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COURS D ANALYSE

DE

L'ECOLE ROYALE POLYTECHNIQUE, j

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COURS D'ANALYSE

OE

L'ECOLE ROYALE POLYTECHNIQUE ;

Par m. Augustin -Louis CAUCHY,

Ingénieur des Ponts et Chausse'es , Professeur d'Analyse à l'Ecole polytechnique , Membre de FAcade'mie des sciences, Chevalier de la Le'gion d'honneur.

L" PARTIE. Analyse algébrique.

J

DE L IMPRIMERIE ROYALE.

Chez Deblre frères , Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi , rue Serpente, n.° 7.

18*21.

rrsr\t\f^,r\S^-f^f^f^-r-f-*^^

INTRODUCTION.

\^ UELQUEs personnes, qui ont bien vouîu guider mes premiers pas dans ia carrière des sciences , et parmi iesqueîles je cite- rai avec reconnaissance MM. Laplace et Poisson, ayant témoigné le désir de me voir publier ie Cours d'analyse de l'Ecoie royale polytechnique , je me suis décidé à mettre ce Cours par écrit pour la plus grande utilité des élèves. J'en offre ici ia pre- mière partie connue sous ïe nom dî* Analyse algébrique , et dans iaqueiïe je traite suc- cessivement des diverses espèces de fonc-

ij INTRODUCTION.

tions réelles ou imaginaires , des séries convergentes ou divergentes, de ia résolu- tion des équations, et de la décomposition des fractions rationnelles. En parlant de la continuité des fonctions , je n'ai pu me dispenser de faire connaître les propriétés principales des quantités infiniment pe- tites , propriétés qui servent de base au calcul infinitésimal. Enfin, dans ies préli- minaires et dans quelques notes placées à la fin du voiume, j'ai présenté des déve- îoppemcns qui peuvent être utiles soit aux

r

Professeurs et aux Elèves des Collèges royaux, soit à ceux qui veulent faire une étude spéciale de l'analyse.

Quant aux méthodes , j'ai cherché à leur donner toute la rigueur qu'on exige en géométrie , de manière à ne jamais recou- rir aux raisons tirées de ia généralité de i'aïgèbre. Les raisons de cette espèce , quoi- que assez communément admises, sur-tout

INTRODUCTION. uj

dans ie passage des séries convergentes aux séries divergentes , et des quantités réelles aux expressions imaginaires, ne peu- vent être considérées , ce me semble , que comme des inductions propres à faire pres- sentir quelquefois la vérité , mais qui s'ac- cordent peu avec l'exactitude si vantée des sciences mathématiques. On doit même observer qu'elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue in- définie, tandis que, dans la réalité, la plu- part de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions , et pour certaines valeurs des quantités qu'elles renferment. En déterminant ces conditions et ces va- leurs, et en fixant d'une manière précise ie sens des notations dont je me sers , je fais disparaître toute incertitude ; et alors les différentes formules ne présentent plus que des relations entre les quantités réelles , re- lations qu'il est toujours facile de vérifier

a'

IV INTRODUCTION.

par la substitution des nombres aux quan- tités elîes - mêmes. H est vrai que , pour rester constamment fidèle à ces principes , je me suis vu forcé d'admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures au premier abord. Par exemple , j'énonce dans ie chapitre Vï , qatine série divergente n^apas de soîmne ; dsius le cha- pitre VII, q\i\ine équation imaginaire est seulement la représentation symbolique de deujc équations entre quantités réelles ; dans îe chapitre IX , que , si des constantes ou des variables coînprises dans une fonc- tion f après avoir été supposées réelles , deviennent imaginaires , la notation à l'aide de laquelle la Jonction se trouvait expi^imée ^ ne peut être conservée dans le calcul qu'en vertu d'Orne convention 7iou- velle propre à fixer le sens de cette nota- tion dans la dernière hypothèse ; ^c. Mais ceux qui liront mon ouvrage reconnaîtront,

I

INTRODUCTION. V

je l'espère , que les propositions de cette nature , entraînant Theureuse nécessité de mettre plus de précision dans ies théo- ries, et d'apporter des restrictions utiles à des assertions trop étendues , tournent au profit de l'analyse, et fournissent plusieurs sujets de recherches qui ne sont pas sans importance. Ainsi , avant d'effectuer la sommation d'aucune série, j'ai dû examiner dans quels cas les séries peuvent être som- mées, ou, en d'autres termes, quelles sont les conditions de leur convergence ; et j'ai, à ce sujet, étahli des règles générales qui me paraissent mériter quelque atten- tion.

Au reste, si j'ai cherché, d'une part, à perfectionner l'analyse mathématique, de l'autre, je suis loin de prétendre que cette analyse doive suffire à toutes les sciences de raisonnement. Sans doute , dans les sciences qu'on nomme naturelles , la seule

VJ INTRODUCTION.

méthoJo qu'on puisse employer avec succès consiste à observer ies faits et à soumetti-e ensuite les obserA ations au calcul. Mais ce serait une erreur grave de penser qu'on ne trouve la certitude que dans les démonstra- tions géométriques, ou dans ie témoignage des sens ; et quoique personne jusqu'à ce jour n'ait essayé de prouver par l'analyse l'existence d'Auguste ou celle de Louis XIV, tout homme sensé conviendra que cette existence est aussi certaine pour lui que le carré de l'îiypothénuse ou le théorème de Maclaiirin. Je dirai plus ; la démonstration de ce dernier théorème est à la portée d'un petit nombre d'esprits , et les savans eux- mêmes ne sont pas tous d'accord sur l'é- tendue qu'on doit lui attribuer ; tandis que tout le monde sait fort bien par qui la France a été gouvernée dans le dix-septième siècle, et qu'il ne peut s'élever à ce sujet aucune contestation raisonnable. Ce que je dis ici

INTRODUCTIOX, Tlj

d'un fait historique peut s'appliquer égale- ment à une foule de questions, en religion , en morale , en politique. Soyons donc per- suadés qu'il existe des vérités autres que les vérités de l'algèbre , des réalités autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les sciences mathématiques, sans vouloir les étendre au-delà de leur domaine; et n'al- lons pas nous imaginer qu'on puisse atta- quer l'histoire avec des formules, ni don- ner pour sanction à la morale des théorèmes d'algèbre ou de calcul intégral.

En terminant cette Introduction, je ne puis me dispenser de reconnaître que les iumières et les conseils de plusieurs per- sonnes m'ont été fort utiles , particulière- ment ceux de M3I. Poisson, Ampère et Coriolis. Je dois à ce dernier, entre autres choses, la règle sur la convergence des produits composés d'un nombre infini de facteurs, et j'ai profité plusieurs fois des

k

Viij INTRODUCTION.

observations de M. Ampère ^ ainsi que des méthodes qu'il développe dans ses Leçons d'analyse.

j

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i

TABLE DES MATIERES

CONTENUES DANS CE VOLUME.

ÏX

Préliminaires du Cours d'analVse.

R

EVUE des diverses espèces de quantités réelles que l'on considère , soit en algèbre , soit en trigonométrie , et des notations à l'aide desquelles on les représente. Des moyennes entre plusieurs quantités Pag. 1.

PREMIÈRE PARTIE.

ANALYSE ALGÉBRIQUE.

Chap. î." Des fonctions réelles.

5. 1/' Considérations générales sur les fonctions. 19.

J. 2.* Des fonctions simples 22.

S. 3.' Des fonctions composées 23

Chap. IL Des quantités infiniment petites ou infiniment grandes , et de la continuité des Fonctions. Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas particuliers.

J. 1/' Des quantités infiniment petites et infini- ment grandes 26.

Ç. 2.* De la continuité' des fonctions Z\.

5. 3.* Valeurs singulières des fonctions dans quel- ques cas particuliers 45.

X •]' A D I. L

Chap. IIÎ. Des fouciions sijmclriqucs et des fonc- tions alternées. Usage de ces fonctions pour la résolution des équations du premier degré à un nombre quelconque d'inconnues. Des fonc- tions homogènes,

5. 1.*^' Des fonctions symétriques Pag. 70.

S. 2.* Des fonctions alterne'es 73.

5. 3.' Des fonctions homogènes 82.

Chap, IV. Détermination des fonctions entières , d'après tm certain nombre de valeurs particu- lières supposées co7inues. Applications.

5. 1." Recherche des fonctions entières d'une seule variable, pour lesquelles on connaît un cer- tain nombre de valeurs particulières 85.

5. 2/ Détermination des fonctions entières de plu- sieurs variables , d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues 93.

J. 3.' Applications 97.

Chap. V. Détermination des fonctions continues d'une seule variable propres à vérifier cer- taines conditions.

5. l.*' Recherche d'une fonction continue formée de telle manière que deux semblables fonctions de quantités variables , e'tant ajoutées ou multi- pliées entre elles, donnent pour somme ou pour produit une fonction semblable de la somme ou du produit de ces variables 103.

S. 2.' Recherche d'une fonction continue forme'e de telle manière qu'en multipliant deux sem- blables fonctions de quantités variables, et dou- blant le produit , on trouve un re'sultat égal à celui qu'on obtiendrait en ajoutant les fonctions

DES MATIERES. \J

semblables de la somme et de la diflfe'renre de

ces variables Pag- 1 13.

Chap. VI. Des séries (réelles) convergentes et divergentes. Régies sur la convergence des séries. Sommation de quelques séries conver^ gentes.

5. \." Considérations générales sur les se'ries... 123.

5. 2.* Des se'ries dont tous les termes sont positifs: 132.

J. 3.*^ Des séries qui renferment des termes posi- tifs et des termes négatifs , 142.

5. 4.*^ Des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable 150.

Chap. VII. Des expressions imaginaires et de leurs modules.

5. l.'' Considérations ge'ne'rales sur les expressions imaginaires 173.

5. 2.*= Sur les modules des expressions imaginaires

et sur les expressions réduites 182.

5. 3,* Sur les racines réelles ou imaginaires des deux quantités -+- i , — i , et sur leurs puis- sances fractionnaires 196.

5. 4.' Sur les racines des expressions imaginaires, et sur leurs puissances fractionnaires et irration- nelles 217.

$. 5.' Applications des principes établis dans les paragraphes pre'ce'dens 230.

Chap. VIII. Des variables et des fonctiojis ima- ginaires.

î. 1.'' Considérations générales sur les variables et les fonctions imaginaires 240.

5- 2.*^ Sur les expressions imaginaires infinimeat

xii TABLE

petites, et sur la continuité des fonctions n\iagi- naires .... fà.^- ^o\j.

$ 3 " Des fonctions imaginaires synie'triques , al- ternees , ou homogènes ^•^'^^

S. 4." Sur les fonctions imaginaires et entières d'une ou de plusieurs vaiiables 254.

$. 5.' Détermination des fonctions imaginaires con- tinues d'une seule variable propres à vérifier certaines conditions 26 1.

ChaP. IX. Des séries imaginaires coiivergcjilcs et divergentes. Sommation de quelques séries imao-inaires convergentes. Notations em- ployées pour représenter quelques fonctions imatrinaires auxquelles on se trouve conduit par la sommation de ces mêmes séries.

S 1." Considérations générales sur les se'ries ima-

• • . . . 274. gmaues

S. 2.' Des séries imaginaires ordonne'es suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable. 285.

S. 3.' Notations employées pour représenter quel- ques fonctions imaginaires auxquelles on est con- duit par la sommation des séries convergentes. Propriëles de ces mêmes fonctions 308.

ChaP. X. Sur les racines réelles ou imaginaires des équations algébriques dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière d'une seule variable. Résolution de quelques équations de cette espèce par l'algèbre ou lu trigonométrie.

S. 1." On peut satisfaire à toute équation dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de la variable x par des valeurs réelles

DES MATIERES. XI ij

ovi imaginaires de cette variable. Décomposition des polynômes en facteurs du premier et du se- cond degré. Représentation géométrique des fac- teurs reeis du second degré' Pag. 329.

S. 2.^ Re'solution alge'brique ou trigonometrique des équations binômes et de quelques équations tri- nomes. Théorèmes de A'Io'wre et de Cotes. . . . 348.

5. 3.*^ Resolution algébrique ou trigonometrique des équations du troisième et du quatrième degré. 354.

Chap. XI. Décomposition des fractions ration- nelles.

J. 1.*^'' De'composition d'une fraction rationnelle en deux autres fractions de même espèce 365.

J. 2.*^ Décomposition d'une fraction rationnelle dont le dénominateur est le produit de plusieurs facteurs linéaires inégaux, en fractions simples qui aient pour dénominateurs respectifs ces mêmes facteurs linéaires , et des numérateurs constans 371.

