono(km. Ign, pn, ér quat ro altri
cppofliaquefti. perche fiandofoprdl piano, uno triangulo e oppofto all'altro. ^aleUnee ij. fVcg. eli che tantoUmfiuna quanto fino per quattro feperficie di otto lati. &i punti k A. m,n.o,i^,c^.r. fono due altre perche urne oppofio ali altro. ^ j r..h,.U
Lealte-^e&i piani fimi punti o , m . fiche fé foprat punti h.J . fiera defiritta la jr detta foperficie di otto lati . & fioprai piani o, m, ipunti g. h , 1, & tifate le
mf. il ng, pi, ri, qflvT oL fm. gi, gn. ip, ir, hq, ho . fi formerà d detto corpo j come appare nella figura 11.
F ^ K T £
iMa fe il detto eotY^oJifofera nel pano iConUjiguratriangu^ f^tto ' mo circulo di tanta circonfèreh\A 'j che defcrittein quello due fofrejìciedi feilati ineguali bcd Up^ é' ^^»inici* egualmente dtjiantemna dall'altra Je loro linee mimri Jiano eguali alla
.fied^\, ^ le maggiori alla linea kc^, del perfetto della figura \\,fiano poi tratte le linee ki> ebj flj phj & nOj Jequali formeranno la foperjicie di fei lati eguali noqrft^ nella- (juale fiano infcritti due triangult dilati eguali nrf^^ oqt;, fiam poi tratte le linee pm> bi^ hhfc, ^ cd^ lequali formeranno un altrafoperficie di fei lati eguali, uxyz^a^ nellaquale fi ano infcritti due trianguli di lati eguali nzSc j crjixz, fiano poi tratte le li- nee Yz, tp^ \\c, ài, mh nii, ox^ j rzj ti, fSc, fera defcritto in tale modo ti ^ perfetto del detto corpo . con la bafa triangulare j i cui otto trian^uli fanno kln^rniq dcf, ght, pliT;, cof^ u2&^ 2j i fei otfanguli zun/'efp^, xj/qmlkeoj n^Tdimla, j/^thcdiq^ &zrbglicf^ 2xofpbqt. come f ucde nella figura iz .
Le alt e^e / piani fi trouano a quefto modo . Sia tratta la linea a 2 ^ laquale taglierà 2 nel punto ^. ^ fa diuifa la linea gli. in a. tratta la linea t a . ^la linea :}j 2 1 a . y?-^ r//>/'<7r tata qui fitto nella figura 1^ . nella linea BC DE. foprai punti dellaquale fiano dri'^ate le li- nee F B. GC. N D. LE. ad anguli giufti ^ fopral punto D. della figura 11 . (f ijpacio xy. della figura ii. fa tratto l'arco M. ilquale taglierà GC. in M. centro M. e fpacio u:;r. fta tiratoi arco N. ilquale taglierà F B. in N. fopra'l punto E. della figura' i-^. fpacio tiy.fia tratto l'arco o . che taglierà FB. in o . c!r /opra o , /patio yxTf^.fia tratto larco Kche ^ taglierà GC. in p ■ ilqualefatto centro con lo fipacio xy . taglierà con l'arco ^ la linea N D.
& P^^ lo p^^to N . centro , é' fi^atio n r . fi farà l'arco R . che taglierà L E. in R . i quali punti D . M . N . 0 . P . fono i piani deidetto corpo . pero fie nel piano D . ferà de- fcritto il trìangulo xy^'. (^in M . i punti del triangulo Oqt. (^m N . i punti del ìefiagono g. h. i. m. e. f. ^ nel piano o, i punti dello efagono p.b.c.d.I./f. nel pi ano P. ipun ti del triangulo nr . é- nel piano ^ il triangulo n2&. e tratte poi le linee un. zr. &f. rp. rb, pb. fc. fd. de. qm. qi. mi. tg: tli; gli. eh- ox. ^ c^y . ferà digradato:, comeap- pare nella figura I2. digradata perche tratte le linee D M . M N . E 0 . N R . 0 P . P £^ le lince DM . ^ ^ ^^fiono eguali laterali del predetto corpo . D . e il primo piano M
l ultimo. Et M N:.'^ O P . fono eguali., ^ fono le linee diamet> ali dei trianguli del detto, corfo^j ^ M. e ilfec ondo piano jdr F - penultimo cr EO . (i- NK .fono le linee dia- metrali
,4 m strali de gli ottang 'ili N- eil ter\o piano : Et efendo N R . eguali ad EO.il punto O, Sera il quarto piano , come con diletto potnai conofcere hauendo il fido dman"^ a gli occhi . fiacconàera terrore dello intagliatore nellat figura i z . con le regole dette ,
3
PARTE
DE se RI rr IONE. E S P I E G AT V R A D' V N 0 ^ altro corpo j che nafce dal cubo . Cap. X.
ASCE un altro corpo dal cubo, partiti che feranno i latifuoiin tre partì , é' formati m ogni Jùajuperjìcie per li termini di dette parti cinque quadrati, & quattro quadranguli ,dei quali cinque quadrati ildime^o e maggiore , come per lo ef empio apparerà - dagli angult del quale , maggior quadrato a gli anguli degli altri quadrati fi tirano le linee , é' fi formano otto trtanguli di lati eguali, (jr dodici altrif migranti quadrati , érferà defe ritto nel cubo ti fopr afe ritto cor- po ,ilquale nafce anche dal corpo formato di otto trianguli , é' fi^ quadrati partendo ogni lato ^ egualmente in due^parti,é'leuando gli anguli fidi, doue terminano dettepartijlqual corpo , (come se detto ha otto trianguli, diecmto quadrati di lati eguali , di cui gli uentiquattro anguli larghi fidi, fono formati da giufti,&dajlr etti, percioche ha anguli piani ìjirettì 24. anguli giufti piani 71 . c^lati^^^é* allafua Jpiegatura e alla figura 13 .
t
^uefto corpo J! può pofare conia foperficie trtangulare ad un modo, & quadrata a due . fe con la qudrata prima , forma nel quadrato a b c d . una foperficie di otto lati eguali c f g h i ^ 1 m . come appare nella figura 14 . pam poi tirate le linee e I . f m . g li . ih. ^fi for. meranno cinque quadrati , (ir quatro quadranguli A quadrati fino . aegn. fboh. nopq. ip ci. q ^ m d . / quadranguli e'no. gnip. ohqk.^ pqlm. ^ quefto ottangulo in tal modo partito . è in uno de i detti perfetti , tlquale ha la bafa quadrata , i cui otto triangulifino c g n . foh.i^I. /éqm. raddoppiati , perche L'uno cade fopra l'altro . / quadrati fono i quattro fopra
detti
4 dstti quddrmguH , é" quadrato . n ò p q . raddopUtt , c-he /tmo dieci , perche um cade faprA auro , o^it alni ot^o firAd t lati del detto ottangdo y che fona infòrmna quadran i8. I piam pm fino ipmti c. i. g. a. in modo che fe fipraesfi piani c. a- fera digra-^ dato ti quadrato n o p q . fopra i piani i . g . ì'ottangulo e f g h i k l m . ^ tirate poi le linee ne. of. o'i. qk. qm. pl.pi. ng. ce. ff. hK. /k. mm- U. ii. gg. en. ga. fo. ho. ip. Ip. mq. ko^, firà aliato, (^digradato U detto corpo corne appare nella fiiH- ra 14. digradata.
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ì Wì. |
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t4
i\v "CJ^/ fe per lo quadrato a b e d . f<?;^<?, s e dette) fera defcritto il ciÀo fopra detto piano C. noni dubbio i che efio. cubocirc^rfcriuerà il detto corpo j Adunque fi uede apertamente j che il dettò corpo dipende dal cubo: ile he fi prouaj perche tirate le diagonali per ogni fuperfìcie del cu- bo, leifiefie (erano diagonali , di feifioperficie quadrate del corpo circonfirittodal cubo . ' fecondo perfetto con la bafàquadrata ^ fi fa a quefio modo ^ benché altrimenti eglifipof fa fare . fi a nel dato quadrato ab ed*, infcntto- ì'ottangulo . e f g h i k I m . fiano poi tratte le iitiee^zX. fm. gh. -ik. fera formato il quadrato nopq. fiano poi tratte le linee Gk.
& fi formerà il quadraf^ xit^x , fiano poi per li punti f. ^ t. tratte le linee xz. ^ y&. egualmente difianti alle linee el. ^ fm. (^r fi firmerà il quadrangulo yiyz Se. fiano poi partite egualmente le linee e ; . nel punto 2 . 1 m . nel punto :p . ^ fiano poi trat- te le linee in. 50. pq. gx. yh. iz. k ik ... CT fra deficritto il perfetto del dett» corposi cui punti Tf,. u. p. f n. r. ^ . fono i fiioi piani , gli otto trianguli a. no. pq:j5. raddoppiati y che fono 4. perche uno e ofpcfto all'altro . gli altri quattro gx. 12. ^ k &. cioì le linee diametrali di detti tria/izuli .
Ile he fi proua ^perche formato il triangulo di lati eguali :> fopra la linea laterale del qua* drato nopq. la linea fua diametrale e tanto j quanto g x . / dieciotto quadrati fino in tale modo xign. zyoh., gnip. nopq. ohqk. ■o^k'^SL. che fono fiette gli al-
tri fette fono oppofii a quefii . gli altri quattro fono le linee di detti quadrati, gi. hk. xj^. z & . cioì' g i . h k . laterali ■ ^ Se. le diagonali dt detti quadrati , come fi prou/t
perche efendo il quadrato nopq. eguale al quadrato rftiu. la linea diagonale di uno f e egua^ le a quella dell'altro . ^ \y . e la linea diagonale del quadrato rftu. come apertamente fi uede. Adunque xj> . e la linea diagonale del quadrato nopq. ^ ì chiaro anche che la linea gi. eia linea laterale . Adunque fe ne i piani ^. é* ponerai il quadrato nopq. ér ne i piani 11 . ^ X . i punti i. é" ^. ne i pian i.n. ^ p . i punti g . h . i . k • nel pia no f. i punti. XJ/Z&. ^tirerai le linee oq, nq. pR. qR. ng. pi. qn.oh. gg. ii. kk, hji, ^i. h^.gi, hk. ip.ga, kc^, \\Q. Oi, ni. qa- pR. gx. xg. iz. zi. xi.
^6
p A R r ^
4x. Rz. ziK- 27. /i. h7.7h.R&. &R. k&.&k. fi hauerà il digradato corpo eofne g appare nella figura 1%. digr adata laqualeì fiat alenata da unapiantamag^ioreddfuoperfetto.
C^a il terT^ perfetto yilquale giace con Uh afa triangolare , fi forma in quefio modo. Sia fopra centro fattoti circolo hyd^ tanta circonferenza .chela linea gm. del fecondo per- f etto formi in efia due triangoli di lati eguali , con gli angtili loro c, d. f, ^^^/i?^/- ^^f/^/f dtftantt.per liqualifia formato lo efagom-^-c-^à^ib yfia dato fopra Idetto centro a, un altro circulo di tanta circcnferen^a , che le linee, no ^ ^ del detto perfetto formi 710 in efa due ef agoni dt lati eguali ! h i m n 1 k ^ o t f r q p ^ egualmente diftanti con gli anguli loro y tn modo , che'l punto fa tanto diftante dal punto , e , quanto e diftante il punto dal punto h.fiano poi tratte le linee , on/pm. kt^Jf^ lequali formeranno mi altro efagono di lati eguali ly&jzx. nelquale fiano defcrittii tr languii u2&^ ^y^> é' fera defini- to il terT^ perfetto ^ i cui otto triangdi fono u z & . t > h e i . t e f ^ n g m ^ r d q , H k , p b o, i quadrati dieciotto, utf&^jynmz^ &rq2j zlkx/zpou;. ^^'"^y etuo, cn/i^ gr&T^ di 2 m ^ fp q 2 , b h X k w quali fono dodici , gli altri uer amente fono le linee laterali dello efa- gono. ^c%à é- fono m tal modo h\iì^ , fqdl^ ^m^t , ^{cn, Qtic, Qohh, come app4 re nella figura 16 del perfetto ^
'{Ma
K
M
r E R Z A.
61
A C^f4 -per rìtroMarei piani fia tratta la ttnca ti, laquat taglierà hi,, in ^ xjf , m j^, Jìa data altroue la linee C D , fopra Ujuale Ciano ripportatiipunti é'-fopra i punti e . a ^ u ^ Jiano tratte le linee ad angulo giufto e C g a ^ m u ,Jia poi per lo punto J^t eentro i é'fpacio hi^ prefo dalla pianta i6 , tratto l'arco che taglierà , in n^fiafoiper lo punto centro csrjpacio ot, tratto l'arco che taglierà in ^ per centro e Jpacio zTf,, fia con l'arco ^.tagliato fo^ in^j ^ centro [pacio ,fta con l'arca <\, t agitato grij in ^ dr per centro , ^ ijpacio ot, con l'arco Jìa tagliato mu, tnx:, i quali punti M , N, O , />_, fono i piani ritrouati^perc he tratte le linee
\ R no, np^ ^ R > la linea T^N ^ ì tanto, quanta thjato d'uno quadrato di dettQ
corpo, ^no, e tanto y quanto et;, linea diagonale del detto quadro , N]^j ^ fì^ mtantOj quanto q R ^ linea diametrale d'uno triangulo bafa di detto corpo - ^ ^Rj e tantQ M quanto ot, diagonale predetta. Lequali tutte liuee circonfcriueno il detto corpo di mO" do che yfe nel piano A,ponerai \x> de, nel punto Nj le linee c^r j £t>o^»
dr nel piano o, i punti efg, dr nel piano p. i punti \> , & nel
piano ^ le linee nin^ ih, kl^ dr nel piano Ry il triangulo sLyx^ dr tirate poi le linee zq^ zp^ Rr, ^ uo^ ut^ àc^y dr^ cf, ct^ bp^ bo^ fp^ fqj gr, gf^ eo^ et^ dl^ dm^ ci, cn. bh, kx^ xxiiy njf jijf, fkj flj gm, gn^ eh, et fi formerà il detto corpo j che giacerà con la bafa, triangulare y come appare per la figura iSj laquale e fiata fatta maggiore , della fua pianta perfetta, dr deue efe- acconcia in alguni luo-^ ghi dalla diligenT^^ di chi legge ^
J a %pìegaturd
68
PAR
SPIBGATVRA E DESC RIT che nafce dall' octoedro .
r E
T ION E Gap
r> I V N 0
XI,
CORPO,
Alt octoedro -partendo i lati firn in ttre parti eguali j ^ leu andò uiagli angulifidi, oue terminano quelle parti :,najcemu altro corpo molto ftmile al fecondo 3 chena^ fi e dal cubo i perche nelle foperficiee ^ lati ^anguli fidi > anguli larghi piani nel numero fi accorda con quello , Ih e ne he quello h abbia otto triangulari fiei ottangule fiuperpcie , ^ quefio qua&dratifei , ^ difeij otto . (jr quello firetti pia, niuentiquattro i ^ quefio giufii : (^quello arguii piani uentiotto j ^ quefio , quarantaotto . ^ quello lati trenta fii j ^ quefio l uentiquattro formato di larghi ^ ^ di gmfii j come fiuedera per lafua fuperficie t (jr lafiiegattura è nella figura 17 . é' doue e lettera o mole efiere uno quadrato .
6?
H
J^efi 0 corpo può pofiarc , ^ con la di quattro , con la di fiifoperficie . fe egli giacerà con la quadrata . Siam dati cinque quadrati eguali a b ccl c . a e b . b h k d . d m 1 c . c i g a . ^ fiano tratt e le linee fh. km., li. (^-ge. fif^''^^ formatco /mo ottangulo di lati ineguali e f h ^ m 1 i g . S iam poi partite le liuee f h . km. li. g e . egualmente con ì punti n . o . p . q . ^ fiano trat te le linee y no. oq. qp. pn. nq. . lequali nq. q' o \ . fitaglierannoinfiemc nelpunto
t. a qucfiomodo fiera formato il perfetto del detto ) corpo . Ma de i fei quadratti due fono il qua drato ab d c . perche uno quadrato cade /òpra l'altrro . ^ gli altri quattro fono le linee f h . k m. 1 i . Cir g e . che fono le diagonali di detti quadrati )>perche tartto è la diagonale a d . quanto cia- ficuna di dette linee y fh. km. li. g e. Ma gli ottto ef^agoni ^om a c p ig n . c d 2 mi p . d q ;é h ob. bofena. doppi , perche uno cade Copra l'altr$^ . Ma che i detti e fiatoni fu(^ero di lati egua
Ili fefificro perfettamente defcrittij egli fi prouda coni quadrati predetti , per la linea ab^ laquale e doppia con ac. che emendo doppianonediubbio^cheduto efiagono tratto di lati eguali farebbe am he dilati eguali conciafcuno di detti < quadrati. Egli fi proua anche ^ per che fat- to fopr a t . centro i e fiacio abj // circulo \\, é"' in quello aefi ritto lo efiagono dilati eguali n 2 S«: 2 . tratta la linea n 2 . tanto fera n 2 . . quanto np . come fi uede nella figura 1 S .
/ piani.
M
J
I pani, le altere di queflo corpo .firitrouano a quefio modo. Siano tratte le linee i é' in modo che fia angulo giufto.é'fia anche trattala Linea ad angulo giujio fopra \y ^ é'f^en tro \,Jpatio n^jfia tratto L'arco B, che taglierà gì. in B.^-fia tratta la linea BL. che ta- glierà i^ y , nel punto A, fia poi per B. cemtro ejpacio BL, tratto l'arco che taglierà ^Uin D, é'fia tirata la linea B Djaquale staglierà ny, in C , i quali punti fimi fuoi piani ^ Cioè \, A, B , C y Bj in modo che fe nei piani, \, ^ D, fefà defcritto ti quadrato abcd^ ^ net piani A, ^ Cj punti nopq. nel piano B. le linee gì, ìm , k fe^ e tratte poi le linee an. bo^ cp^ dq^ ng. ne. of^ oli^ pi^ pl^ qm, ^ ip^ mq, ko^> ho^ {o , cn^ g iij ip:, na^ ob^ pc^ , fera digradato il corpo foprafcritto prefi da una pianta maggiore > come fiuede nella figura 1%. digradata qui fitto. •
ò
7q parte
CMa fe il detto corpo giacerà con la Jòperficie di fei lati ,fia tratta nel perfètto fopra pofto la ^ \ linea nz , ^ altroue fopra l centro ^ ^ tratto il circulo di tanta circonferenza , che la linea nx, ^ u 2 j del perfetto feprafiritto formino nel detto c ir culo due e f agoni di lati ineguali i ma egual mente dtjtanti con gli anguli l(?ro cioè hcdcfg:, & hiklmn;, fi ano poi tratte le linee bm^ eh ig^ krV, dli , ^ le quali fitaglierannoin fiemenei purtti p ^ q.. r ^ C Siano poi trat te le linee o p . p <3 -> <J r j x^A^> t o , à^fi formerà uno efagono di lati eguali^ o p q r f t ^ ftano poi tratte le linee Kb^ ci„ kd, ^ mf^ gn^ (^haueraiil perfetto del detto corpo A cui fei quadra tifino bcop j ii<qp;) 4erq^ Imfr^ fgtC pnlit^ De gli otto ef agoni due fono o^qrCt^ per^ che uno cade fiopra l'altro in cjuefta giacitura, . gH altri feifonno bcipoh^ikdqpc^dclrqkj Imifrc^ fgnt fm^ gnhbot,
Ver fapere ifi^oì piani ,fia continuata f g, in \Xj ^la linea ft^in^,^ per lo centro ^^fia Ji ciò iOi , fia tagliato gu. iny, (jr fiatr atta la linea y^y laqu ale taglierà nm;, im^ ^cen- tro y yfiacio \t. fiat agliata x. in &^ qHefti punti >Ì> i^y M> fono i piani di quefto corpo, perche trattala linea ècy , ella e laterale delquadrato ^cjr y^'^ ì diametrale dello efagono . Co- me fi uede per la figura \ y nellaquale per errore manca la linea f t j prolungata al punto \, Adunque fé fopra i piani > ^y & ^> fera digradato lo efagono opqrft ^ fepr al piano , pofia le linee gf^ ed^ cb^ & fopra l piano y y le linee mh ki^ hn^ tirate poi le linee t^, {m, v\y c{ky pij oh, ng, hb^ mi , \c , kd, ìc y gtj f f , er^ dq, cp, bo., fera digradata ti detto corpo , che giacerà con la bafa efagona fopra l piano , come dimifira chiar^meftte I4 figura 19, digradata » benché ella fia maggiore della pianta pofi a da noi ,
'jf* Jf Z A, 'jf
A SPlEGJrVRA r DE SCRirr IONE D'VNO CORPO, CHE
nafce dal dodecaedro) j ^ dal icofìedro . Cap .XII, ^
AL corpo di dodici jCoperjìcie di cinqtie lati dal corpo di uenti foperfcie tri. angulari ^ nafce un, altro corpo jilquale contiene le fuperfcie Jati, ^ anguli piani dei predetti empi, perche egli e formato di dodici pentagoni .é' trenta, lati del dodecaedro , é' di mnti triangoli e trenta lati dell' ic ofiedro . Onde ha. foperfaie trentadue .. Lati franta , anguli largifefanta . fir etti ff anta pia^ m é-fodt 3 o .formatti da detti anguli piani . Et fi forma partendo i lati fi del- l'uno come dell altro corpo in due parti eguali poi leuati gli angidt fedi ,oue terminano quelle ^ parti , perche gli anguli fedi del dodecaedro sformano uenti tri anguli ^ dodici pentagoni , é- dello icofiedro dodici pentagoni , c^r uenti trianguli j dr di quefto corpo la piegatura e nella figura 20 .