5. 3.*^ Décomposition d'une fraction rationnelle donnée en d'autres plus simples qui aient pour dénominateurs respectifs les facteurs linéaires du dénominateur de la première ou des puis- sances de ces mêmes facteurs , et pour numé- rateurs des constantes 380.

Chap. XII. Des séries récurrentes .

S. 1.'''^ Considérations générales sur les séries ré- currentes Pasf. 389

$. 2.^ Développement des fractions rationnelles en séries récurrentes , 301 .

J. 3.* Sommation des séries récurrentes , et fixa- tion de leurs termes généraux 400.

XIV TAllLE DES MATIERES.

NOTES SUR LANALYSE ALGEBRiaUE.

Note ï/' Sur la théorie des quantités positives

et néoatives Pas:. 403.

Note II. Sur les formules qui résultent de l'em- ploi du signe > ou < , et sur les moyennes entre plusieurs quantités 438.

Note III. Sur la résolution numérique des

équations 460.

Note IV. Sur le développement de la fonction alternée :

(y-.r) X {z—x) {z-~y) x ... x (r-.r) (v—ij) {y—z) . . . (v—v).

521.

Note V. Sur la formule de Lagrange relative à l' tJiterpolation 52

Note VI. Des nombres figurés 530.

Note VII. Des séries doubles 537,

Note VIIÎ. Sur les formules qui servent à con- vertir les sinus ou cosinus des multiples d'un arc en polynômes dont les differens termes ont pour facteurs les puissances ascendantes du sinus ou cosinus de ce même arc ....... 548.

Note IX. Sur les produits composés d'un

nombre infini de facteurs 561.

1 IN DK LA TAIÎLE.

ERRATA.

'<

PAGES.	LIGNES.	FAUTES.	CORRECTIONS.
VIO.	12.	m^'^	m H "
-14.	1.	la limite i ,	la limite zéro ,
^^33.	2.	a"	a a."
- 33.	19.	I a.'"	a a'"
*^46.	11.	a"	x'
-' 71.	14.	A"-'.	K-,-
- 83.	22.	G)'
^ 100.	19.	j:(.r4-i)- • .(.r-+-n— 2) I.1.2...(W-1)	a-(j--f-i). . .(x-f-n— 2) '•2-3 ••■(«-')
101.	4.	I	2
" Ihiii	13.	x"-*	.r"-^
	I . 2 .2. . ,(w — 2)	1.2.3... ("-^)
^ 126.	17.	supérieure	inférieure
- 177.	17.	(a/H-é'^/nr).	(a/ + é'^)/=7.
. 237.	7 et 10.	\ a /	m
, 260.	5.	^é",../-	-^n-.v/-
< 266.	17.	-(»	'«■(^-)
" 278	2.	I — Z COS. 9	z .sin. 9
	1— 2iC0S.g-t-5^	1 — 2 5 COS. 5 + 5''
/ 302.	9.	X I . 2	X" 1 .2

FACES.	L I G N ï s.	FAUTES.	COBRECTl ONS.
^305.	18.	-=-.	a î=— I
"^SïO.	7.	— cos.x — -^HTsin.x,	= COS. X — y/lTTsin. x.
•^317.	3.	6/1=	6/=T
' 320.	7.	Urctang. ^ 1 /—	farctang. _^ j /-'
"387.	19.	I	I
^^v	aG"/^
443.	9.	du 4-'^ théorème	du 6.* théorème
"* 445.	22.	H	A'
* 526.	12.	-^o^ > -^/ t -^1*	■^0 » -^ 1 » y^x
536.	9.	71 -(- 7/J 1	n-\-m — I
574.	16.	e^v -H-e^"	e^v _^ e-^v
z	2

COURS D'ANALYSE

DE

L'ÉCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE,

r.#"*\*\r.#N*\#\^.*N»\<N/'*<^v»\^^N*.*\#v

PRÉLIMINAIRES.

Revue des diverses espèces de quantités réelles que l'on considère, soit en algèbre , soit en trigo- nométrie, et des notations a V aide desquelles on les représente. Des moyennes entre plusieurs quantités.

JroUR éviter toute espèce de confusion dans ie langage et lecriture algébriques, nous allons fixer dans ces préliminaires la valeur de plusieurs termes et de plusieurs notations que nous emprunterons soit à l'algèbre ordinaire , soit à la trigonométrie. Les explications que nous donnerons à ce sujet sont nécessaires , pour que nous ayons la certitude d'être parfaitement compris de ceux qui liront cet ouvrage. Nous allons indiquer d'abord quelle idée il nous paroît convenable d'attacher à ces deux mots, nombre et quantité.

Nous prendrons toujours la dénomination de

TOM. 1. A

^ c 0 u R s d'à n a l ys e.

nombres dans le sens où on l'emploie en arithmé- tique , en faisant naître les nombres de la mesure absolue des grandeurs; et nous appliquerons uni- quement la dénomination de quantités aux quan- tités 7'éelles positives ou négatives, c'est-à-dire, aux nombres précédés des signes -h ou — . De plus, nous regarderons les quantités comme des- tinées à exprimer des accroissemens ou des dimi- nutions ; en sorte qu'une grandeur donnée sera simplement représentée par un nombre, si l'on se contente de ia comparer à une autre grandeur de même espèce prise pour unité, et par ce nombre précédé du signe -h- ou du signe — , si on la consi- dère comme devant servir à l'accroissement ou à la diminution d'une grandeur fixe de la même es- pèce. Cela posé , le signe -+- ou — placé devant un nombre en modifiera la signification , à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif. Nous appellerons valeur numérique d'une quantité le nombre qui en fait la base, quantités égales celles qui ont le même signe avec la même valeur numé- rique , et quantités opposées deux quantités- égales quant à leurs valeurs numériques , mais affectées de signes contraires. En partant de ces principes, il est facile de rendre compte des diverses opérations que l'on peut faire subir aux quantités. Par exemple , deux quantités étant données, on pourra toujours en trouver une troisième qui, prise pour accroisse- ment d'un nombre fixe, si elle est positive, et pour diminution dans le cas contraire, conduise au même

PRÉLIMINAIRES. 3

résultat que les deux quantités données, employées i'uue après l'autre à pareil usage. Cette troisième quantité, qui à elle seule produit le même efïet que les deux autres , est ce qu'on appelle leur ^lomme. Ainsi les deux quantités— lo et -t- y ont pour somme — 3 , attendu qu'une diminution de i o uni- tés, jointe à une augmentation de y unités, équi- vaut à une diminution de 3 unités. Ajouter deux quantités, c'est former leur somme. La diiTércnce entre une première quantité et une seconde , c'est une troisième quantité qui, ajoutée à ia seconde, reproduit la première. Enlin, on dit qu'une quan- tité est plus grande ou plus petite qu'une autre , suivant que la différence de la première à la seconde est positive ou négative. D'après cette définition, les quantités positives surpassent toujours les quan- tités négatives , et celles-ci doivent être considérées comme d'autant plus petites que leurs valeurs nu- mériques sont plus grandes.

En algèbre , oji représente non - seulement les nombres, mais aussi les quantités, par des lettres. Comme on est convenu de ranger les Jiombrcs absolus dans la classe des quantiîé's positives, on peut désigner la quantité positive qui a pour valeur numérique le nombre A, soit par-+-y/, soit par A seulement, tandis que la quantité négative opposée se trouve représentée par— .1 De même, dans le «as où la lettre a représente une quantité , on est convenu de regarder comme synonymes les deux expressions « et ^-t/, et de représenter par - «

A

4 COURS d'analyse.

la quantité opposée k -h-a. Ces remarques sufTisent pour établir ce qu'on appelle la règle des signes [voyez la note I/^].

On nonuîie quantité variable celle que l'on con- sidère comme devant recevoir successivement plu- sieurs valeurs différentes les unes des autres. On désigne une semblable quantité par une lettre prise ordinairement parmi les dernières de l'alphabet. On appelle au contraire quantité constante^ et on désigne ordinairement par une des premières lettres de l'alphabet toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successive- ment attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe , de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra , cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi , par exemple , un nombre irrationnel est la limite des diverses fractions qui en fournissent des valeurs de plus en plus approchées. En géométrie , ja surface du cercle est la limite vers laquelle con- vergent les surlaces des polygones inscrits, tandis que le nombre de leurs côtés croît de plus en plus ; &c. ...

Lorsque les valeurs numériques successives d'une même variable décroissent indéfiniment, de manière à s'abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu'on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

Lorsque les valeurs numériques successives

PRÉLIMIXAIRE&. 5

d'une même variable croissent de plus en plus , de manière à s'élever au-dessus de tout nombre donné y on dit que cette variable a pour limite X infini positif ^ indiqué par le signe co , s'il s'agit d'une variable positive , et \ infini négatifs indiqué par la notation — oo , s'il s'agit d'une variable négative. Les infinis positif et négatif sont désignés conjointement sous le nom de quantités infiinies.

Les quantités qui se présentent, dans le calcul, comme résultats d'opérations faites sur une ou plu- sieurs autres quantités constantes ou variables , peu- vent être divisées en plusieurs espèces suivant la nature des opérations qui les produisent. C'est ainsi que l'on distingue en algèbre les sommes et diffé- rences, les produits et quotiens, les puissances et racines, les exponentielles et les logarithmes; en trigonométrie, les sinus et cosinus, sécantes et co- sécantes, tangentes et cotangentes, et les arcs de cercle dont une ligne trigonométrique est donnée. Pour bien comj)rendre ce qui est relatif à ces der- nières espèces de quantités, il est nécessaire de se rappeler les principes suivans.

Une longueur, comptée siu' une ligne droite ou courbe, peut être, comme toute espèce de grandeurs, représentée soit par un nombre ,. soit par une quan- tité, savoir: par un nombre, lorsqu'on a simplement égard à la mesure de cette longueur, et par une quantité, c'est-à-dire, par un nombre précédé du signe -H ou — , lorsque l'on considère la longueur dont il s'agit comme portée , à partir d'un point fixe,

(j COURS d'analyse.

sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre, pour servir soit à l'augmentation soit à la diminu- tion d'une autre longueur constante aboutissant à ce point fixe. Le point fixe dont il est ici question , et à partir duquel on doit porter les longueurs va- riables désignées par des quantités, est ce qu'on ap- pelle Xoi'ig'ine de ces mêmes longueurs. Deux lon- gueurs comptées à partir d'une origine commune , mais en sens contraires , doivent être représentées par des quantités de signes difFérens. On peut choisir à volonté le sens dans lequel on doit compter les longueurs désignées par des quantités positives ; mais, ce choix une fois fait, il faudra nécessairement compter dans le sens opposé les longueurs qui seront désignées par des quantités négatives.

Dans un cercle dont le plan est supposé verti- cal , on prend ordinairement pour origine des arcs l'extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite ; et c'est en s'élevant au-dessus de ce point que l'on compte les arcs positifs , c'est-à-dire , ceux que l'on désigne par des quantités positives. Dans le même cercle , lorsque le rayon se réduit à l'unité, le sinus d'un arc , c'çst-à-dire , la projection sur le diamètre vertical du rayon qui passe par l'extrémité de cet arc , se compte positivement de bas en haut et négativement en sens contraire, à partir du centre du cercle pris pour origine des sinus. La tangente se compte positivement dans le même sens que le sinus , mais à partir de l'origine des arcs et sur la verticale menée par cette origine. Enfin , la sécante

PRÉLIMINAIRES. 7

se compte à partir du centre sur le rayon mené à rextrémité de l'arc que l'on considère, et positive- ment dans le sens de ce rayon.

Souvent le résultat d'une opération effectuée sur une quantité peut avoir plusieurs valeurs différentes les unes des autres. Lorsque nous voudrons dési- gner indistinctement une quelconque de ces valeurs, nous nous servirons de notations dans lesquelles la quantité sera entourée de doubles traits ou de doubles parentbèses ; et nous réserverons la notation ordinaire pour la valeur la ]iUis simple ou celle qui paraîtra mériter davantage d'être remarquée. Ainsi, par exemple, a étant une quantité positive, la racine carrée de cette quantité aura deux valeurs numé- riquement égales , mais de signes contraires , dont l'une quelconque sera exprimée par la notation

{{ap ou ir'V/,

tandis que la valeur positive seule sera représentée

par

I a^ ou -[/a ;

en sorte qu'on aura

(0 ^Y-a = ±y/a,

ou, ce qui revient au. même, '

(2) {(ap =±: aK

De même encore, si l'on représente par a une quan- tité positive ou négative, la notation

arc sin, ((V/)) OU arc tang. ((/?))

»^ COURS D ANALYSE.

désignera un quelconque des arcs qui ont la quan-

tité a pour sinus ou pour tangente, tandis que la

notation

arc sin. («) OU arc tang. (û?)

indiquera seulement celui de ces arcs qui a la plus petite valeur numérique. A l'aide de ces conven- tions, on évite la confusion que pourrait entraîner l'emploi de signes dont la valeur n'aurait pas été dé- terminée d'une manière assez précise. Afin de lever à cet égard toute difficulté , je vais présenter ici le tableau des notations dont nous ferons usage pour exprimer les résultats des opérations algébriques ou trigonométriques.