^efio corpo ha due giaciture , urna con la faccia triangulare ^ l'altra con la di cinque lati^ pero fidefcriuera con luna , é" con l'atltra prima con quella di cinque lati , come fiuede nella figura ^l> fi nel perfetto j come nel digradato , con la defcrittioni dei piani é'delk alteZze del detto corpo .
C
Sìa adunque fepra'lcentro a, fatitoilcirculo nelquale fta deferiti a una fuperficìe dì dieci latieguali» BCDEJPGHIKLì & fiam tratte U linee BF» CG^ DH. ELy EK,
GL,
7*
PARTE
GL, HBy IC, jCDy LE. ^efie linee fi taglier<anm ne i pmti d . e, ^
i, k, \, iqMalilegan wficme conlmee alternamerit€.fara^^ //Icegi, (^\>zì\i\^ fi ano poi taritele Une DB^ C ji , DF, EG, F H /g I , H K , IL. KB, IC, le:^HaUfitglieram9 net punti, in, ix^ Siam poi tratte
leltnee vaB, mLy mK, mb, n^, ne, n L oC, OD, oà, oh, pq > pc^ pc^ q/-, q , qe, qd. r/', rG^ rg, re, f (7 , fy^^ fh, (F , tH , t\, t\, tg. ut. wK , uk> uh, xA", ^L, xl, xi, & fiera defcritto ti perfetto del detto corpo . i cm dodici pentagoni j
uentitrianguli chiara?nmte fi uedeno. giufiamenfe di/degnato . perche tratta la linee xt, nel pentagono kxìtl, (jr tratta la 'anea hi , nelpentagono\hàih , tanto e \t, quanto hi, ^ tanto e, kì, lato del triangul^ kwì, quanto e^\\, lato del triangulo \xk\, come ap- pare nel perfetto, della figura 2 1 , -molto apertamente .
/ piarli, alteT^e di quefio corpo fi trouano in quefio modo . Sta tratta la linea i d> laquale taglierà kh., nel punto y, fia poifiopra trattala linea M K, ad angulo giufio.&fiopra u> la linea wV , é' fiopra K, la linea P K,fiapoifipra z^, fiatto uno triangulo di lati eguali, czz, il~ quale fia partito egualms?ite con Zd, nel punto & , fi [opra y , centro , e fiacio zdc, con l'ar co R j tagliata \x F , in R, ^ fopra R, centro con lo ifitefio. fiacio fiia tagliata , in T » ^ fiopra T j centro con lo ifitefo . (pacio fiia tagliata u.F , inV , (^fiopraT centro V , conio iftefio fiatio fia tagliata M k , nel punto ^ quefii punti r :,R,T , V » ^ fiono i piani del detto corpo .
Adunque fie fiopra ^ fiera fatto , (^r digradato il pentagono ilccg, ^ fiopra l piano V , i punti X, t, p, é' fiopra T, la fioperficte di dieci lati , BCDEFGH IK L, (jr Copra l piano Ry i punti {, q, o, nel piano ^ , ti pentagono kh d ^ h , clr tirate
le linee, hu^ ku, km, bm, bo, do^ dq, fq, f f, hf/ idi. uk. ÌH. (G . g f. qe. od Oc. m^. Mi. tL. tu. rG. rF. pe. po. ne. nB. xl. xk. ti. tg. rg. re. pe. p c . ne. ni. X 1 . xi. fi formerà il predetto corpo digradato come appare nella figura 2 1 .
Et perche meglio fii conofica , che il perfetto deficritto ha in fe i dodici pentagoni u enti trì^ triangult > i quali per le molte linee , che gli hanno formati non fi lacfciam a pi^no difc cernere ^ Jiedefcrim il perfetto filo , nella figura aa.
Xl perfetti
TERZA
Vi
7*
P A R T ■'■E
jl perfetto del detto corpo ^ che giace con la foperficietriangulare,fi formaìn quejìo m'odo. Sia nell' altro perfetto tratta la linea \ H ^ ^ per lo centro ^.jpacio b f. del pentagono fipra dimoftrato i fia fatto un ctr culo à'fi^ ^- & irs. quello fi ano ritrouatii punti d'uno efiagono di lati eguali B . C , D . E . F . G . é' fopra detto centro A. fia fatto un altro circulo a. di tanta circonferenza j chela linea \H , dell'altro pterfetto formi in e(?o due trtanguli dilati eguali ^ egualmente dtjlanti conglianguli loro . de glli anguU dello efiagom li b c d e f . fia poi per det to centro tratto il circulo . h. di tanta circonf eretica che le Une e hi , ^ bd. del pentagono dell'altro perfetto formino fopra detto circulo t punti di due ef agoni di lati eguali j egualmen te difianti con i punti loro da i punti de i detti trian^uli . gìi'Mm. no^c^ri^fiapoi dato un al- tro circolo > ér fi^ tffopr al detto centro A. che ìa linea h A. fopra detta in quello formi due trianguli tux. ^ yz^, eguali , ér egualmente difianti con gli anguli loro , é' tn tale modo egualmente dtfìanti \ che tratte le linee t g . t h . 2 n . 20^ u i ^ u k ^ & p j & q ^ x U x m . y u / y f ^ quelle fi ano eguali . Siano poi tratte le linee Bàj Bh:, Bn^ Ba.^ Co., Co^ Ci, Ce, De, De, i)k; Z)p, De, Ec, Eq, Eìj EF, Ff, Fm, Fr, Eh, Gh, C^, Gà, hgj dC àu, ah:, ai, ko^ ep^ ck, eh fq^ fr, hm, gh , no, ik, p q , 1 m , rC, dr fra defc ritto il perfetto di detto corpo • tjuoi dodici pentagoni , & uenti trianguli fina dà fimanifèfti . Auuertendo pero , che doue s'e detto di fopra i trianguli a b c > ^ d e f ^ non e nccefiario formarli, ma folamente ritrouare i loro punti , pero non fono formati ^^l perfetto, come appare nella figura ^s .
TERZA
75
I ftam . é le fte^^ej; -, troiano m que^ffo modo . Sia nd pentagono delt altro perfetto , dotte lahneaW. tagha zi fi. dtc,tlft<nto (^fot fiatrattaUltnea vu. é-ttt Lipro oZa ta chetagU zSc.t»^. e fia conttnuata n.fiLlfurtto k. del ctrcfo D, /a^oitrat
& /opra k , ìnt k , leqttalt Imee tutte quattri fiam ad angdogtujto {òpra la Itnea k r lìa i>'oi [opra K ^entr^opactoy^ del prtn,o perfetto. trat%l aia p'/.ch^^ ta^ter^lù Vi àrcemro P & facto à^ del prtmo perfetto .Ja tagliato Me. ,n 0, > centri 0 1 fau %''"'f^P/'''''ff^^' « &co»4redetto(l,ac,, ^éTentro R . Sta%Ì taMS^trtl, & centro U&tjpactopre detto. f,a taghata \o. tnT, é centro rf/r fi/f"oyz. predetto ,fia tagltata iVz, in V,. érquefli punti P. 9. T v a
B no tp,ant del detto^orpo. pero fe nel prtmo piano ^. fera digradato Utrtan.do .
fipra P leltne no, pq, rC. é-fopra ^ , pu„t. i.iUfipra R, tpunttici j, &fipra tpuntt ^, h. c, & fipra T. le Itnee ik. Im. hg, ó- fopri V , ti tna^^ gulo nx:,, tirate leltnee.^s th. ni. uk. xm. xh gb, gG. hb. ha, mb. mF. lE. le. la- ,c, kc. kd. BE. bg. ab. ac. cD. bd. hn, co. cE. Se df Ef
la tr
i^f. tr. (7g. Gd. df. dn. co
datoti fredmocor^o. come e nella figura 2^ .
ep.tr. tcj. az. oz, q&. ry. , fera digra^
P A It t M
SfliGATVXA. Et DESCRITTIONE D'VN'ALTR
Seilccrpo,Ì4ceconUfaccUdiecÌ4nguUreJlf>rfimf^^^ ^
\
r E K ,n A,
^ fòrmi iìee eUtì , , Altri dieci alternamente , é' fi'irio i lati tratti da ab^ 5.tf> 1>^> 9^iOj ii.it* i3^H, ^.i6. 17. i8> 19,20,
77.