La somme de deux quantités sera indiquée à l'or- dinaire par la juxtaposition de ces deux quantités , chacune d'elles étant exprimée par une lettre précé- dée du signe h- ou — , que l'on pourra supprimer (si c'est le signe -h) devant la première lettre seu- lement. Ainsi

-\-a-\-b ou simplement a-^b

désignera la somme des deux quantités -h «, -+-ô; et

.^a — h ou simplement a — b

désignera la somme des deux quantités -h or ^ —b, équivalente à la différence des deux quantités -h « » -\- b.

On indiquera l'égalité des deux quantités a et h par le signe = interposé entre elles, comme il suit,

PRÉLIMINAIRES. 9

a = b ;

et l'on exprimera que la première surpasse la se- conde , c'est-à-dire , que la différence a-—b est po- sitive, en écrivant

a> b ou b < a.

Nous représenterons encore à l'ordinaire par

-^a X -+-b , ou simplement a.b, ou ab

le produit des deux quantités -i-a^, -^b; et par

a 7

-,- ou a : a

0

leur quotient.

Soient maintenant m et n deux nombres entiers , A un nombre quelconque, et a^ b deux quantités quelconques positives ou négatives.

A"", A^ =^A, A^^ , A'

représenteront les quantités positives qu'on obtient en élevant le nombre A à des puissances respecti- vement marquées par ies exposans

m , —, rb — , b ; et

a

la quantité positive ou négative que produit l'élé- vation de la quantité ^ à la puissance zL m. Quant îiux notations

10 COURS d'analysé.

nous nous en servirons pour exprimer non-seule- ment ics valeurs positives ou négatives , lorsqu'il en existe, des puissances de la quantité a marquées par

le

s exposans

mais encore les valeurs imaginaires de ces mêmes puissances [voyez ci -après, chap. Vil, ce qu'on entend par expressions imaginaires^. Il est bon d'observer que, si l'on désigne par A la valeur nu- mérique de a, et si l'on suppose la fraction — ré- duite à sa plus simple expression , la puissance

—— TTC- '^'^

aura une seule valeur réelle positive ou négative » savoir ,

m m

■+- A " ou A'" y

lorsque — ■ sera une fraction de dénominateur impair;

tandis qu'elle admettra les deux valeurs réelles dont on vient de parier , ou qu'elle n'en admettra aucune ,

si -- est une fraction de dénominateur pair. On peut faire une semblable remarque à l'égard de l'expres- sion

Dans le cas particulier où, la quantité a étant posi- tive , on suppose ^ = -^ , l'expression ((a)) " n'a

PRÉLIMINAIRES. 11

que deux valeurs réelles l'une et l'autre, et données par la formule ( 2 ) , ou , ce qui revient au même , par la formule ( i ). Les notations

l[B), L{B), L'{B), &c....

indiqueront les logarithmes réels du nombre B dans difFérens systèmes ; tandis que chacune des sui- vantes

/((^)), L((/^)), L'CT), &c....

pourra servir à désigner, outre le logarithme réel de la quantité b , lorsqu'il existe, \\i\ quelconque des logarithmes ima2;inaires de cette même quantité [voy. ci-après, chap. IX, ce qu'on entend par loga- rithmes imaginaires ]. En trigonométrie ,

sin. a , COS. a, tang. a , cot. a, séc. a , cosec. a ,

siv. a , cosiv. a,

exprimeront respectivement le sinus , le cosinus , la tangente, la cotangente , la sécante, la cosécantc, le sinus verse ou le cosinus verse de l'arc a; et les notations

arc sin. ((«]i) , arc cos. ((«)), arc tang. ((«)j , arc cot. ((rty),

arc sec. ((ûr)), arc cosec. i^dfj ,

indiqueront un quelconque des arcs qui ont la quantité a pour sinus, ou cosinus, ou tangente, ou cotangente , ou sécante , ou cosécante. Nous nous servirons des notations simples

12 COURS d'analyse.

arc sin. [ci) , arc cos. (a) , are tang. Ul] , arc cot. (d) , arc sec. [ci^ , arc cose'c. [a) ,

OU même , en supprimant tout-à-fait les parenthèses, des notations suivantes

arc sin. a ^ arc cos. a, arc tang. a , arc cot. a, arc sec. (l , arc cose'c. rt,

lorsque, parmi les arcs dont une ligne trigonomc- triqiic est égale à a, nous voudrons désigner celui qui a la plus petite valeur numérique , ou , si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires, celui qui a la plus petite valeur positive. En con- séquence ,

arc sin. Cl. ^ arc tang. (l , arc cot. a , arc cose'c. d ,

indiqueront des arcs positifs ou négatifs , mais com- pris entre les limites

TT désignant la demi -circonférence dans le cercle qui a pour rayon l'unité ; tandis que

arc COS. Cl , arc sec. CL ,

indiqueront des arcs positifs compris entre les limites o et TT.

En vertu des conventions que Ton vient d'établir,, si l'on désigne par k un nombre entier arbitraire, on aura évidemment , pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la quantité a,

PRÉLIMIXAIRES. 13

;ln. [{a)) =^ ±(^— arc sin. « j dr 2 X: TT ,

arc COS. ((«)) =^ ± arc cos. « ± 2 X' TT , / y arc tang. ({«)) = arc tang. a dz.k'TT ,

arc su

arc cos. rt-4-arc sm. a =:: — arc cose'c. Cl -+- arc sec. €1 ^=z

On trouvera de plus, pour des valeurs positives de a,

(4) aî'c cot. rt -¥- arc tang. «=;= — ,

et, pour des valeurs négatives de a ,

(<j arc cot. a -H arc laiig. « = — — .

Lorsqu'une quantité variable converge vers une limite fixe, ii est souvent utile d'indiquer cette limite par une notation particulière ; c'est ce que nous ferons , en plaçant l'abréviation

lim.

devant la quantité variable dont il s'agit. Quelque- fois, tandis qu'une ou plusieurs variables converj^ent vers des limites fixes , une expression qui renferme ces variables converge à- la -fois vers plusieurs limites différentes les unes des autres. Nous indique- rons alors une quelconque de ces dernières limites , à l'aide de doubles parenthèses placées à la suite de l'abréviation lim. , de manière à entourer l'expres- sion que l'on considère. Supposons, pour fixer les idées, qu'une variable positive ou négative repré-

14 COURS d'analyse.

, ... z^râ , .

sentee par x converge vers la limite -p, et desf-

gnons par A un nombre constant : i! sera facile de

s'assurer que chacune des expressions

lim. ( /i'), Uni- (sin. .r)

a une valeur unique déterminée par l'équation

lim. (^*) = I ,

ou Jim. (siu. .r) =: o;

tandis que l'expression

admet deux valeurs , savoir , -h oo , — oo , et

//;//. ((sin. -^)) ',

une infinité de valeurs comprises entre les limites — I et H- I .

Nous allons terminer ces préliminaires en présen- tant , sur les quantités moyennes , plusieurs théo- rèmes dont la connaissance nous sera fort utile dans la suite de cet ouvrage. On appelle moijennc entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l'on considère. D'après cette définition , il est clair qu'il existe une infinité de moyennes entre plusieurs quantités inégales , et que la moyenne entre plusieurs quantités égales se confond avec chacune d'elles. Cela posé, on éta- blira facilement, ainsi qu'on peut le voir dans la note n.^, les propositions suivantes.

PRÉLIMINAIRES. 15

1."" Théorème. Soient b, b' , b" — plusieurs

quantités de même signe en nombre n, et a, à , a ...

des quantités quelconques en nombre égal a celui

des premières. La fraction

« -H a' -h a" H- &c. . .

b -\- b' -i- b" -Y- &c. . . .

sera moyenne entre les suivantes

a a' a" o

Corollaire. Si l'on suppose b = b'=.b" ...= i , on conclura du théorème précédent que fa quantité

fi H- a' -+- a" -h 6cc . . .

est moyenne entre les suivantes

' I II v

a, a , a ... 6:c. . . .

Cette espèce particulière de moyenne est ce qu'on

nomme une moyenne arithmétique.

2/ Théorème. Soient a, a', a" ; b, b',

b" deux suites de nombres pris a volonté; et

foimions avec ces deux suites , que nous supposons

renfermer chacune un nombre n de termes , les

racines

B B' B"

VA, yA\ Y A", &c...:

B^B^-^B"...

A A' A... sera une 7iouveUc racine moyenne entre toutes les autres.

16 COURS d'analyse.

Corollaire. Si l'on prend

B=:B'=B" ...= 1,

on trouvera que la quantité positive

i/AA' A" ... est moyenne entre les suivantes

A, A', A" ....

Cette moyenne , d'une espèce particulière , est celle que l'on nomme moyenne géométrique.

S.*" Théorème Les mêmes choses étant posées que dans le théorème i."" , si a y a y a." dé- signent ejîcore des quantités de même signe, la fraction

a. a -h CL' a' -\- a." a" 4- &c, , . , a. b ~\- a.' b' -^ a." b" -\- &c. , . .

sera moyenne entre les suivantes

a a' a" «

T' T"' Â^' os^c...

Corollaire. Si l'on suppose on conclura du théorème précédent que ïa somme

/ ' Il II Q

acL •+■ a ûL ~\- a cl -\- çslq,. . . . est équivalente au produit de

et -H ûl' -H et" -i- &C. . . ,

par une moyenne entre les quantités a, a, a", &c. . .

PRÉLIMINAIRES. 17

Pour abréger, lorsque nous voudrons désigner une moyenne entre plusieurs quantités a, a , d\ ..., nous nous servirons de la notation

M{a, a!, ci' ....)•

Cela posé, les théorèmes qui précèdent et leurs corollaires se trouveront compris dans les formules

/ \ a H- a' H- a" -H <Scc -mrr , ,, >,

(?) n ^M\a, a, a ....),

,o\ B+B+B'... ; B B' B" \

^^)\^,^.^--^ A~A A\..=M\/A, Y A', VA"..), {9)1/^ ^' ^" = ^^(^. A', A" ....),

/ >^ aa.-\-a' ct'-\-a" cc"-i~. . . ]\f f " «' «" \

(il) acL-^a a.' -\-a' cl'' -^..=:{du-^cL' -^a.'' ..)M{(i,a ,a .).

Dans ces formules ,

I II j 1 1 1 II I II

a, a, a ...; 0,0, b ... ; cL.,cL^a, ....

représentent trois suites de quantités , et

^, A', A" ...; ^, i?', B" ....

deux suites de nombres formées chacune de 7a termes dilFérens. La troisième suite est , ainsi que la seconde , uniquement composée de quantités de même signe.

La notation que nous venons d'adopter fournit le moyen d'exprimer qu'une quantité est comprise TOM. 1. B

18 COURS d'analyse, prélim.

entre deux limites duniices. En effet, toute quantité comprise entre les limites a, h étant une moyenne entre ces mêmes limites , on pourra la désigner par

M [a, b).

Ainsi , par exemple , toute quantité positive pourra être représentée par M (o, oo), toute quantité né- gative par M (- oo , o), et toute quantité réelle par M ( — oo , H- oo ). Lorsque nous voudrons indiquer indistinctement une quelconque des quan- tités renfermées entre les limites a ei b , nous dou- blerons les parenthèses, et nous écrirons

Mich h))- Par exemple, si l'on suppose que la variable .v con- verge vers zéro , l'on aura

lim. ((sm.-^))=:=A/((-I.+l));

attendu que l'expression /«V/?. (( sin. —j) admettra , une infinité de valeurs comprises entre les valeurs extrêmes — i et h- i .

"■"""■'' «^*>i#Nr ^>#^^^

COURS d'analyse. 19

PREMIERE PARTIE.

ANALYSE ALGÉBRIQUE. CHAPITRE I.^^

DES FONCTIONS RÉELLES.

l. 1 ." Considérations générales sur les Fonctions.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l'une d'elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres , on conçoit d'ordinaire ces diverses quan- tités exjvriniées au moyen de Tune d'entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante; e't les autres quantités exprimées au moyen de la variable indépendante sont ce qu'on appelle des fonctions de cette variable.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, les valeurs de quelques-unes étant données, on puisse en conclure celles de toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d'entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes;

B

20 COURS d'analyse.

et les quantités restantes , exprimées au moyen des variables indépendantes , sont ce qu'on appelle des fonctions de ces mêmes variables.