& i tratti da
Ve, cadino trai punti ii> ^ 8^ ouero 2^ ^ ouer» 14, ér 17. Siano poi tirateleltnee %r, rb> bn. nc^ cf^ fa> do, oc, te, tf, fp. pg, gu, uh, hq> qi^ ix, Ix, iTm^ ma, r>^> i\G , ÌB, k>H, tC ^ p/. uD. c^K . x£, m F • Ai, Ai. G^. G^. B<. B6, Hf^ C9' Ciò. Lit, Li%. z>i^, Di^. K 1$ . K 16 . £17. E
-Fip.fjo. a. ^. 4.5.(^.7. 8. p. IO. II. 11. i^. 14. 15. i5. 17. 18. ao. i. <^>. /?ri defcritto il detto perfetto come fi uede nella figura 25,
P^r y5/><rr<r / piani ^ (^le altere di detto corpo . fia fopra la linea ih, del perfetto defcritt^ motriangulo dilati eguali, ikl. (jrfa tiratala linea ql. laquale taglierà ih. nelpiano y. fa poi continuata qk. alla linea 15 . 16, nel punto. \. fiano poi tirate le line 17. i^. cr xu. liqualit agiteranno Iq. in z. (jr q^. &. fiano poi ripportati i detti punti \, k. 2. <j. &. y. altroue fopra una linea, conle fue lettere fopra quelli fiano tti ad anguli giufti M L, NK, OZ, Pq. RT, Sia poi per y . centro é'fifaceo ta la linee ML, in {. é" stirata la linee f/. cl;e taglierà la linea OZ . in : in V . ^ <i8c. in (^per Ì. centro ó'jpacio y\. fia tagliata Nk, in y , centro e jpacio \\. fia tagliata P<\, in ^ fatto centro z. ejpacio y\, fia ta^^ in H;, ittefti otto punti T . X. V. S, T, Z. ^. forni piani del detto
P A R r E
que fe fifrai fìani y\ é' v^-fi rà digradata la foperjìcie di dk- ci lati a b c d c f g h i k . ^ nel ■piano X . fofti i punti r . 1 . t . u . X . (^-nel fi'am V - i punti A. B.C. D . E . ^ neipia-ào F. lelinèe \. z. S^6. 9. ;io. 13. 14 . 17. 18 • n el piano S . le linee 5 • 4 • 7 . 8 . 11. 12 . 15 i^. . 20 . nel piano T. i punti F . G. H . I. K . é' piano Z . i punti m. n . o . p . q . ì tirate poi le linee bn. cn. do. ^ le altre come Ji ha dal perfetto 3 fera formato il corpo detto » come fi ueds nella fi-^ gura 2y .
si
Mi
T E R Z À.
Ì9
B
PiH fancd CI mdole, feti detto corpo da giacere c^^ faceta trian^ulare . pero ezlt bifo- gnaa:merttre molto bene. Sta adunque nel pnrr^o perfetto tirata la linee np. & quella fìa lato d'una feperficie di fet lati eguali ^é'fiprat fioi latitano rtpportat e le linee del [òpra detto ab. kc. id. & Mf^o tratte le linee per ogm lato a.n. i.i. k.k. a.a. b.b. c e a d ^pp leqtìale fi tagleranno tnficrne in rnolti luoghi, ma fpecialrnente nei punti j a ? . 5 fin ^^.fianopoitiratelelme 1.3. ^.5. 5.1. (5.2. 2.4. 1.7. 4,^. 2.8. ^.p. 4.10.' V Ìli <5.i2. 7.24. 7.IJ. 8.14. 8.15. V.I5. p.17. lo.rg. lo.i^. 11.20. 2^.13. 14.15. 1(5. 17. 18.19. 20.zr. 22.2^. 25.1^, 26.1$, zS,i9. 28.20. 2p.2i. 29.22. jo.2^. JO.24. 51.^2". 32,33, 33. 3^,.
58.59. 59-40. 4^-4t- 4i-4^- 42-45- 45-44,44.45, 45.45. 4M0. 50.51. 5 M^-. 5^-5?. 55.54^ 54-^5* J5.55. 54-^^. 54-^<^. -v,., , 42.28. 28.45. ^6-19. 2^.4p. 50.50. 59.55. come fi uede nella figura ^6 . Cera dercritto il perfetto . ^ q y
II. 21, li, 22, I2.25«
25.i5, 27.17, 27.18.
54-5 y- 5 5-5^. $6,37.
4<5.47, 47'4S' 48.49.
26.57. 58*27. 27,41.
So P A R r z
H ora i pimi fi tmeranm in quep modo partita la Imea 49.50^ nelfmto^, &fià ^' tratta la linea e ^ 1 3 j, laquaLe
taglierà la linea 22^2,5, nel funto h. j fia poi tirata la linea 6 s j, laquale taglierà la linea i> in ^ tratta la linea 1 » Ili Jì taglierà la linea \ 2.6 > in g //ano poi tirate le linee i9^30j 47^52^ 4-8^51:» lequali t agiteranno laltnea Cj, 1 2 j ne i punti . \\ ^ 1 > o , I' quali punti c> o, 1^ ia >
• ^ b ^ f ^ fiano ripportatifepra , ma linea j é' fepra quelli fiano le linee ad anguli giufli , A^, Eo, ci, Z)h, E\, Fi2> US ^ Mi, (^centro ej}a ciò b linea del perfetto ante- fritto y fi a tagliato A in ni^ Cr centro m , e [pacio predetto fia tagliata E \] m V , fi a pot tirata la linea m laqual ta- glierà G^j in X 3 & E y li- m Sia poi
tirata la linea m u , laquale ta- glierà Bo, m de, ci, in 9f (jr E)h> in fia poi, fiopral centro ^ (paci U taglU ta Fizy in Py fepra l quale e fiacio i.'ijfi taglièri H 6, in
centro &Jpaao fi taglierà mf^ m R> & R> centro fiacio m f ^ onero m u fi taglierà A^n in $ j & qnc> fii punti
9. 5. u. p. & firio i piani di detto corpo. Adunque fe nel piano i, fera digradato iltriangulo i, 5^ ^ nel piano X ,pofii i punti 7 • 9 ' ii> ^ nel piano y , i purit / 2 4. i S • - 16. 17, 20. ^nelpiano Z.
ipuntii^. l6,^^.^%,^9.3^^ & nel piano m, i punti 5^. 54^ 4I; 4^^ t^^^cf nel piano. Se, tmnti y,. 40. 43^ 48. 5 i. 3^- &nel piano 2. i pumi 36, 39.^^> 4?. 5^^ Si/dr nclpiano 5, / punti 3 45^ 4^ 53^ 54> érnelpiano tfunti 25. 26. 27^28; \o%^ ne piano\,ipuntih^. i5, il ip, ^S^&^el piano p. z/.^;.// ^^^^V^'./I/.^Ì/!
nelTTfi^ura'^e'yeglifJjaueradigradatoUdetto corpo, chegtac,^
K
Spiegatura,
T £ JC Z ji.
SPIEGATVRA, Et DESCRtTJONE DT N'ALT RO CORPO, ^ che nafcc dall'icofiedrù Cap. XIIII-
N' ALTRO corpo nafce dallo icofiedrOy ilqudehà dodici foperjicie di cinque lati eguali y ^-uinti di fei . haangulifodi 60 . larghi pia 180 . lati po . é- nafce partendo i lati dell'icofiedro in tre parti eq-uali ^ leuando gli angulifodi. one termina la parte di meT^o , inperoche gli anguli fi fanno efiagoni, come fi potrà chiaramente uedere ,fe la piegatura , che e nella figura 27 . fera ridotta in
corpo. , ■ 1- rr ^ •
Se quefio corpo giacerà con la foperficte di cinque lathegUfifara m quefio modo . Sia fopra'l centro a, descritto il circulo , nelqualefifae cianoduepentazoni di lati eguali y con gli angult alternati > egualmente dtftanti l'uno dall'ai^ tro. &fial'uno hcà^^. gl'altro ghikl. nel primo fit a trattala linea hà^fiapoida^ toaltroueil centro m. fopra'l quale con lo (paccio bc. del pentagono fit a fatto uno circulo in quello fiia defcritto l'esagono di lati eguali n o p q r f . nelquale fitano tratte le linee o r . o q .
per lo centro a. della figura iZfia dato uno circulo di tanta circenfereu^a y che la linea or. dello efiagono formi in quello due pentagoni y gli anguli dei quali fiano drittamente oppo^ fli y a gli annuii dei pentagoni predetti y i quali fono 1.2. 5 - 4- 5- 6- 7-^- 9- 'o. Sia dato u^altro circulo dt tanta circonferenza y che le Imec bc. & hà. del pentagono en^ trino ciafcuna dieci fiate nella circonferen'\a . cioè . che la linea he. fia 11.12. ouero 1 $ . 14.
\P ^ M ^
fjrU hà.Jta quanto farebbe la linea ti.i$. ouero 14. 17. Sia anche fopra'l detto centro a. M fatto un'altro circulo di tanta circonfereuT^ j che le linee del pentagono bc. ^ or, dello e(^agono entrino dieci fiate per ciafcuna in detta circonferenza ^ cioì y che la linea bc. fta tanto qf4anto la :JI.J2. ouero 3 $^3^. & la linea ov. fa quanto farebbe la linea ^i.jj* òuero 3^-37' fano poi trattele linee , come fi uede nella figura 28. f^^ defcritto il per fetto di detto corpoje cui foperficie, ouero hafe fono da fe rnanifell e nella detta pianta ^(^fe in- tenderanno meglio yfela Jpiegatura fera ridotta in corPOj et confiderato lo effetto » che ella puè fart.