Les diverses expressions (jue fournissent l'algèbre et la trioonométrie , lorsqu'elles renferment des va- riables considérées comme indépendantes , sont autant de fonctions de ces mêmes variables. Ainsi, par exemple ,

L (.r), sin. JC, &C ,

sont des fonctions de la viuiable x ;

x-\-y , jO , xijz, &c. . . ,

des fonctions des variables x (tiy , ou x,yQi z, &c... Lorsque des fonctions d'une ou de plusieurs va- riables se trouvent , comme dans les exemples pré- cédens, immédiatement exprimées au moyen de ce? mêmes variables , elles sont \\Q>mm^Q^ fondions ex- plicites. Mais, lorsqu'on donne seulement les rela- tions entre les fonctions et les variables, c'est-à-dire, les équations auxquelles ces quantités doivent satis- faire , tant que ces équations ne sont pas résolues algébri(iuement, les fonctions, n'étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables, sont appe- lées fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équa- tions qui les déterminent. Par exemple, y étant une fonction implicite de x déterminée par l'équation

L[y)=^x,

si l'on nomme A la base du système (ïe logarithmes

I."^ PARTIE. CHAP. I." 21

que l'on considère , la même fonction , devenue explicite par la résolution de l'équation donnée, sera

Lorsqu'on veut désigner une fonction explicite d'une seule variable jc ou de plusieurs variables x, y , z . . . , sans déterminer la nature de cette lonc- tion, on emploie l'une des notations

fiœ), F{x\ <:S>{jc\ xi^\ ^W' '^W' ••• "^^

/(.r, ij, z ...), F{jc, y, z ...), Cp'ya:, y, z ...), &c.,.

Pour qu'une fonction d'une seule variable soit complètement déterminée , il est nécessaire et i! suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire la valeur correspon- dante de la fonction. Quelquefois , pour chaque valeur de la variable , la fonction donnée en obtient plusieurs différentes les unes des autres. Confor- mément aux conventions adoptées dans les préli- minaires, nous désignerons d'ordinaire ces vuleurs. multiples d'une fonction par des notations dans les- quelles la variable sera entourée de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi , par exemple ,

arc sin. ((^i^"))

indiquera un quelconque des arcs qui ont .v pour sinus ,

Y^X z=. =b -/x

l'une quelconque des deux racines carrées de la variable x supposée positive, <kc

22 COURS d'analyse.

5. 2/ Des Fonctions simples.

l Parmi les fonctions d'une variable a-, on appelle simples celles qui résultent d'une seule opération effectuée sur cette variable. Les fonctions simples que l'on considère ordinairement en analyse sont en très-petit nombre , et se rapportent les unes à l'algèbre, les autres à la trigonométrie. L'addition et la soustraction , la multiplication et ia division , l'élévation aux puissances et l'extraction des racines, enfin la formation des exponentielles et des loga- rithmes, produisent les fonctions simples qui se rapportent à falgèbre. En conséquence , si l'on dé- signe par A un nombre constant , et par a^=± A une quantité constante , les fonctions algébriques simples de la variable év seront

a-H^^ a — a:, ax, —, x'^, A^ , L{x).

Nous ne tenons pas ici compte des racines , parce qu'on peut toujours les ramener aux puissances. Quant aux fonctions simples qui se rapportent à la trigonométrie , on pourrait en compter un grand nombre, si l'on rangeait parmi les fonctions simples toutes les lignes trigononiétriques , et les arcs qui correspondent à ces mêmes lignes ; mais nous les réduirons aux quatre suivantes

sin. X , COS. X , arc sin. X ^ arc oos. X ;

!." PARTIE. CHAP. I." 23

et nous mettrons au nombre des fonctions composées les autres lignes trigonométriques tang. x, sec x , &c. avec ies arcs correspondans , arc tang. x , arc sec x ,

&c ; attendu que ces dernières lignes peuvent

toujours être exprimées par le moyen du sinus et du cosinus. Nous pourrions même, à ia rigueur, ré- duire les deux fonctions simples sin. x et cos. x à une seule , puisqu'elles sont liées entre elles par l'équation sin.^ x -i- cos.^ j- =r i ; mais l'emploi de ces deux fonctions est si fréquent, qu'il est utile de les conserver toutes deux à- la- fois dans ic calcul comme fonctions simples»

§. 3.* Des Fonctions, composées.

Les fonctions qui se déduisent d'une variable à i'aide de plusieurs opérations prennent le nom de fonctions composées ; et l'on distingue parmi ces der- nières les fonctions de fonctions qui résultent de plusieurs opérations successives , la première opé- ration étant effectuée sur la variable , et chacune des autres sur le résultat de l'opération précédente. En vertu de ces définitions,

•^% V^^> ■—> ^c. ... sont des fonctions composées de la variable x ; et

/(sin. jf), /(cos, .r), &C. . . .

des fonctions de fonctions , dont chacune résulte de deux opérations successives.

24 COURS d'analyse.

Les fonctions composées se distinguent îes unes des autres par la nature des opérations qui les pro- duisent. H semble que l'on devrait nommer fonctions algébriques toutes celles que fournissent les opéra- tions de l'algèbre ; mais on a réservé particulièrement ce nom à celles que l'on forme en n'employant que les premières opérations algébriques, savoir, l'ad- dition et la soustraction, la multiplication et la di- vision, enfin l'élévation à des puissances fixes; et» dès qu'une fonction renferme des exposans variables ou des logarithmes, elle prend le nom de fonction ejcponentieUe ou logarithmique.

Les fonctions que l'on nomme algébriques se divisent en fonctions rationnelles et fonctions irra- tionnelles. Les fonctions rationnelles sont celles dans lesquelles la variable ne se trouve élevée qu'à des puissances entières. On appelle en particulier y^^zc- iion entière tout polynôme qui ne renferme que des puissances entières de la variable , par exemple ,

a-^hx-^coc'-\- &c. . . , ,

^t fonction fractionnaire ou fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynômes. Le degré d'une fonction entière de a; est l'exposant de la plus haute puissance de jc dans cette même fonction. La fonction entière du premier degré , savoir ,

a -+- hx

s'appelle aussi fonction linéaire ^ parce que, dans l'application à fa géométrie, on s'en sert pour re-

ï."^ PARTIE. CHAP. I."* 25

présenter l'ordonnée d'une ligne droite. Toute fonc- tion entière ou fractionnaire est par cela même rationnelle , et toute autre espèce de fonction algé- brique est irrationnelle.

Les fonctions que produisent les opérations de la trigonométrie sont désignées sous le nom de fonctions ti'i g onomé triques ou circulaires.

Les divers noms , que l'on vient d'attribuer aux fonctions composées d'une seule variable, s'appli- quent également aux fonctions de plusieurs va- riables , lorsque ces dernières fonctions jouissent , par rapport à chacune des variables qu'elles ren- ferment , des propriétés que supposent les noms dont il s'agit. Ainsi, par exemple, tout polynôme, qui ne contiendra que des puissances entières des variables œ, y, z . , .^ sera une fonction entière de ces variables. On appelle degré de cette fonction entière la somme des exposans des variables dans le ternie où cette somme est la plus grande. Une fonction entière du premier degré, telle que

a-\-hx-\-cy-\-dz-\- &c. . . . ,

prend le nom de fonction linéaire.

26 COURS d'analyse.

CHAPITRE IL

Des Quantités infiniment petites ou infiniment grandes , et de la continuité des Fonctions. Valeurs singulières des Fonctions dans quelques cas particuliers.

5. 1.*"^ Des Quantités infiniment jjeiiles et infiniment grandes.

On dit qu'une quantité variable devient ififni- ment petite , lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment de manière à converger vers la limite zéro. II est bon de remarquer à ce sujet qu'on ne doit pas confondre un décroissement. constant avec un décroissement indéfini. La surface d'un polygone régulier circonscrit à un cercle donné décroît cons- tamment, à mesure que le nombre des côtés aug- mente, mais non pas indélininient , puisqu'elle a pour limite la surface du cercle. De même encore, une variable , qui n'admettrait poin- valeurs succes- sives que les dilférens termes de la suite

1. 1. ±. 1^ A. K^o

prolongée à l'infuii , décroîtrait constamment , mais non pas indéfiniment, puisque ses valeurs succes- sives convergeraient vers la limite i. Au contraire.

I." PARTIE. CHAP. II. 27

une variable, qui n'aurait pour vaieurs successives que les différens termes de la suite

I I I I I I n^

T ' T ' ~ ' T ' T ' y ' —

prolongée à l'infuii , ne décroîtrait pas constamment , puisque la différence entre deux termes consécutifs de cette suite est alternativement positive et néga- tive ; et néanmoins elle décroîtrait indéfiniment , puisque sa valeur finirait par s'abaisser au-dessous de tout nombre donné.

On dit qu'une quantité variable devient infini- vient grande , lorsque sa valeur numérique croît indéfiniment de manière à converger vers la limite oo, II est encore essentiel d'observer ici qu'on ne doit pas confondre une variable qui croît indéfini- ment avec une variable qui croît constamment. La surface d'un polygone régulier inscrit à un cercle donné croît constamment, mais non pas indéfiniment, à mesure que le nombre des côtés augmente. Les termes de la suite naturelle des nombres entiers

I . 2 , 3 , 4 , 5 , &c. . . .

croissent constamment et indéfiniment.

Les quantités infiniment petites et infiniment Jurandes jouissent de plusieurs propriétés, qui con-^ (luisent à la solution de questions importantes , et que je vais exposer en peu de mots.

Soit CL une quantité infiniment petite, c'est-à-dire, une variable dont la valeur numérique décroisse indéfiniment. Lorsque dans un même calcul on fait

28 COURS d'analyse.

entrer les diverses puissances entières de et, savoir .

et, et* , ct^ , &c. . . . ,

ces diverses puissances sont respectivement dési- gnées sous le nom d'infiniment petits An premier , du second, du troisième ordre, &c.... En général, on appelle infiniment petit du premier ordre toute quantité variable dont le rapport avec et converge, tandis que la valeur numérique de et diminue, vers une iimite finie différente de zéro ; infiniment petit du second ordre toute quantité variable avec et, et dont le rapport avec et' converge vers une fimite

finie différente de zéro , &c Cela posé , si l'on

désigne par k une quantité finie différente de zéro , et par e un nombre variable qui décroisse indéfi- niment avec la valeur numérique de et , la forme générale des quantités infiniment petites du premier ordre sera

k CL ou du moins k cl [i =t: e ) ,

la forme générale des quantités infiniment petites du second ordre

k CL ou du moins k cl [i =t ^ ) ,

6.C....,

enfin la forme générale des infiniment petits de l'ordre n (?? représentant un nombre entier) sera

kcL" ou du moins A- et" ( i rt g).

On peut facilement étabfir , à fégard de ces divers

I."^ PARTIE. CHAP. II. 29

ordres de quantités infiniment petites , les théo- rèmes siiivans.

1." Théorème. Si I'oji compare l'un à l'autre deux infiniment petits d'ordres différens , pendant que tous les deux convergeront vers la limite zéro , celui qui est de l'ordre le plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur nu- mérique,

DÉMONSTRATION. Soient en effet

A-ct«(l±6), Â-'ct"' (izfcg')

deux infiniment petits, l'un de l'ordre n, l'autre de l'ordre n' , et supposons îi > n; le rapport entre le second de ces infiniment petits et le premier, savoir,

il w"'-" '-''

convergera indéfiniment avec et vers la limite zéro ; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que la valeur numérique du second finit par devenir constam- ment inférieure à celle du premier.

2.^ Théorème. Un infiniment petit de l'ordre n, c'est-à-dire, de la forme

change de signe avec a , toutes les fois que n est un nombre impair , et conserve pour de très-petites valeurs numériques de a. le même signe que la quantité k, lorsque n est un 7iombre pair.

DÉMONSTRATION. En efTct, dans la première hypothèse, oo" change de signe avec a, ; et dans la

30 COURS d'analyse.

seconde , et" est toujours positif. De plus , le signe du produit /{{ i ± e) est le même que celui de k, lorsque g est très-petit.

3.^ Théorème. La somme de plusieurs infini'

ment petits des ordres

I II n , n , 71 , . . , .

(il, n" ... désignant des nombres supérieurs à n^^ est un îiouvel infiniment petit de l'ordre n. DÉMONSTRATION. En effet ,

=.hdL"\^ I ±:g-f- -^^' ct«'-"( 1 ±S')-^-^ ^""~\ I ±£")-^&C.]

e, étant un nombre qui converge avec au vers la limite zéro.

Des principes qu'on vient d'énoncer on déduit aisément, comme on va le voir, plusieurs proposi- tions remarquables qui se rapportent à des poly- nômes ordonnés suivant les puissances ascendantes d'une quantité infmiment petite et.

4.^ Théorème. Tout polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de a. , 2)ar exemple ,

a-\-bcL-\-ccL^-^ &c. . . . ou plus généralement,

act« -i-baL"'-\-cct''"-^6iC..., (les nombres n^ n, n .... formant une suite ci'ois-

ï/^ PARTIE. CIIAP. II. 31

santé), jinit 'par être, pour de très-petites valeurs numériques de a. , constamment de même sigiie que 'Son premier terme

a ou a et".

DÈMONSTRATiox. En effet, la somme faite Ju second terme et de ceux qui le suivent est , dans l(^ premier cas, un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur numérique finit par être inférieure à celle de la quantité finie a , et, dans le second cas, un infiniment petit de l'ordre n , qui finit par ob- tenir constamment une valeur numérique inférieure à celle d'un infiniment petit de l'ordre n.

5.* Théorème. Lorsque, dans le polynôme

act"-+-^ct"'-l-Cct""-+-&C

ordonné suivant les puissances ascendantes de a. , le degré n du second terme est un nombre impair, ce polynôme, pour de très- petites valeurs numé- riques de a. , est tantôt supérieur et tantôt inférieur a son premier terme aai" , suivant que la variable a et le coefficient h sont de îîiême signe ou de signes contraires.

DÉMONSTRATION. En effet, dans l'hypothèse admise, la somme des termes qui suivent le premier, savoir ,

sera, pour de très-petites valeurs numériques de ce, de même signe que chacun des deux produits ba,"', bcL.

32 COURS d'analyse.

6/ Théorème. Lorsque, dans le pohjnome

aaJ''-\- h du'" -+- c ^"" -h &c

ordonné suivant les puissances ascendantes de a. , le de "-ré n du second terme est un nombre pair, ce polynôme , jwur de très -petites valeurs numé- riques de a. , finit par devenir constamment supé- rieur (i son premier terme, toutes les fois que b est positif, et constamment inférieur , toutes les fois que b est négatif

DÉMONSTRATION. En effet, dans l'hypothèse admise , la somme des termes qui suivent le pre- mier aura , pour de très-petites valeurs numériques de et, le signe du produit bcU" , et par suite le

signe de b.

Corollaire. En supposant, dans le théorème qui précède , « — o , on obtiendra la proposition

suivante.

7.*= THÉORiiME. Si, dans le polynôme

a^boL'"'\-cdL"" -i-^c... ordonné suivant les puissances ascendantes de a, n désione un nombre pair ; parmi les valeurs de ce polynôme correspondantes à des valeurs infni- ment petites de cl, celle qui correspond à u = o, c'est-à-dire a, sera toujours la plus petite , lors- que b sera positif, et la plus grande, lorsque b

sera négatif

Cette valeurparticulière du polynôme, plus grande ou plus petite que toutes les valeurs voisines, est ce qu'on appelle un maximum ou un minimum.

I."^ PARTIE. CHAP. II. 33

Les propriétés des quantités infiniment petites étant établies , on en déduit les propriétés ana- logues des quantités infiniment grandes , en obser- vant que toute quantité variable de cette dernière espèce peut être représentée par -, et désignant une quantité infiniment petite. Ainsi, par exemple , lorsque , dans le polynôme

«^'"-t- ^.r'"-' H- cx"'-^ -+- &c.... -^hx -^k

ordonné suivant les puissances descendantes de la variable x, cette variable devient infiniment grande; en la mettant sous fa forme ^, on réduit le poly- nôme dont il s'agit à

et ion reconnaît alors immédiatement que, pour de très-petites valeurs numériques de et, ou, ce qui revient au même, pour de très-grandes valeurs numériques de .r, ce polynôme est de même sicrna que son premier terme

Comme cette remarque subsiste dans le cas même où quelques-unes des quantités b , c . . . h , k ^e réduisent à zéro , il en résulte qu'on peut énoncer le tliéorème suivant.

8.' Théorème. Lorsque, dans un pohjîiotne ordonné suivant les puissances descendaiites de la variable x, on fait croître indéfiniment la valeur TOM. 1. ç^

34 COURS d'analyse.

numérique de cette variable, le jwhjnome finit par

être constamment de même signe que son premier

terme.

i. 2.* De la continuité des Fondions.

Parmi les objets qui se rattachent à la considé- ration des infiniment petits, on doit placer les no- tions relatives à la continuité ou à la discontinuité des fonctions. Examinons d'abord sous ce point de vue les fonctions d'une seule variable.

Soit/(^') une fonction de la variable x, et supposons que, pour chaque valeur de x intermé- diaire entre deux limites données , cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en partant d'une valeur de x comprise entre ces limites, on attribue à la variable x un accroissement infiniment petit et , la fonction elle-même recevra pour accroissement la différence /(.r-Hct)-/(^), qui dépendra en même temps^de la nouvelle va- riable CL et- de la valeur de x. Cela posé, la fonction f[x) sera, entre les deux limites assignées à la va- riable X, fonction coyifmue de cette variable, si, pour chaque valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la différence

décroît indéfiniment avec celle de <l. En d'autres termes, la fonction f [x) restera continue par rap-

I." PARTIE. CHAP. II. 35

port à X entre les limites données , si , entre ces limites, un accroissement infiniment jiclit de la va- riable produit toujours un accru isseinent infiniment petit de la fonction elle-même.

On dit encore que la fonction /(jc) est, dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à la variabie œ , fonction continue de cette variable, toutes les fois qu'elle est continue entre deux limites de X , même très-rapprochées , qui renferment la valeur dont il s'aejit.

Enfin, lorsqu'une fonction/(x) cesse d'être con- tinue dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable jc , on dit (ju'elle devient alors discon- tinue, et qu'il y a pour cette valeur particulière solution de contimnté.

D'après ces explications , il sera facile de recon- naître entre quelles limites une fonction donnée de la variable x est continue par rapport à cette variable. Ainsi, par exemple, ia fonction sin. x, admettant pour chaque valeur particulière de la variable x une vjileur unique et finie, sera continue entre deux limites quelconques de cette variable, attendu que la valeur numérique de sin. (4 ce), et par suite celle de la différence

&\n.{x^cL)—sm.Xz=z2. s\n.[\aL,) cqs. (x -4-^ et ),

décroissent indéfiniment avec celle de et, quelle que soit d'ailleurs la valeur finie que l'on attribue à x. En général , si l'on envisage sous le rapport de la continuité les onze fonctions simples que nous avons

#

c

36 COURS d'analyse.

considérées ci-dessus (chap. L", §.2), savoir,

Cf -+- X j CL -— X f Cl X f — ^ X f jnl ^ Lj X f

sin. X f COS. X , arc sin. X , arc cos. X ^

on trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux limites finies de la variable x, toutes les fois qu'étant constamment réelle entre ces deux limites elle ne devient pas infinie dans fintervalle.

Par suite , chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage d'une valeur finie attribuée à la variable x , si cette valeur finie se trouve comprise

p	3ur le» fonctions
	a->t- x\
	a — x\
	a X 1 ~
	A' \ ^"
	sin. X
	COS. X

entre les limites... ^= — 00 , x=-hoo

pour là fonction

^ { i.° entre les limites. . .x=: — 00 , x=o , ' (2.° entre les limites... jr=: o , x=zoo \

pour les fonctions X'* ]

, / V > entre les limites ... a? = o , x == 00 ;

L{x) \

enfin pour les fonctions arc sin. X

ï entre les limites... :i7=--i , ar=:-t-i.

arc cos. X \

I

I." PARTIE. CHAP. II. 37

II est bon d'observer que , dans le cas où Ion sup- pose « = d= m [m désignant un nombre entier), la fonction simple

est toujours continue dans le voisinage d'une valeur finie de la variable x , pourvu que cette valeur soit comprise ,

si az=-^ni, entre les limites. ..x=i — oo, .rr=-»-oo ,

! entre les limites. . . œ=z — oc , ar= o , ou bien entre les suivantes . . . ^ r= o , a:=^oo.

Parmi les onze fonctions que l'on vient de citer, deux seulement deviennent discontinues pour une valeur de x comprise dans l'intervalle des limites entre lesquelles ces mêmes fonctions restent réelles. Les deux fonctions dont il s'agit sont

— et x'* (lorsque <2 = — m).

L'une et l'autre deviennent infinies , et par consé- quent discontinues, pour x=^o.

Soit maintenant

f{x, ij, z, ...)

une fonction de plusieurs variables x, y , z ...\ et supposons que, dans le voisinage de valeurs par- ticulières X, Y, Z. attribuées à ces variables ,

f{x, y, z . . ,) soit à-Ia-fois fonction continue de x , fonction continue de y, fonction continue de z, &c.

38 COURS d'analyse.

On prouvera aisément que, si l'on désigne par et,

C, y . . . des quantités infiniment petites, et si l'on

attribue k oc, y, z ... les valeurs X, Y, Z , ou

des valeurs très-voisines , la différence

/(^•-Hct, y-»-<^, z~\-y)—f{x,ij., z...)

sera elle-même infiniment petite. En effet, il est clair que, dans l'hypothèse précédente , les valeurs numériques des différences

/(^-+-ct, 2j , Z, ...)— /(.r, y, z ...), /(.r-HûL, y-+-Ç>, z ...)—f{x-^cL, y, z ...), /(.rn-cc, yn-C, z-i-y ...)— /(^-f-ct, y^C, z ...), &c

décroîtront indéfiniment avec celles des quantités variables et, €, y .. . , savoir, la valeur numérique de la première différence avec la valeur numérique de CL , celle de la seconde différence avec la valeur numérique de C, celle de la troisième avec la va- leur numérique dey, et ainsi de suite. On doit en conclure que la somme de toutes ces différences , savoir ,

f{x-i-ct,y-^C,z-^y,...)—f{.r, y, z ...)

convergera vers la limite zéro, si ce, C, y .... con- vergent vers cette même limite. En d'autres termes,

f{x-\-cL, y-^Ç>, z-^y...)

aura pour limite

f[x, y, z ...).

La proposition qu'on vient de démontrer subsiste

I."^ PARTIE. CHAP. II. 3^

évidemment dans le cas même où l'on établirait entre les nouvelles variables et , ^ , y cer- taines relations. Il suffît que ces relations permettent aux nouvelles variables de converger toutes en même temps vers la limite zéro.

Lorsque , dans la même proposition , on remplace X, y, z ... par X, Y, Z..., et j7->-ct, y-»-^, z-^y... par œ, y, z ...^ on obtient l'énoncé suivant.

l.^"" Théorème. Si les variables x , y, z ... ont pour limites respectives les quantités jixes et dé- terminées X, Y, z ..., et que la fonction f(x, y, z ...) soit continue par rapport à chacune des variables X, y, z .... dans le voisinage du système des valeurs particulières

x — X, y=Y, z = Z ..., f[x, y, z ....) aura pour limite f(x, Y, Z ...).

Comme, dans ce second énoncé, les variables a, C>, y ... se trouvent remplacées par x — X, y — V,

z — Z, &.C , les relations qu'on pouvait établir,

dans le premier énoncé, entre ûc, ^,7..., pourront être établies , dans le second , entre les quantités r—X, y~Y, z—Z; et il en résulte que la fonc- tion/(.r, ;/, z...) aura pour limite /(Jf, Y,Z ...)y

dans le cas même où les variables x, y, z

seraient assujetties à certaines relations , pourvu que ces relations leur pennettent de s'approcher indéfniiment des limites A", Y, Z

Supposons , pour fixer les idées , que x, y, z ...

40 COURS d'analyse.

soient fonctions d'une même variable t considérée comme indépendante, et continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur parti- culière

Si Ton fait, pour plus de commodité,

u sera ce qu'on appelle une fonction composée de la variable t; et, si

X, Y, Z ,.. U

désignent respectivement ce que deviennent

X, y, z ,., u

dans le cas où l'on suppose t=T , il est clair, d'une part, qu'une valeur de t très-voisine de T fournira pour u une valeur unique et finie ; d'autre part , qu'il suffira de faire converger t vers la limite T^ pour que les variables x^ y, z... convergent vers les limites X, Y ^ Z ,, ... , et par suite la fonction u=if{jc, y,z. . ») vers la limite U:=f[X, Y, Z ,..)^ On prouverait absolument de la même manière que, si l'on attribue à t une valeur très-voisine de T , la valeur correspondante de la fonction u sera la limite de laquelle cette fonction s'approchera indéfiniment, tandis que t convergera vers la valeur donnée ; et l'on doit conclure que u sera fonction continue de t dans le voisinage de tz=zT. On peut donc énoncer le théorème suivant.