J piani
T M K H j:
M
piani del fopr adetto corpo fi rif.rouano a quefio modo . Sia tratta la linea c k. Kel pentage^
centro. (<rJpacio oq, dello efiagomo feparato tagliata la linea S \j . m D , fia tratta poi la linea BD, laqual taglierà la limea 45, in C , é' centro B /jpacio BD, fi tagli V , >tn F , é- tirata la linea DF , fia tagliatala linea 16, T , nel punto E, é F , cen- troefiacio C D, fia tagliato ^ 5?^, in é tratta la linea F H /fi taglierà 16, m G^é- centro H, e Jpacio eh , del pentagono fia tagliata la line oM, nel punto érf^f- ttquefit punti E, F^ G, I, fono i piani del detto corpo Jnmodo che fe
L 2 nel
84
TERZA,
nel piano ferà digradato il pentagono bcdef. nel pano C, $ funn j , i. ? . 4- s/é nd piano i punti 13. 14. i?. 18. ^i. ^o.&nelptano
t punti ^i, 5'>> $6, ì9> 4^. 45 . 44 ^ 47^ 48 . ^^^^'^^'^ ^/^^^^ 54.57. 58. 41. 4^.45. 4<^- 49- 50- ^ nel piano t punti u. 12, 15. 16. 19. ao. 25. 24, 27, 28, é- nelpiano i punti 6, 7, 8. 9. 10. &nel piano I> iL pentagono ghikl, ^ tirate le fue linee , hauer ai tutti i piani .come nella fiyur a , dtgra
data appari •
CMa fe il detto corpo Jt poferà con la b afa di fei lati, il perfetto fi farà in quepmodo .fa u data altroueuna linea tanto longa , quanto la hcj del /òpra pofo perfetto : laqual Jia A B , é' per detta linea Jpacio , é' centro a y fiadato ti circulo , nelquale fia defcr.tta unafuperfcie di fei lati eguali , b c d e - g ^ nellaquale fiano tratte le linee b e , ^ hà.fupoi appari della linea AB, pofla un altra , di tanto (pacio quanto e la linea hà, del peatAgono del foprapo- fto perfetto , ^ fta cD, ^ centro z,fa dato un'altro circulo di tanta circonferenza , che la linea be^ dell' efagono predetto, ^ la linea CD, entri ciafcuna fei pte nella circonfe- renza di quello terminando ne i punti \\, ì, kj l, o, tqj, r , f, t , fei fiate di- co, per che tanto e hi. quanto qr, ^ kl, dr ^ofi delle altre par ti, che lire ondando la cir conferenza in tale modo, ognuna di dette linee entra fei fiate mila circonferenza . tantù
T B R Z
y# faria la linea hi;, quanto è la linea C Dj> (jr tanto /ària la linea pq^ quanto la linea be^ Sia poi pojta appari delle due linee la linea. E F ^ tanto lunga ^ quanto faria la linea tratta dal punto \\,al punto l.fopralgia detto centro a., J/a de/c ritto un'altro c ir culo di tanta cir conferenza , chela detta linea E F , formi tn quello gli anguli di duetrtanguli dilati eguali alternamente difiantt, é' fiano ux / , zdn , fa poi data una linea appari delle tre dette y che fa G H j tanto longa^, quanto farebbe unalmea tratta dalpuuto 12 ^ al punto i'-},delfo prapofto perfetto . ér fopral centro ^,fa tratto un'altro cir culo j che la detta G H , ^ la JBj predetta u entri nella circonferenza fet fiate per ciafcuna . cioè che la detta Une a AB^ fa ijZj 5,6^ j,Sj ^,iOj iiA^y éria linea GH,fa 25^ 6,9, lo^i^ 4^7^ 8>ii^ iì^Ì^. (irfopra lo iftefo centro fa dato un'altro cir culo di tanta circonferenza , che le linee GH,(^
^ CD^ u' entrino fei fiate, cioè che CDj, Jia tanto quanto farebbe la linea 13 14^ 1% \6,
17 18^ 19 20, 21 22^ 2524, c!r la linea G H j fa tanto ^ quanto farebbe la Unea 14^17,
18 2ij 22 is^ 16191 20 2^, 2415. ,f a poi data una linea ik. appari delle quattro g^apo/icj di tanto jpacio quanto farebbe la 18.29. del predetto perfetto . ^ fopra'l centro di. fa fatto uno cir culo di tanta circonferenZa j che U detta linea ìk. ponga m quello gli anguli di due trianguli dilati eguali > ^ egualmente dift ami 2^^6,27, 28^29^50^ fiano poi tiratele li- nee 14,15;, 1%>\9, 20,21^ 12,25;, 2^,^^ &C29, 2,30y^jl6j Zj2Sj U,2^ ,
drle altre linee come appare nella figura sp. ^ /èra de/c ritto il detto perfetto, le fuperficie delquale chiaramente da fe fi dimofirano .
FARTI
I piani fi trotiam in quefto modo . fia dato uno circulo /oprai centro L , che la lima A S > fia uno lato duno pentagono di lati eguali in queio format o . é- fi^ MNOP ér fa t^f^ tra t a la Une a NO, ér la linea per lo centro L, alla linea P nel punto R>ér la linea rN o , taglierà la MR, m S, fia poi nel perfetto tirata la linea xa^ lacjualtaglier) la linea in r , é'fòpra T , fid pafia laltnea 31, ad angulo gmflo conia predetta Tx.fia no poi tratte le linee i^.q, 54> > 3^ ^ 17- U>_^7> tutte egualmente difianti
conia predetta linea 31 , T , fiano poi ripportatii detti punti q, x, 17, 27, fi- pra una linea altroue .come appare nel perfetto , accio più chiaramente fi popno dimoft.rarai detti piani . preche i circuii , & le linee del perfetto farebbero confufione
Sia adunque per T , centro, e Jpacio R S , tratto l'arco , che taglierà la linea 33,9, nel punto 38. ilquale pofto centro, éfiacio M S , fi taglierà 5,4, nel punto 39 , fopralquale centro fefiacio N p,fi taglierà la linea 57.27, nelpunto 40, ^centro 4^o,fiacio M S ,fita glieràlalmea 36,1'j, nel punto 41. & centro 41. efiacio RS, fi taglierà la linea 3^,3, nel punto 42. é- c^^tro ^1, Jpacio hà, fi taglierà 3ir, nel punto ^3, é' centro ,é'^fi-^' ciò hà, fitaglierà 3 'i, 3, nel punto (jr e entro eJpActo fi taglierà la linea 36,17»
4-
4-v
44
4
%
fi
T l: K A.
j nel punto A^^y centro ^'^ , Jpdcio M' s > Ji'taglierà la linea ■^•j^ij; net punto ^6, ^centro ^6, Jpacto N P , fi taglierà la linea ^4.x> nel punto 47^, ^ centro^ Jpacio M S\ fi ta- glierà la linea ^1,9, nel punto Et tutti quefii puntt . ^8^ S9> 44> 4°^ 45 41^ 4<J^ 42^ 47^ 48^ Ci^ 4i^ fino t piani, érlealte'^e delfiopra detto corpo : eccetto il punto T, Auun que fi nel piano T j fieranno fiattti putnti h, o d, Cj f, ^ nel piano , i punti \\y \^ K^, \^ m, rij ^ nel piano ^9, i punti -j 9 , nel piano 44, t punti 5^ 4, 8^ ii^ la^ <:^^é'/ //^/^^y ^o, i punti 28^ 29^ ^Oj dfnel piano 45^ i punti j 74^ 77^ zg ^ 21;, 22^ ^ nel punto 41^ ///s^;^// ij^ jp^ jo^ 25, 24, nel piano ^6^ i punti ^5-> '7^ érnel piano 42, ipumi i, 2^ 6j i9y & nel piano .^j , i punti
i? é' nel plano 48 ^ i punti o , qi^ C (jr nel piano /^-^ ^ i punti t o g, ^ //m^ //«^^ da punto a punto . Secondo , che chiaramente fi uede nella figura 29 ^ digra data yfi hauera il corpo predetto dijfiicillim^ da efiere pofio in Perjpettiua .
8S
P A R r 2
SPlEGArVRA, E DE S C RlTt 1 ON JE D'V N' A Lt RÙ CO RP O
il quale nafce da uno cor}>o comfofto . Caf, XV.
A L corpo formato di otto trianguli, ér fi^ quadrati di/opra dimojìrato yfar tendo i fuoi lati in tre farti eguali, &leuati gli angulifodi, doue terminano le parti, fi forma ut^ altro corpo /di dodici quadrati y otto ef agoni, é' fe^ fi' perfide di otto lati eguali» Malati -ji, angulifodi, ^% , anguli giufii piani 48^ anguli larghi 96, la cui piegatura e la figura jo.