I." PARTIE. CHAP. II. 41

2/ Théorème. Désignoiis par

^ > y > ^

plusieurs fondions de la variable t , qui soient continues par rapport a cette variable dans le voisinage de la valeur particulière tz=zT, Soient , déplus,

X, Y, Z\..

les valeurs pariiculières de x, rj, z .., corrcspott'^ da?ifes a tzzzT'f et supposons que , dans le voisi' nage de ces valeurs particulières , la fonction

u-=f[x, y, z ...)

soit en même temps continue par rapport a x , continue par rapport à y, continue par rapporta z , &c. .. : u, considérée comme fonction de t, sera encore continue par rapport a t dans le voisinage de la valeur particulière tziz. t.

Si , dans le théorème précédent , on réduit les quantités variables x , y , z . .. ix. une seule, x , on obtiendra un nouveau théorème, qu'on peut énoncer comme il suit.

3.^ Théorème. Supposons que, dans l'équation

la variable x soit fonction d'une autre variable t. Concevons de plus que la variable .r soit fonction continue de t dans le voisinage de la valeur par- ticulière t=:T^ et H fonction continue de x dans le voisinage de la. valeur particulière r = x corres- pondante à t rzr. La quantité u, considérée comme

42 COURS d'analyse.

fonction de t , sera encore continue jjar rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur par- ticidière t^rzT.

Supposons, par exemple,

u -ziz ax et X = t" ,

a désignant une quantité constante, et n un nombre entier. On conclura dû 3 .^ théorème que

u — at"

est, entre des limites quelconques de la variable f, fonction continue de cette variable. De même, si l'on fait

u = — , X =■ sin. r, y = COS. t,

on conclura du 2.* théorème que la fonction

71 r=r tang. t

est continue par rapport à t dans le voisinage d'une valeur finie quelconque de cette variable, toutes les fois que ia valeur dont il s'agit n'est pas comprise dans la formule

t=:±2k^zh—, 2

k désignant un nombre entier; c'est-à-dire, toutes les fois qu'à cette valeur de t correspond une valeur finie de tang. t. Au contraire , la fonction tang. t admettra une solution de continuité , en devenant infinie , ])our chacune des valeurs de t comprises dans la formule précédente. Supposons encore

I." PARTIE. CHAP. II. 43

jcrzzbt, yzzzcf &c....,

a, h, c... désignant des quantités constantes. Alors, u étant fonction continue de j:; y, z .., entre des limites quelconques de ces variables , ci x,y, z.., fonctions continues de ia variable t en^tre des limites quelconques de cette dernière , on conclura du théorème 3.'' que la fonction

est elle-même continue par rapport à t entre des limites quelconques. Par suite, comme t^=o donne u = a , si l'on fait converger t vers la limite zéro , ia fonction u convergera vers la limite «r, et finira par obtenir le même signe que cette limite ; ce qui s'accorde avec le 4-*^ théorème du §. i ."

Une propriété remarquable des fonctions conti- nues d'une seule variable , c'est de pouvoir servir à représenter en géométrie les ordonnées de lignes continues droites ou courbes. De cette remarque on déduit facilement la proposition suivante.

A.^ Théorème. Si la fonction fix) est continue par rapport à la variable x entre les limites x^=zx^, xz=zX, et que l'on désigne par h une quantité inter- médiaire eîitre f[x^) etf\x), on pourra toujours satisfaire à l'équation

/(x) = b

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre x„ et x.

44 COURS d'analyse.

DÉMONSTRATION. Pour établir la proposition précédente , il suffit de faire voir que la courbe qui a pour équation

rencontrera une ou plusieurs fois la droite qui a pour équation

7J=b

dans l'intervalle compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses x^ et X : or c'est évi- demment ce qui aura lieu dans l'hypothèse admise. En effet, la fonction fi-^) étant continue entre les limites j7=:j:-(>, œ=zX , la courbe qui a pour équa- tion yr=^f{^a:^^ et qui passe i .° par le point corres- pondant aux coordonnées -^ot f{,^o) ■> 2.° par le point correspondant aux coordonnées X eifi^X)^ sera continue entre ces deux points : et, comme l'or- donnée constante b de la droite qui a pour équation yz=zb se trouve comprise entre les ordonnéesy(.ro) , f{X) des deux points que l'on considère , la droite passera nécessairement entre ces deux points , ce qu'elle ne peut faire sans rencontrer dans l'inter- valle la courbe ci-dessus mentionnée.

On peut , au reste , comme on le fera dans la note in , démontrer le 4' théorème par une mé- thode directe et purement analytique, qui a même l'avantage de fournir la résolution numérique de l'équatioa

/(x) = ^.

I.'*^ PARTIE. CHAP. II. 45

^. 3.* Valeurs singulières des Fonctions dans quelques cas particuliers.

Lorsque , pour un système de valeurs attribuées aux variables qu'elle renferme , une fonction d'une ou de plusieurs variables n'admet qu'une seule va- leur, cette valeur unique se déduit ordinairement de la définition même de la fonction. S'il se pré- sente un cas particulier dans lequel la définition donnée ne puisse plus fournir immédiatement la valeur de la fonction que l'on considère, on cherche la limite ou les limites vers lesquelles cette fonction converge, tandis que les variables s'approchent in- définiment des valeurs particulières qui leur sont assignées; et, s'il existe une ou plusieurs limites de cette espèce , elles sont regardées comme autant de valeurs de la fonction dans l'hypothèse admise. Nous nommerons valeurs singulières de la fonction pro- posée celles qui se trouvent déterminées comme on vient de le dire. Telles sont , par exemple , celles qu'on obtient en attribuant aux variables des valeurs infinies, et souvent. aussi celles qui correspondent à des solutions de continuité. La recherche des valeurs singulières des fonctions est une des ques- tions les plus importantes et les plus délicates dé l'analyse : elle oftVe plus ou moins de dillicultés, suivant la nature des fonctions et le nombre des variables qu'elles renferment.

Si, d'abord, on considère les fonctions simples

46 COURS d'analyse.

d'une seule variable , on trouvera qu'il est facile de fixer leurs valeurs singulières. Ces valeurs corres- pondent toujours à l'une des trois hypothèses

et sont respectivement,

pour la fonction

U + X (« désignant une quantité quelconque) flH-00=00 . . . (t — 00=^ — OO , « — X (a désignant une quantité quelconque) û — 00= — OO . . . a — ( — CXD)=C0 , a désignant une quantité positive û x 00=00. . .a x — CO= — OO,

a X

a désignant une quantité négative <l x 00== — OO . . . a x 00=00 ,

a désignant une quantité positive -— -O, =ltOO, =^0>

OO O — OO

a a a

a désignant une quantilé négative =0> ■ rv^ , ■ ^0>

OO G — OO

a désignant une quantité positive O =0, OO =00 ,

' a désignant une quantité négative O =00 , CO" =0,

l v4 désignant un nombre sup. à l'unité ^~'** =0, ^°=l,^*=:00, ( A désignant un nombre inf. à l'unité A ^ ::=00 , A'^=.\ , A'^ =0 ,

Llx)

la base du syst. de log. étant tup. à l'unité ^(o)= OO, Z,(oo)=00 ,

la base étant inférieure à l'unité Z,(o):=:-f-00, Z,(oo]= — OO,

sin. X sin.((—Oc))=7I^((— .,-!-.)) , sin.((cc))=/I^((— i,-f-i)) ,

COS. X cos.((— co))=/!f((— i,-m)) , cos.((co))=y)'y((— i,-t- 1)).

La notation ^/((— i > -^ 0) <^îésigne ici , comme dans les préliminaires , une quelconque des quantités moyennes entre les deux limites

— I et H- I .

II est bon d'observer que , dans le cas où l'on

I.'* PARTIE. CHAP. II. 47

suppose a=z± m (w? désignant un nombre entier), ia fonction simple

a:"

admet constamment trois valeurs singulières, savoir,

lorsque ( ««""«"" "«"'^••e P"" {— oc i'"==CXD , o'"=0, Cc"'=co ,

C = -t-7n ^ m étant impiir ^_qq^"î___q^^ O^^O, Oc'"=00,

et lorsque f "" '•'"' P"' (~Cc)~'"^o, o-'"=CC, 00"'"= o,

fl = -»I I „ étant impiir ^_^ym_^ ^ (;o))~'"=± :rc , OC-'"=0.

Considérons maintenant les fonctions composées d'une seule variable ^. Quelquefois il est aisé de trouver leurs valeurs singulières. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par >(• un nombre entier quelconque , on reconnaîtra sans peine que la fonction composée

sin. X

tans, a: =

" COS. X

a ses valeurs singulières comprises dans les trois formules

tang. ((00))= M ([—00, -h 00)) , tang. (( 2 A- TT ± — ]) = =b co ,

tan g. ((—oc)) = A'î{{— 00 , -+■ C50j) ;

tandis que les valeurs singulières de la fonction inverse

X

are tans, x =: arc sin, — -

sont respectivement

arc tang. ( — 00) = — , arc tang. (co) = — .

Mais souvent aussi de semblables questions pré-

48 COURS d'analyse.

sentent de véritables difficultés. Par exemple, on n'aperçoit pas immédiatement comment on peut dé- terminer la valeur singulière de la fonction

lorsqu'on y suppose ôc=^o; ou celle de la fonction

lorsqu'on prend ^^=00. Pour donner une idée des méthodes qui conduisent à la solution des questions de cette espèce , je vais établir ici deux théorèmes à l'aide desquels on peut, dans un grand nombre de cas , déterminer les valeurs singulières que re- çoivent les deux fonctions

/(•^)

[fi^n

lorsqu'on y suppose ^ =: 00 .

1/' Théorème. Si , pour des valeurs croissantes de X , la différence

/(•^-^0-/(-^) ,

converge vers une certaine limite h ^ la fraction

X

convergera en même temps vers la même limite.

DÉMONSTRATION . Supposons d'abord que la quantité k ait une valeur finie , et désignons par g un nombre aussi petit que l'on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger la différence

/(x+,)-/(x)

I." PARTIE. CHAP. IL 49

vers la limite k , on pourra donner au nombre h une valeur assez considérable pour que , jc étant égal ou supérieur à A , la différence dont il s'agit soit constamment comprise entre les limites

Cela posé , si l'on désigne par n un nombre entier quelconque , chacune des quantités

&c

f{h-^n ) — /( h-^7i—i),

et par suite leur moyenne arithmétique, savoir,

f[h+n)-f[h)

n '

se trouvera comprise entre les hmites X: — g, k-\-î. On aura donc

/(A+;0-/(/O j

• :=! K -^- du .

n '

CL étant une quantité comprise entre les limites — è , -+-g. Soit maintenant

h -\- 71 z= X,

L'équation précédente deviendra

et l'on en conclura

TOM. 1. D

oO COURS b'analysê.

/(.r) = /(/0+(.r-A) {k-^cL),

De pius, pour faire croître indéfiniment la valeur de .r, ii suinra de faire croître indéfniiinent le nombîo entier ?i , sans changer la valeur de k. Sup- posons, en conséquence, que dans l'équation (2) l'on considère h comme une quantité constante , et a; comme une quantité variable qui converge vers la limite 00 . Les quantités

>

renfermées dans le second membre , convergeront vers la limite zéro , et le second membre lui-même vers une limite de la forme

/: -+- et , .

et étant toujours compris entre — e et -4- g. Par suite, le rapport

aura pour limite une quantité comprise entre A- — e et /i-Hg. Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre e , il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité k. En d'autres termes , on aura

(3) l!m.^=/c= Um. [/(^+ . )-/(^)].

Supposons, en second lieu, k:=.oo . En désignant alors par H un nombre aussi grand que l'on voudra ,

I

L"^ PARTIE. CHAP. II. 51

on pourra toujours attribuer au nombre // une valeur assez considérable, pour que, j: étant égal ou supé- rieur à ^^ ia clifTérence

qui converge vers la limite oo , devienne constam- ment supérieure à //; et, en raisonnant comme ci- dessus , on établira la formule

n

Si maintenant on pose h-k-n=^x, on trouvera, au lieu de l'équation (2) , la formule suivante

/l5L>/îiL +//(,_ A),

de laquelle on conclura, eu faisant converger x vers la limite 00 ,

Uni. lifL^H.

X

La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre H , quelque grand qu'il soit. Cette limite supérieure à tout nombre assignable ne peut être que l'infiin positif.

Supposons enfin A^ = — 00 . Pour l'amener ce dernier cas au précédent, il sulTua d'observer que, la différence

ayant pour limite — 00 , la suivante

52 COURS d'analyse.

aura pour iimite -4-00. On en conclura que la limite de -— — — ■ est égale k-\- 00 ^ et par suite celle de

■' ^ ' a — 00.

Corollaire i."" Pour montrer une application du théorème précédent^ supposons

/(,r) = /.(^-),

L étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l'unité. On trouvera

/(.r^ ,)-/(.-)=i(.rH- 0-Z.(^)=/: (1 + -» , et par suite

On peut donc affirmer que , x venant à croître indé- liniment , le rapport

X

convergera vers la limite zéro ; et il en résulte que , dans un système dont la base est supérieure à l'u^ nité , les logarithmes des nombres croissent beau- coup moins rapidement que les nombres eux-mêmes. Corollaire 2/ Supposons, en second lieu,

A désignant un nombre supérieur à l'unité. On trouvera

I." PARTIE. CHAP. II. 53

Cl par suite

On peut donc affirmer que , x venant à croître indé- finiment , le rapport

converge vers la limite oo ; et il en résulte que r exponentielle a" , lorsque le nombre A surpasse l'imité, finit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x.

Corollaire ^f On doit observer, au reste, qu'il n'y a lieu à cherclier par le théorème i /" ia valeur du rapport

X

correspondante à .r=oo , que dans le cas où la fonction f{oo^ devient infinie avec la variable x. Si cette fonction restait finie pour .r = oo , le rap-

port i-i— - aurait évidemment zéro pour limite.

Je passe au théorème qui sert à déterminer dans plusieurs cas la valeur de

pour x-=.oo . Voici en quoi il consiste :

1." Théorème. Si, la fonction f ^^x) étant positive pour de très-grandes valeurs de x, le rapport

/'>-f- ') converge , tandis que x croît indéfiniment , vers la

54 COURS d'analyse.

limite h, l'expression

[f{-r)f convergera en même temps vers la mêmç limite.

DÉMONSTRATION. Supposons d'abord cpie fa quaiîtité/i^ nécessairement positive, ait une valeur finie, et désignons par g un nombre aussi petit que l'on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger le rapport

vers la limite k , on pourra donner aif nombre h une valeur assez considérable pour que, x étant égal ou supérieur à /? , le rapport dont il s'agit soit cons- tamment compris entre ies limites

k — g , /i -+- g.

Cela posé , si l'on désigne par n un nombre entier quelconque, chacune des quantités

et par suite leur moyenne géométrique, savoir,

r/(A-t-n)-| ï

L /{h) _

se trouvera comprise entre tes limites k — e, k-i~6. On aura donc

i

et étant une quantité comprise entre les limites — s -r- e. Soit maintenant

I/^ PARTIE. CIÏAP. II. 65

h -^ n =. .V. L'équation précédente deviendra

(4) \Mi'^ = '--'

et Ton en conclura

f{^)=f{h).ik^^Y-\

(5) [/W]'=[/W]"(^- +*)'"'

De plus , pour faire croître indéfiniment la valeur de jr , il sulPira de faire croître indéfiniment ie nombre entier ?i, sans changer la valeur de h. Supposons , en conséquence, que dans féquation (5) l'on considère h comme une quantité constante, et .r comme une quantité vanable qui converge vers la limite 00. Les quantités

renfemiées dans le second membre, convergeront vers la limite i , et le second membre lui-même ver* une limite de la forme

et étant toujours compris entre — é et -h e. Par suite, l'expression

aura pour limite une (piantité comprise entre ^ — s et /c-^c. Cette conclu si on devant subsister, quelle que soit la petitesse du uoml>re g, il eu résuite que*

56 COURS d'analyse.

ia limite en question sera précisément la quantité ^.

En d'autres termes , on ama

(6) nm.[f(.r)Y^^k = lim.^S^,

Supposons, en second lieu, la quantité A^nfînie^ c'est-à-dire, puisque cette quantité est positive, /c=:oo ^ En désignant alors par H un nombre aussi grand que l'on voudra , on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable pour que, jt: étant égal ou supérieur k h, le rapport

qui converge vers la limite oo , devienne constam- ment supérieur à //; et, en raisonnant comme ci- dessus, on établira la formule

L f{à) J -^

Si maintenant on pose h-i-n = a:, on tronvera, au iieu de l'équation (5 j , la formule suivante

[/(••'•■)]'>[./•(/')]' w'"'"'

Je laquelle on conclura, en faisant converger .rvers la limite 00 ,

La limite du rapport

[/(■■'•■)]'

sera donc supérieure au nombre //, quelque grand

I." PARTIE. CHAP. II. 57

qu'il soit. Cette limite, supérieure à tout nombre assignable, ne peut être que l'infini positif.

Nota. On pourrait facilement démontrer l'équa- tion (6) , en cherchant par le théorème i .^"^ la limite vers laquelle converge le logarithme

et repassant ensuite des logarithmes aux nombres. Corollaire /."■ Pour donner une application du 2.'' théorème, supposons

on aura

et par suite , en passant aux limites ,

k=: I.

Donc , si l'on fait croître indéfiniment la variable x, la fonction

convergera vers la limite i.

Corollaire 2/ Soit, en second lieu,

en sorte que P désigne un polynôme en x du degré n. On trouvera

a -k 1 r-f-iiC...,

X X

58 COURS d'analyse.

et, en passant aux limites,

a

Si donc P représente un polynôme entier quel^

conque, P aura pour limite i.

Corollaire j." Soit enfin

fU) = L{.v). On trouvera

j{x) — ~T~(7p ~ ZTÔ^ji '

— I -4- > iJ.

^ Lix) »

et , en passant aux limites , k= f.

Par suite, [Z^ (.r)] ' a encore pour limite l'unité.

Les théorèmes i .^"^ et 2.^ subsistent évidemment dans le cas même où îa variable x est considérée comme ne pouvant admettre que des valeurs en- tières. En effet, pour rendre applicables à ce cas particulier les démonstrations que nous avons don- nées des deux théorèmes , il suffit de concevoir que la quantité désignée par h dans chacune de ces démonstrations devienne un nombre entier très- considérable. Si, dansie même cas, on représente les valeurs successives de la fonction^ (.r) correspon- dantes aux diverses valeurs entières de x^ savoir.

I."' PARTIE. CHAP. II. 59

/(■). /(^-). /(3) /W-

par

on obtiendra à la place des théorèmes i.*"" et 2.* les propositions suivantes.

3." ThéORÎ^me. Si la suite des quantités A, , A,, A. An, Sic. ...

est telle que la dijf'ércnce entre deux termes con- sécutifs de cette suite, savoir ,

A„-^- i — An

converge constamment , pour des valeurs croissantes de n, vers une limite fijce A, le rapport

convergera en même temps vers la même limite. 4.^ Théorème. Si la suite des nombres A, , A,, A^ An, &c. ...

est telle que le rapport entre deujc termes consé- cutifs, savoir,

converge constamment, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite fuie A, V expression

convergera en même temps vers la même limita.

CO COURS d'analyse. ,.

Pour montrer une apj3lication du dernier théorème,

supposons

A„ = I .2.3 ...w.

La suite A^^A:^, ... &c. ... deviendra

1, 1.2, 1.2.3, &:c... i-^-3---('ï — i);?.,&c...;

et le rapport entre deux termes consécutifs de la même suite , savoir ,

— -~ = ^ ■ = n-^ I ,

yin 1.2, 3... 71 '

convergera évidemment , pour des valeurs crois- santes de n , vers la limite 00 . Par suite , i'expres- sion

converge vers la même limite.

{AS =iu2.^...ny

rs la même limite. On trouverait, au contraire, que l'expression

V 1.2. -;...« /

converge, pour des valeurs croissantes de 71^ vers la limite zéro.

Souvent, à l'aide des théorèmes i ."' et 2.', on peut déterminer ia valeur singulière que reçoit une fonction composée de la variable jr, tandis que cette vaiiable s'évanouit. Ainsi , par exemple , si l'on veut obtenir la valeur singulière de .r* correspondante à j^=:o , il suffira de chercher la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de ^, l'ex-

I.*' PARTIE. CHAP. II. 61

I pression (— ) = — ^- • Cette limite, en vertu du

théorème 2.' (coroîlaire i.*"'), est égale à l'unité.

De même , on conclurait du théorème i .'^'^ (corol- laire I,") que la fonction

s'évanouit avec la variable x.

Lorsque les deux termes d'une fraction sont des quantités infiniment petites , dont les valeurs nu- mériques décroissent indéfiniment avec celle de la variable et , la valeur singulière que reçoit cette fraction, pour ce = o , est tantôt finie, tantôt nulle ou infinie. En effet , désignons par k, k' deux cons- tantes finies qui ne soient pas nulles , et par g , g' deux nombres variables qui convergent avec et vers la limite zéro. Deux infiniment petits, Tun de l'ordre 71, l'autre de l'ordre n' , pourront être représentés respectivement par

A-ct"(l=fcg), >t'ct'''( Idzg');

€t leur rapport , savoir ,

A'a"'(,±i') k' i±£' „,_- k' i±é' I

X ; XûL "=r-r-X^-; X-

ka."{\z±,^) k i±:i k izhi a."

aura évidemment pour limite

k' k '	si l'on suppose	n znn ,
o,	si l'on suppose	71 > n , •
^oc,	si l'on suppose	71 < n.

65 COURS d'analyse.

On prouverait de même que la limite vers laquelle converge le rapport de deux quantités infiniment grandes, tandis que leui^s valeurs rtumériques crois- sent indéfiniment avec celle d'unemême variable x, peut être nulle , finie , ou infinie. Seulement, cette limite a un signe déterminé , constamment égal au produit des signes des deux quantités que l'on cour sidère.

Parmi les fractions, dont les deux termes conver- gent avec la variable cl vers la limite zéro , on doit placer la suivante

a '

toutes les fois qu'on attribue à la variable .r une valeur dans le voisinage de laquelle la fonction /(x) reste contisàue. En effet , dans cette hypothèse , la différence

est une quantité infmiment petite. On peut mènve remarquer qu'elle est en général un infmiaient petit du premier ordre , en sorte que le rapport

/r.r-4- et) — f{x) a.

converge ordinairement , tandis que la valeur nu- mérique de CL diminue, vers une limite iinie diffé- rente de zéro. Cette hmite sera, par exemple,

2 JT , si Ton prend f[^) = ^'^

et 3-, si l'on prend /(^i^) =■-.

I/^ PARTIE. CHAP. II. 63

Dans le cas particulier où l'on suppose .x = o , le rapport ,/'v^-^")~/ -^ ^ç réduit à cet autre

Parmi les rapports de cette dernière espèce , nous nous bornerons ici à considérer le suivant

Comme il peut être mis sous la forme

sin. ( — ce)

sa limite restera la même , quel que soit le signe de CL. Cela posé , concevons que l'arc au reçoive une valeui- positive très-petite. La corde de l'arc double 2 CL étant représentée par 2 «in. et, on aura évidem- ment 2 et > 2 sin . et , et par suite

et > sin. et.

De plus, la somme des tangentes menées aux ex- trémités de l'arc 2 et étant représentée par 2 tang. et , et formant une portion de polygone qui enveloppe cet arc , on aura encore 2 tang. et > 2 et , et par conséquent

tang. et > et.

En réunissant les deux formules qu'on vient d'éta- blir, on trouvera

sin. et < et < tiuig. et ;

puis , en remettant pour tang. et sa valeur ,

64 COURS d'analyse.

sin. CL

sin. ot < et <

COS. Cf.

et par suite

I <

sin. a 1 > > COS. (L.

Or, tandis que et diminue , cos. cl converge vers la limite i : il en sera donc de même àfortwri du

rapport — '—^ toujours compris entre i et cos. ce ,

en sorte qu'on aura

/ >. ;. sin. CL

(7) hm.—^—=i.

La recherche des limites vers lesquelles convergent

, . fh^cL)-f{x) f{oi)—f{o) ,^ ^

les rapports — - — - , ^^ ^^ — étant un

des principaux objets du calcul infinitésimal, nous ne nous y arrêterons pas davantage.

Il nous reste à examiner les valeurs singidières des fonctions de plusieurs variables. Quelquefois ces valeurs sont complètement déterminées , et indé- pendantes des relations que l'on pourrait établir entre ies variables. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par

et, G, X, y , .

quatre variables positives , dont les deux premières convergent vers la limite zéro , et les deux dernières vers la limite '00 , on reconnaîtra sans peine que les expressions

£tC, j?y, ^, -|, c^y , x^ ,

ï/' PARTIE. CHAP. II. 65

ont pour limites respectives

O, oo, o, oo, o, oo.

Mais îe plus souvent la valeur singulière d'une fonc- tion de plusieui^ varia[)ies ne ])eut être entièrement ^ètei-minéeque dans le cas particulier où, en faisant converger ces variables vers ieurs limites respec- tives, on établit entre elles certaines relations; et, tant que ces relations ne sont pas fixées, la valeur smgulière dont il s'agit est une quantité ou to- talement indéterminée , ou seulement assujettie à rester comprise entre des limites connues. Ainsi, €omme on l'a remarqué plus haut, la valeur singu- lière à laquelle se réduit le rapport de deux variables inf miment petites, dans ie cas où chacune de ces va- riables s'évanouit , peut être une quantité auelconnue hme, nulle ou i.ihnie. En d'autres termes, cette valeur singulière sera complètement indéterminée. Si, au heu de deux variables infiniment petites on considère deux variables infinimt-nt grandes ,' on trouvera que le rapport de ces dernières , tandis <iue leurs valeurs numériques croissent indéfiniment c,onverge encore vers une limite arbitraire, mais positive ou négative, suivant que les deux variables sont de même signe ou de signes contraires. Il est également facile de s'assurer que le produit d'une variable inhniment petite par une variable infmi.nent grande a pour limite une quantité complètement HKÎéterminée.