Il perfietto del detto corpo pofandofe conia b afa di otto facete >( per lafciare gli altri pcfa- m menti)fifàinquefio modo. Sta in uno quadrato il centro a> ^nelcirculoinfcriitolafiperfi- cie di otto lati eguali b c d e f g h i > nel quale fia tirata la linea d i. Sia poi in altra parte dato il circulo By Cy D, E, F> G, il cut femidiametro fia uno lato della fioperficie di otto lati . nelqualefiam tratte le linee DE, B F , fia poi dato uno circulo nella figura ^i. fopralà centro a. di tanta circonferen'\a,che la linea bc^ (irla linee DE, ui cadano quattro fate per una. Sformino un'altro ottangulo , coni punti 1> o, p, <{, r , fia poi per
lo detto centro a > dato un'altro circulo , di tanta circonferen^ , che dette linee he, DM, ^ lì entrino
M Se uuoi
PARTE
Se mm i fimi > ér le aheT^e del predetto corpo , partirai la linea u x , in H > & f^^^ l^ nea H^. Uqual taglierà de, m ^ , fia poi trMta la linea UH, ad angdo giuflo con laiinea H^. é-fopra ipmm m. é \> fiano poflele linee Hm. & od, egualmente dijUn ti alla linea MH, centro e Jpacio B F /fi.a tagliata MH, in ^ érfia tiratala linea l aquale taglierà Un, in ér veratro ^ efpacio bc. fi a tagliata M ^ in R y decentro R , Jpacio BF , fia tagliata Od^ m T, fia tirata la linea RT , che tasterà N M. m S. tutti queftì punti ^, P. ^ R. S. T . fono t piam del detto cor- po.& p. ^- ^' ^- le fuealteT^e, dimodo, che fe nei piani R. & r . fera de fi rit- to l'ottangulo bcdefghi. nei piani P. dr S feranno fatti i punti k. 1. ni. n. o. p. q. r. nei piani ^ é' R . feranno pof e le linee ft. ux. yz- &2. tirate poi le li- nee da gli anguli di detti ottanguli ai punti delle linee poft e ^e i piani p. & f- & dalle pre- dette linee tirate le linee ai ter?nini delle linee de t piani. ^ & R.fthauerà digradato il detto corpo, come appare nella figura 51. digradata . ér le Ime e kl. mn, op. & qr. nel perfetto deono efiere cancellate , perche fiono fiate pofie fiolo per ritrouare l'ottangulo klmn
SPlEGArVRA, ET DESCRITIONE DTN'ALTRO CORPO, che nafice da uno corpo compofio. ^^p- XVI.
AL corpo di fei quadrati. & otto efi agoni . partendo ifiuoi lati in due parti
eguali \ é ìeuati gli anguli Codi . doue fmfiem le dette parti , fi formerà
un'altro corpo . la cm faperficie e di 24, trianguli , fei quadrati , & otto
efiagoni . Anguli fi retti 71 > dritti 24, larghi fifiodi 36, é lati
7 2 . come fi uede nelk [piegatura alla figura 32. ' , il dettò
M
r £ Jt Z A.
91
I. detu corpo e atquAnt^ irregrdato . perche Po fa con tre mguli fòli delU hafi e^azona , Je.encMitJmtlanfam eguali. Maio dimoftreìo come egli ^tacecon la bafa quadrata . Sia
^trZ. % 1^''' 1 f" Tf'''''^' ' ^^"^ '""fi'"'^' 9%^^^^ b c a c f g . nel quale fi^
ir.M ut Linea hà, & fatto il triangolo abg, cjr partita egiialmer.te la Imea bg, i^ h, ,^ /4 imea ah. Su fapra A. centro dato une circulo di tanta circonferenU . che •.^/ITL^?-^^''''^''^ ^CBE.-éfiand centro A. dato un altro cir^
''■"V''^ formim quello t pumi i un altro quadrato. che
^fr't^oM^ jP^^^ GB IDE.
& HL i. , jiapot datQ un altro circulo dt tanta circonferen7.a. che la linea bd , /f b c, centri ciafcunaquattr^fiate^ firm^^ ^ ^ , . _
/ no poi fatti itrtanguU FKL. G M n ;\o^\ H^.fiapoitrattalaluu^^KB.ad Tr^fjf'''%^r''^ ^'P^'l^centr^ H, I. i J^a:io B K . fiano tratti quat
tro circuii tquah^^^^^ ^ v'' x . fiano poi tratte le linee
S K. SM, VN VO. XP, TR, TL, & fera defcrittoil detto corto che que
pjiauero Jif HO fapere, perche le linee MS. & GB ^ fono quanto le linee ah,
M % Et per
9^ ^ A . R r E
Tt per ritroUdre t pani j fiano dal f unto N, ^ dal punto tratte le linee ad angtdo g
giujlo j nel prnto ^ dai punti S, Fj tratta la linea alla Imea yo , in i cmptin
ti O, Vj N, Gj M, S> K , fono i piani di detto corpo . pero fe nei piani 0 , ^j>/èra
pojìo il quadrato BCDEj nei piani V j i punti Fj G , Hj 1^ ^ nei pia
m A. M , le linee KL, M N, OP, ^ nel piano G, i punti S, T ^ X ^ é- tirate le Lnee come Jt uede nella figura 5 5 j fièra digradato il detto corpo .
S PIjEGATV^ A, ET DESCEITTION E ^FK ALTMO v C
cor^o j compo/lo . C/rj? . XVII,
AL corpo firmato di uhjti trìdnguli > cjr dodici pentagoni partep7ao i fioi lati in due farti oprali , ^ Um a ti gli angnli Jodi , oi^e fnijccno le par-^^ ti 3 nafte ti eorpo formatò di dedici pentagoni , stenti triang-ui 3 trenta qi^adrati . tie??e a??gnli flretti 60 . dritti 120. larghe 60 ^ lati ly^ , & ^>?g^'i fidi Cq q- la fiutjpiegattira lo dimojìrd alU fi-^ gura
// perfetto j che giace con labapidi cinqtttlati ^ fi firmain qtfeflo modo . Siano nd cir culo m fatto fjpra'l cey.tj^j à, i feruti d(. e pentagoni dilati e^^ali, alternamente cgHalment e dtjlan ti con gli angeli loro he de, ^h.i\\ ^ fa tratta laliìiea hà, & fatto i4n altro circo- lo per lo centro d^ tania rirc inferenza , che la linea he, entri in detta circonferen^ dieci fate . ey- ^ormato una fiperfcie di dieci lati eguali acuì angtdi f ano xw^ n ^ o , p , <][*r^ fj Uj,x^ fiafQprdl predetto centro tiratoli ciretilo di tanta circonferenT^ , che
le linee
/
TERZA. ()S
A le linee bc. t>Hj u entri ci ajlima cinque fate . co?ne per U plinti A . B. C. D, E . F.
G. H. I. K. L. M. N . 0. P. ^ R.' S. T. V . J uede ctoe dello fpacio AD.
CF. EH. Gli. IM. LO. ^ ^ PS. RV . T A. perche ciafiuna } tanto quanto lo
fpacto ED. anche da gli [pacij BC. DE. FG.
HI. KL. MN. OP. ^R. ST. é' V A, dei quali - '
eia fermo e tanto quanto la Linea I>c. JU poi tirata nb. *
0' fopra lo tfiefo centro a . Jì^a fatto um.circulo , di tanto '
giro j che la li?tea n <\. in q ne ilo formi i punti di due
pentagoni di lati eguali ^ egualnaente diftanti con gli an~ B guliloro 7 . 2 . &. 2 . ^. 1 . 2 . 5 . 4 . 5 , fiano poi trat- te le linee come nella figura 3S ■> f ^^<^de fera defcritto g
il perfetto di detto corpo .
7-
1^0
/ piani
PARTE
I piani fi troHanoa quefio modo . Sia partita la linea hi. egualmente in 2. fi a trat-. Q ta la linea zc. z 2 . ^ fopra h x.fia fatto il triangolo di lati eguali, hi^. ^ fia tirata la linea zT^,. che tagli la bd. nel punto ^. é'fi^ tratta la Unea Tf.ì. chetagli fe. in 1. fiopra z y fila poflala 10, z, ad anguli giufti . con zc. ^ fip^^ t punti R. S . u . ^ c. fianopofie le li^ue egualmente difianti alla lo.z. cioè ii.R. 12. S. iju. i^.q. incentro z-fiado hi . fiat agitata ij.n. inu. d;' centro w^/pacio \^.fita tagliata ii.R.tn j-ck" centro fpacio c>h'.fia tagliata jo.z. tn ^. ^ centro ^.fipacto iT^fiia tagliato lo.z. m S. ^centro S. fipacio c>i*.fia tagliata la /i.M. in ó, ^centro 6. (pacto Vi. fia tagliata ij.u. nelpunto 7.^ centro 7. e &c. fifacio zTf,. fiat agliata la i^.c. m 8. tutti que[li pumi 2. u. ^. ^. / . 6. 7.8, fio no i piani, le alteT^e del predetto corpo . fie adunque nel piano 2 . fiera dt gradato il pentagono bcdef. ^in. u. ildecangulo. mnqpcjrftux. in ^, R £^ N M . IN. ED. AV . ér ^(^^ pi^no 4. t punti x. &. z. y. é' nel piano S . i punti , 2. &. 2. ^.y. ér nel piano (>. i punti B.C. F.G. K.L. O.P. S.T. nel piano 7. i punti del decangulo predetto ^ nel piano 8 . il pentagono g h i k I , ^ tirate le linee dei i t amente fiera digradato il detto corpo , come fiuede nella figura js .
4
Spiegatura j
r E R Z pj
4 SPIEGATVRA, ET DESCRITTIONE D'FN' ALTRO
corpo. Cap. XVIII
A L corpo di uenti ef agoni, dodici pentagoni spartendo ifuoi lati egualmen- te, togliendo gli angrdi fidi ne i termini delle dette parti fi forma ti corpo dttrtanguli 60 , pentagoni 12^ efiagonimnti. (jr ha lati 180. angui tfidi 90 j anguli firettt piani x%o . ^la fra fiiegatura calla fgura 56 . ebel lifiima forma ibenche alquanto trregulare j, feria fra giacitura . (^la /piega- tura ha fìlamente later^a partq^^perdfe glifira aggiunto al triangulo ab. il pentagono aggiunto al triangulo e con gli altri tre pentagoni , efiagoni j (jr trianguli eccetto 'itrianguli ci. c. f. ^l^efiagoni ^. fiera fattala piegatura mtier amente ,
N Spiegatur4
PARTE S P J E G AT r R E B'ALCVNl ALTRI CORPl^
AL cor podi 60 » t r languii y 20, ef^agoni , (ir dodici pentagoni y mutando i triangfdi tn ef agoni i fi formerà il forpo di 12 y pentaq^om y ^ So, efiago^i hausra anguli fidi iSo y lati 270 , (jr anguli larghi S40 j & l'^ fitt»
tera Jpiegatura.
ì
i
i
slegatura
r -.B -Jl \-z A. 99
S P J JB G AT r R A B'r N'A jLT RQ R IP 0. I R K E GF LA RE .
Cap , V XX ,
AL fopra fcritto corpo ^ fdirtendo i fmi UH in tre parti eguali » ^ leuati gli anguli fidi oue termina la parte dime'^o ^nafie ti corpo formato di (fO:,trian guli 3 12 , diectangttli jtC^ 20 ^ fiperficie di dodici lati eguali . ^ ha anguli fi- di j So. altretanti fireiti^iani , ^ larghi piani ^^00. lati 220^ delqual corpo la Jpiegatura ^8 , e la quinta parte . pero fi a gli irianguli 3 , fera aggiunto il dodiciangulo h , conili altri dodictang/di pentagoni- è trianguli j eccetto il dkciangulo ^itrian^uli ^.fer^lafuaj^i£gaturaimter4,-..'r -j
2 Spìegatard
JOO
PARTE
S f I MG ATV jftA iSVKALrRO CORPO IRRMGrLARE. i
Ca^. XXI.
A L corpo formato di 20 3 trianguli , ^ dodici pentagoni partendo i lati in tre parti eguali ^ leuandogli angulifodi ], doue termina la parte di meT^o nafce il corpo di\^o 3 quadrati . 20 j ej^agoni^ 12 . diecianguli. ^ ha angulifodi 130 j ^alf retanti giufii 3 (Slarghi 240 3 ò'iatt 180 3 e^la jpiegatura 39»
, fi hauerà la Jpiegatura intiera.
Sfiègamd
TERZA.
SPIEGATFRA D'r N'A LT RO CORPO
Caf. XXI J .
AL corfo di feiifuadrati^é'omef agoni, j>artendoifuoilati parti ezua lt,e tolti magli anguh fodt, do f4e termina la partedime'^o , nafceilcorpodi 24- trtanguh, (f. ottangult^otto dodiciangult. ha iSo , lati é- an7ul( Todi 7^, & altre tantijlrettiptani.é- larghi 1^0, &la/}tegatura fiacche e nella figura 40. elaqt4artaparte,per)ffeailatidettriangHlifignatt V fiaTxiu-^ gneratllatodel dodtctangulo a. cenilreftante di tutta la detta forma ylafiian
dohttanguh c, &^ t^^^git^'t'» Jegnati fi formerà tutta la foperjicie intieramen^ ^fred^tt&corfu.
ìoi
J R RE GV L A RE.
Sftegdtura
102
^ 4 R T E:
S P I E G AT r R A
i)'r ¥\A, L T E Q € a R P <i
,JE il corpo fipra fofio di so, qua- drati, 20. efa. goni, 12 di- cianguli ferajò /fra qualunque bafa diciangu- lar e, toltone f in què quadrati } cinque trianguli , ^ uno pentagono » come appare nel corpo defiritto al cap. 77 . che fipra il dieciangulo m n o p g r f ^ux^ e formato il pentagono ghikl> con cinque quadrati, (jr cinque pentago- ni -, eglifi forma il corpo di trianguli 6 0. quadrati po pentagoni dodici, &^lf^^^' nimnti.é'halati ^(^o. anguli fidi iSo. angultftretti piani 180. anguligiufiipia ni s<^o. larghi piani 180, come appare nel" U /piegatura 41, laquale e la quinta par te, di modo che feài trianguli, quadra. ti\fegnati h.feranno aggiunti i quadra- ti > &gli efiagoni d . con tutti gli altri , efiagoni , pentagoni, quadrati, dr trianguli ', e c etto il pentago^ no c, & i quadrati d . e trianguli c.fi ha- aera lafiiega tura intiera.
H
I
h
Spiegaturd
\
TERZA.
SP I EG ATV R A D'V N'A LT RO
Cap
J0>.
irregula
re .
CORPO XXII II .
A mfrafirmafpiegatura j e uno quarto di tutta lafuperfaie del corpo formato di otto efagoni , ^2, quadrati^é- 24^ trianguli .dimo- do , che Jl'a i lati , de gli altri tre trianguli b. fera aggiunto il qua- drato a . con lo rejìante della predetta forma, eccetto tutti i quadra ti c. ^ i tria:-wuli d . fi formerà la intiera foperfitie del detto cor- po, dqualenafie dal corpo di fei ottanguli y otto ejf agoni , 12. qua- d rati , é-pero ha quefio /òpra la bafa ottangula dri\z.ati quadrati j. e trianguli 4. & tutto il detto corpo ha gli otto efiagoni come ha il corpofopra no?ninato , ma i quadrati c refieno al numero di 24. & quefio aduiene per la eleuationedeiU bafa ottangula . ha trianguli 24, angulifodt 72. lati 144. anguli piani fretti 72. anguU giu/ii piani i (fi, anguli larghi piani quarantaotto .co- me appare nella figura 42.
Spiegatura
/
SFlEGArVRA irregularc .
ARTI
D'V N'A LT R 0 Caf XXV
CORPO-
A L c^rpo fopramminatodi trìanguli 24. ottanguli 6. dodicianguli otto mu-^ t andai triangtdi 24. in ejpigoni 24. ér interponendo tra uno dodiciangulo l'altro uno quadrato 3 eglififortna uno c orpo di ^(f. quadrati 24. effagoni > Ottangulifei dodicianguli otto- ha lati 21 angulifodi 144. angulijlret ti piani 144. larghi 288. ck'la piegatura e nella fgura 4^, ere uno quarta, dt tutta la fiiperficiejpero fi ai tre lati b . dell' ottangulo fera aggiunto il qua drato con.il dodiciangulo a quello aggiunto y a i tre altri lati d, fera appojh lo efagonif c. con tutti '^li altri effagoni j quadrati > ottanguli j & dodicianguli y fi hauera tutta lafoperfcie intieri x^ec etto l' ottangulo .
Spiegature
t M R Z A.
2PS
SPIBGATVRE D'ALCVNJ CORPI FONDATI SOPRA LE SOPERFJ^ eie di i corfi fi regulari j come irregulan , ^ prima di quello y ilqude e fondato fofr a la piramide. Caf, XXV J.
O LTO dilettemle e la pratica feguertte i^hà di belle confiderationi^ imp er oche ella troua il modo ^ con loquale fepra le fuperficie piane dei corpi regulari > irregulari y fi fanno le piramidi y di molti latiy come fi uede della (piegatura di dodici trianguli di lati eguali rinchiu fa , pofia infieme y forma uno corpo di molte punte y fondate fepra la piràmide ^ fi hanno a ponere infieme y fecondo y i numeri nota- ti nelle foperficie triaftgulari y come appai e nella figura 44 .
SPIEGATVRÀ nVNO CORPO FONDATO SOPRA IL CVBO
Cap. xxFii.
L l infrapofii trianguli y che fino 24- fono U foper- ficie d'uno corpo formato di fei piramidi quadrilatere , ^ il loro fondamento e il cubo . fi pongono infie- me fecondo i numeri come appare nella figura 4J.
O
Spiegdturdi
jQ(f ' F A R T B
SPIEGATVRA D'VNO CORPO FONDATq SOPRA
l'ociocdro .
A Jpiegatura ^6. Ucjua- le e di 24. trianguli ^ e d'uno corpo fBtrkato di otto piramidi di tre latij & il fojlemmento fm ìil cor^o o^oedro^
SPI'BQAtVRA D'VNO CORPO FONDATO SOPRA IL dodecaedro. Qap. XXV UH.
A ' (piegatura ^7. e d'uno corpo fon dato [oprai dode caedro j di trianguli 60 . \ ) / perche e (fendo il "còrpio dì' aodici feperficte di cin- Cfue lati eguali ciafiuna fojìient cinque irimguli aggiunti infìe^ me , pero foip fejjanta i quali ferrano (^ni fepe? fide co» cinq^^e trianguli j co- me fiuedeper li : , ^ fuoi nu —
.- - meri.
/V'
t M R Z A * SPIEGArVRA, WNQ CORPO, SOSt ENrtO DALLO
icojiedro .
C4f
S SEM DO il c»rpo detto ìcopedro formdtd dì '20. trìangulì, ^ hauendo fopra ogni triangulo ,una pramide triangulare y e neceffa^ rio j che egli hMia 0 . trianguli fepra la fua Jdperfìàe 3 come ci dimoftra la figura 48. conimmerifuoi perche fi popno ponert irh
fieme fecondo il hifogno .
Sppegatura
SPIE GA TFÉ J I^F N JLT nò CORPO FON D JTO' SO P R A V N
'A figiira 40. ì U fpiegdfur a imo co^rpo fondata quildrati x ^ otta tridngull 3 ^ conttem ti(iangidi quar/intaotto , cioè 24, per le hafè triangHlari y ^ 24,. per le quadrate . Et -pero tutti i trianguli fégnatì di 4. numeri fono fimili , Jofienuti dalla bafa quadrata ^ j^ i numeri dimofiram j come fi ha a piega-^ re il detto corpo ,
- /
; /' /
/
Spigatura
# É-^ A,
SPIEGATA
À iyrNÓ CO:RPQ APPOGaf4t<3 ^ CORPO infrafirim:- ^ <:ap , .. XXXJI,
gUinfiafirim twr^g^li delia Jpk^^^ so. ft formerà uno corpo dttmrp- guh muanta fit : auuertmdo vhri qmttro numeri uanno Copra le Top er- ficte quadrata ^ ' ^ V
Sptegatura
PARTE
SPIEGATVRA B'V NALTRO CORPO Cap. XXXIII.
OSTA injieme la feguente J^ìegatura SJ * fi<^ ondo ifuoi numeri ,Jì forma, uno corpo fondato fopra uno corpo di 20. trianguli, ^ 12. pentagoni , ^ c di 120 . trianguU . i pentagoni fono fegnati con lettere > i trian- guli con numeri
DLSCRITTIONI D' A LCV N I VE J SOPRA DETTI COMPJ CON le piram:da , c^/. XXX J I II .
GLI Jìpiotrebbe formare molti altri corpi fimili come farebbe ma difei quatdrati, (y dodici ejjagom ^ un altro di 32 . effagoni,^ quadrata fei , ^ un'altro di $0 . quadrati ^ ^0. ejfagoni 12 . dieci angult, ^ 20 . dodicianguli ma lacofa andar ebbe in infinito , pero lafciandoì la noia di molto fcriuere , che pur troppo mi pare hauer detto fn'hora. io ponero piamente alcuni corpt piramidali y per auuerttm'-ento di cht legge, primta quaglio, che e fondato , fopr a' t dodecaedro » alla figura S2. q^'* elio y che e pofio fapra l'tcofiedra alla figura ss- & poi de glialtri fatti con diuerfe intentiom > ca- rne alle fi.gure S4' & ss •
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P ^ R T E
ALCVNI MODI FACILI, E SBRIGATI DI FARE LE G piante 3& i corp. Cap. XxxV-
E R ?naggiore facilità di quello » che fi ha da dire nella feguente parte i io dimojlr ero alcune uie faciline [brigate per fuggir e la confu fione delle linee jlaquale bene jpefo fuole ft arte are quelli i quali dif- fegnano i & confondere la memoria loro j^r benché quefie uie concor rino in uno effetto con le predette , pero hanno feco maggiore faci^ lità y confeguent emente più dilettano praticando.
Sia adunque fatto il quadrato b c d e . come appare nella figura S6 . fa l'occhio nel punto o . doue fi fermerà unaco fiottile , d'in torno ilquale s'inuolgerà una fetola di coda di cauallo lunga quanto ^ farà il bifo^no . fia poi tirata una linea egualmente difiante al lato b c . del quadrato , fi^ fg. ^efia linea è poflaper termine tra l'occhio il quadrato. Termine io intendo il pia- no fiopral quale fi hanno à ponere i punti del quadrato delle fioperficiein effo defiritte . Po- nt fopr al detto termine (g. il punto m. doue ti parcy benché in quefto luogo egli è pofto nel me'^o . ^efio punto m. ciferuirà y ( come fiuederà praticando ) m ogni pianta per incon- tro. Tagliapoi alcune righe di carta longe quanto la linea fg. laqu ale e y tanto longa quan- to uno lato del quadrato , Ac commoda una di quelle righe fiopral termine fg. con alquanto di cera yaccioche non fi moua nell' operar e . Tira poi la fietola fiopra il punto b. del quadra- to j & doue ellapajfa per la riga di carta y fiegHa h . poi fenderai la fetola fiopral c , del qua
dratOy (ir
r' E R z d: hs^
drato^é' do^^ ^f^^f^g^^^ ^^^^^^fig^^ llj^mile farai dei pumi d-, e, \xv. fognando- It fopra la riga di carta doueuan?70 . pojli aduncfue tutti i punti del cjuadrato .riponi la ri^ra di carta fn che te ne hahhiaa fermrc , perch e in quella fortoi punti della largherà del qua- drato . ér psro la chiamerai la riga della l4rghe7^a, gli farai alcuno fegno.per ricono- feria poi ,
Hora egli fi deue uedere quanto in quefta fìperficie b c d e . fia più eleuato de. di b c. Pon- gafi adunque l'occhjo o . tacito alta . quanto egli f uuole fopraftare a uedere fopra la linea c c . non fi accodando , ne dUongardo dalla linea del termine f g- . più di quello e il primo occhio o . é' poftol'aco nel fecondo o . conia fetola . fia acconcia un'altra righadi carta fopra t g. ^ tiratala fetola dall'occhio al punto e. del quadrato bcde. nella feconda figura , doue ella batte fipr a la riga di carta fa punto e. ^ d. in uno iftefoluoco.poi fenderai la fetola fopra c. deue ella taglia la riga di carta, fegna é' h. in rmoifieffojuoco . Sia poi leu a ta la riga di carta , laquale fi chiamerà la riga dell'alte"^ , ^ fra fegnata con la lettera A . perche fiariconofciutanel praticare . A quefta linea dell'alterca ne far ai un altra pari, ^ filmile con i punti d e b c . ó' ^^^fio fi può fare anche in uno tratto ponendo amendue le rige fo- pra la linea del termine y fi che il taglio duna riga tocchi la linea del termine , é' il taglio dell al tra fila ajfaggiato con il termine , ér ti taglio dell'altra riga . Volendo poi digradare la detta fiu- perfide bcde. tira per trauerfe la linea Fg. della grande^a della linea fg. del termine , ouero della grande'\z,a di uno lato dèi quadrato , che tutto e uno. ^ nelmeT^o di quella fiegna m. fioprai punti efiremi f. g. poni le rige A. dell altera ad anguli giufii . fipr a m. dri^a una linea al punto n. ilqual punto fia tanto alto , quanto era il punto o . nelle dette figure dal pi ano ce. Piglia poi la riga di carta della largherà, incontra ilpunto m. di ciucila col punto m. della riga fg. é-^fi^^ la detta riga appari della linea f^. fiche alandola al punti b. ^ delle rige dell' alt e'^a , ella fia fempre egualmente difiante alla linea Fg. al\^ndola adu nque a i dettipunti b. ^ c. fiegna h. ^ q. nel piano ne i punti b. ^ c, della riga della largheT^a . aliando poi la detta riga, a i punti d. <^ ^-fiegna d. & e. fiottai punti d. ^ c.fiegnati nella riga , della largherà . cofi tirate le linee come nel perfetto hauerai digradato ilpiano he Aq. come fi uede nella figura s() . digradata-.
Bt fimi die efii per eh e ragione i punti b. ^ e fino fegnati in un luoco nelle rige dell' alt eT^a , & i pHnti ^. (jr e. fiimilmente pofii w un luoco delle ifiefie rige , dico che quejìo adiuiene in quel lefiupcrficie , che hanno i punti , che fii riguardano al dritto , perche tutti i punti , i quali fiono egualmente difianti alla linea del termine niuno fipr afta ali altro , fi pongano fioprale rige dell alt eT^a in uno ifteftfo punto , cioè che niuno angulo fiopraftà ali altro , comefie intende, che il b . fi,a pari al c. à.fia pari all' q. (^la linea p g ^ che e il termine fia egualmente difian te a h c- d c .
Con filmili ragioni fi digradano le altre fuperficie ,pero ci potrabafiare un'altro eftempiodi gradando uno piano di otto f accie di lati eguali . Sia adunque il detto piano i. 2. 3. 4. j. <f. y.8. nel perfetto bcde. Siala linea del termine fg. comedi fopra , é'l'occhio, a. pongafi larigafiopra fg. ferma ,(^pofia la fttolanell'aco fila tirata ad uno ad uno dei punti del piano, é'fiano fegnati nella riga della Urgeva , infiemcconil punto, m. per rincontro, come fiuede nella prima figura sj -
Foi farai il piano bcde. altroue, con la detta fiuperficie ottangularedriT^atala linea del termine fg. fopralaqualcpofiele rrgedell'alte^atirando la fetola dall'occhwaipunti e. a. /. é' c. perche tanti fono bafieuoU per la ragion fiópradetta > fiegneraile rige coni detti punti, é ti' uemra fiegnato m uno ifiefifo pMnto 4. dr s . & m uri altro 3 . & (f . m un'altro 2. & S . come fi uede nella figura S7 ' fieconda .
Per digradare la detta fiuperficie , penerai fiopra i punti della linea f g. trauerfia le rige dell'alte\z.achefittam ferme, é'gi.ujflatalarigadella m. fopra lo m.
della linea fg. trauerfa, al^ndotlaaipunti fiegnati nelle rige dell'altera fimpre egualmen- te difi ante alla linea fg. 1^ notandoci punti corrifpondenti della linea della largheT^^t , alle li- nee dell alt eT^a. legandogli poi com line e nel digradato , come fiono nel perfetto , hauerai U detta fuperficie ottangulare digradata ^ come fi uede nella figura //. digradata .
P 2 Come
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C
COME SI DIGRADANO MOLTI CIRCVLI FATTI SOPRA VNO ijìeJTo. centro ^ duali m ^it4 pini . Gap XXXV I .
GLI e nece farlo con ifipr adetti modi.fapere digradare molti cir- culi , t qfdali fono fatti fopra uno ijiefjò centro , ^dmifi in ?nolte par- ti, per ciò eh e con q?4ejli ?nodipÌMfacilmentefi fotra defcriuere le ha fe ji capitelli j ^ altri corpi c ire ulari ,fecmdo che fi conuiene . perii fi come per digradare una femplice fiperficie , ci uuole ma riga per la largherà , ^ due per- l'alt e'^a ^ cofi don e fono moltefiiperficie una di dentro l'altra ^ egli e neceffàrio moltiplicare il numero delle rige , (i della largherà 3 come dell alt e\z>a .Volendo adunque noi per efem- pio defcriuere quattro fuperfìcie circulari una dentro l'altra egli ci farà hifogno ai hauere quattro rige della larghe'^a, otto per l'altera . Siano adunque quattro circuii a. b. c. à. fopra uno ifiefiò centro m. diutfi in dodici parti . i. 2. 3. ^. j, . 7. S. p. IO. II. 12. fia il maggiore a. ^ il minor e d. ^-^i diametri 10.(^4, 17' fia tratta la linea del termine kl. egualmente dift ante al diametro 10.4. pomi occhio doHeuMoi:>ma quiuifi.ain o. con l'aco conia fetola . ^ fopra poni la riga della lar- ghe^a longo la linea kl . del termine^ laqualefia fegnata A.fopralaquale tirando la fetola, noterai tutta punti del circulo maggior e fegnato a. infierne co l punto ni. ^pofia da parte la riga acconciane un'altra fegnata B'. fopra kl. nellaquale tirando la fetola noterai tuttii puntt del circulo b. poi leuata la riga B. riponila riga C. nello iftejfo termine j ^ notaui fopra tutitii p?mti del circulo C. ^ il fimile farai con la riga D. notandoui i punti del circulo d. Cr ^ quefi 0 modo hauer ai fegnato le rige della largheT^a di tutti quattro i circuii . come fi uede - nelUa prima figura jS . Hora in un'altro per ftto farai