Afin de présenter une dernière application des

T03I. 1.

66 COURS d'analyse.

principes qu'on vient d'établir, cherchons queîîcs valeurs ii faut attribuer aux variables x et y pour que la valeur de la fonction

y-

devienne indéterminée. Si l'on désigne par A un nombre supérieur à l'unité , et par L la caractéris- tique des logarithmes dans le système dont la base est A , on aura évidemment

y -A

et par suite

i L (y)

y = A~^'

Or, il est clair que l'expression

L (v)

convergera vers une limite indéterminée , lorsque le rapport

i (y)

convergera lui-même vers une semblable limite, ce qui arrivera dans deux cas difFérens, savoir, i .° lors- que L[y) et X seront deux quantités infiniment petites, c'est-à-dire, lorsque x et y auront pour limites respectives o et i ; i° lorsque L[y) dix seront deux quantités inliniment grandes, c'est-à- dire , lorsque x ayant une limite infinie, y aura pour limite o ou <x). Il est bon d'observer que, dans l'un et l'autre cas, la limite indéterminée de l'expression

l

ï." PARTIE. CHAP. II. 67

«eia nécessairement positive. II peut même arriver que cette limite soit assujettie à demeurer comprise entre les valeurs extrêmes o et i , ou bien entre les suivantes , i et oo . Concevons , par exemple , que chacune des variables .r et y converge vers la limite ex? . Dans ce cas , la limite du raj)port

L (y)

X

étant une quantité positive quelconque, celle de

y " =: A " ne pourra être qu'une quantité moyenne entre i et oo . Cette moyenne sera d'ail- leurs indéterminée , tant que l'on n'établira pas entre les variables infiniment grandes jc et y de relation particulière. Mais si l'on suppose

J'{jc) désignant une fonction qui croisse indéfini- ment avec la variable .v , alors la moyenne dont il s'agit, n'étant autre chose que la limite de

obtiendra une valeur déterminée, que l'on pourra souvent calculer à l'aide du théorème 2.^

Si, au lieu de la fonction y'' ^ on eût considéré la suivante

y'>

on aurait trouvé que cette dernière devient indeter-

68 COURS d'analyse.

minée , i .* lorsque la variable y converge vers îa

iimite t , et la variable x vers l'une des suivantes,

— oo , H- oo ; 2.° lorsque, la variable x ayant zéro

pour limite, y converge vers zéro ou vers l'infini

positif.

Quelquefois on rencontre dans le calcul des ex- pressions singulières qui ne peuvent être considérées que comme des limites vers lesquelles convergent des fonctions de plusieurs variables , tandis que ces mêmes variables deviennent infiniment petites ou infiniment grandes , ou même, plus généralement, convergent vers des limites fixes. Telles sont , par exemple , les expressions

OXO , —, ooxoo, —, oxoo, 0,1, &C....

parmi lesquelles on doit regarder les deux premières comme les limites vers lesquelles convergent le pro- duit et le rapport de deux variables infiniment pe- tites , les deux suivantes comme les limites du produit et du rapport de deux variables positives infiniment grandes, &:c. ... Si l'on considère en particulier les expressions singulières que produisent les fonctions

x-\-y, xy, y, y\ y^,

on trouvera que les valeurs de ces mêmes expres- sions, lorsque les variables restent indépendantes, peuvent être aisément fixées par ce qui précède. Les équations qui serviront à déterminer ces valeurs seront respectivement

ponr la

xy..

y

I." PARTIE. CHAP. IL 69

fonction

,.ooH-oo = oo, co — 00 = M (( — 00 , -4- 00 j) ;

0x0 = 0, oxco = ox — 00^=' M{[ — 00, -Hoo;); ooxoo = — cox — oo = co, oox — 00 = — 00;

ro -^, ,.00 00 —00 .

=^—00 , +oc) , — = =0, — = = ± 00 ,

10 ^ " 00 —00 o o

, ■ = =.V(o,oo), = = yW(^--co,o);

icx> — co ^^ " —00 co

o°=oo°=y1f ((o, 00)), o*— oo~=° = o, 0~^=00«=:CO, ï» = i-«' = /1^((o, co));

y

10 ° =00° =0 oa co, 0=c =oo-» =:M((o.,,, i))

1 ' T £

0-« =500» =/W((( , 00)), I °î=:3/((o, 00)).

70 COURS d'analyse.

CHAPITRE III.

Des Fonctions symétiiques et des Fonctions alter- nées. Usage de ces fonctions poiir la résolution des équations du premier degré a tin nombre quelconque d'inconnues. Des Fonctions lionio- g'ènes.

§. 1/' Des Fonctions symétriques.

Une fonction symétrique de plusieurs quantités est celle qui conserve la même valeur et le même signe a])rès \\n échange quelconque opéré entre ces quantités. Ainsi , par exemple, chacune des fonctions

^-^y , .v-'''-i-y\ -x^yz, sin..r-t- sin.y-t-sin. ^, &c. ..

est symétrique par rapport aux variables qu'elle ren- ferme, tandis que

X — y, x^ , &c

sont des fonctions non symétriques des variables x et y. De même encore

b-\-c, b" -v-c\, bc, &c. . .

sont des fonctions symétriques des deux quantités b, c;

h-\-c~\-d , ^*-t-c^H-^', b c-\-b d-\-cd , bcd

sont des fonctions symétriques des trois quantités b , c, d, 6lc

I." PARTIE. CHAP. III. 71

Parmi les fonctions symétriques de plusieurs quantités b , c...g', h , on doit distinguer celles qui servent de coefficiens aux diverses puissances de a dans le développement du produit

{a — b) ( a — c) [(i—g) {et— h),

et dont les propriétés conduisent à une solution très- élégante de plusieurs équations du premier degré entre n variables x , y, z . . .ti , v, lorsque ces équa- tions sont de la forme

/ J7 -f- y -^ s -+- . . . -I- Il -^ V := k^y

\ a jc -^ by -ir- cz -^ . . . -V- gu -^ hv =/?•,,

(i)^ rt'cr-+- b^y -+- c^z -t- . . . -^g'^ti ■+■ h^v=^ A\ ,

&c

a"-'j:-hb''^'y-^c"^'z-i-...-hg'"'ii^h''~'v=/^.

En effet, soient

A„_^=:bc-i-...-i-bg-\-bh-^- ...-\~cg-^ch-\- ...-^gh , &c

A,—±:bc g- h

les fonctions symétriques dont il s'agit , en sorte qu'on ait

Si, dans cette dernière formule, on remplace suc- cessivement a par b , par c , 6lc.... , par «•, par h, on trouvera

72 COURS i) 'analyse.

b"-' -+- A„^, b"-' H- &e. . . . -H ^ ,b -H A, = o ,

c"~' -H ^-4^_^ c"~' H- &c. . .. -\- A,c -^- A^^=. o ^

&c

^•''-' -H A„_^g''-' -H &C. . . . -f- ^;^-H^„ =: O ,

h"-' -+- ^„_, /^"-' -+- &c. . . . -4- Ah -+-A, = o.

Si l'on ajoute ensuite membre à membre ies équa- tions (i), après avoir moitiplié la première par Ao, la seconde par A, , Sic... ^ ravant-dernière par A„_^y et la dernière par l'unité, on obtiendra la suivante

( a"-' -+- A,,^, a"-' -H &c -\- A,a.-^A,) x

— ^„_/H- A „_, ^„_, -h &c. . . . H- J , A-, -+- ^„ /•. ;.

et l'on en concilia

(2) .T =

]f^ _— (/>4-c..-hr+^0'^-«-:,+(^^--+^^"+6A...+r°4-c/<...+g70A-H_;— &rc.±//c..-g/^.^. "" (a -6) ia—c) {a~î^-){a—h).

On déterminerait par un procédé analogue les va- IciHS des autres incomuies'y^ z ... u, v.

Lorsque, dans les équations (1), on substitue auv: constantes

les puissances entières successives d'une mémo ([nan- ti lé kf savoir y

la valeur trouvée pour .r se réduit à

(3)

X =

I."* PARTIE. CHAP. III. 73

(k — b) (k—c)....{k—ff) {k — h)

{a — b) (a~c)...(a— ^-j {a — h)

Ç. 2.' Des Fondions alternées.

Une fonction alternée de plusieurs quantités est ceîie qui change de signe, mais en conservant au signe près la même valeur, lorsqu'on échange deux de ces quantités entre elles ; en sorte que , par une suite de senihlahles échanges , la fonction devienne alternativement positive et négative. D'après cette défniition ,

X — y, .Tif — Jo^ [) , L.{-Afûn.x — sin.y^ &:c... sont des fonctions alternées des deux vaiiables x

(•^-y)(-^--)(y--)

est une fonction alternée des trois variables x , y , z ; et ainsi de suite.

Parmi les fonctions alternées de plusieurs va- riables

X, y, z ... u, V,

on doit distinguer celles qui sont rationnelles et en- tières par rapport à chacune de ces mêmes variables. Supposons une semblable fonction développée et mise sous la forme d'un polynôme. Un de ses termes ^ pris au hasard, sera de la forme

k x^ 1/ z' u' ir' ,

'^4 COURS d'analyse.

p , q, r . .. s, t désignant des nombres entiers, et k un coefficient quelconque. De plus, la fonction devant changer de signe , mais conserver au signe près la même valeur, après 1 échange mutuel des deux variables x et y , il faudra de toute nécessité qu'au terme dont il s'agit/ corresponde un autre terme de signe contraire

— kx'JyPz' u' v' ,

déduit du premier en vertu de cet échange. La fonction se composera donc de termes alternative- ment positifs et négatifs , qui , réunis deux à deux , produiront des binômes de la forme

kxP yi z' ... u'v' — kxUjP z' ... vf v'

— k ( xP y? — x'JyP)z'... u' v'.

Dans chaque binôme de cette espèce , p , q seront nécessairement deux nombres entiers distincts l'un de l'autre ; et , comme la différence

.xP y'' — x'' yP

est évidemment divisible par y — x, ou, ce qui re- vient au même, par .r — y^ il en résulte que chaque binôme et par suite la somme des binômes ou la fonction proposée sera divisible par

z^{y-x).

Comme on peut d'ailleurs, dans les raisonnemens qui précèdent , substituer aux variables x et y deux autres variables quelconques x et z, ou y et z, &c..^

I." PARTIE. CHAP. m. 75

on obtiendra définitivement les conclusions sui- vantes :

1 .• Une fonction alternée , mais entière , de plu- sieurs variables x , ij , z u, v , est composée

de termes alternativement positifs et négatifs, dans chacun desquels les diverses variables ont toutes des exposans différens ;

2." Une semblable fonction est divisible par le produit des différences

z{j/—x), ±z{z—.r), ...±(w— j;), ±{v—a:),

(0( ^c....±{u-z), ±{v-z),

&c

prises chacune avec tel signe que l'on voudra.

Le produit dont il est ici question, ainsi qu'on peut aisément le reconnaître, est lui-même une fonc- tion alternée des variables que l'on considère. Pour le prouver, il suffit de faire voir que ce produit change de signe , en conservant au signe près la même valeur , après féchange mutuel de deux va- riables, X ci y par exemple. Or en effet, suivant que l'on adopte pour chaque différence le signe -i- ou le signe — , ce produit se trouve égal soit à -t-Cf), soit à — <4) , la valeur de Cp étant déterminée par l'é- quation

(2) cp =

76 COURS d'analyse.

et, comme il est évident que cette valeur de (^ change seuiement de signe en vertu de l'échange mutueî des variables x et y, on peut conclure qu'il en sera de même d'une fonction équivalente soit à -4- Cp , soit à — Cp.

Concevons , pour fixer les idées , que l'on prenne chacune des différences ( i ) avec le signe -h. Le produit de toutes ces différences sera la fonction CJ) déterminée par l'équation (2), ou, ce qui revient au même, par la suivante

(3) <? =

(y—x) X {z—x){z—7j)y X {v—x){v—tj){v—z) (v—u).

Si, de plus, on appelle 7i le nombre des variables .x,y,z ... Il , V ; 71 — I sera évidemment le nombre des différences qui renferment une même variable: et par suite , dans chaque terme de la fonction <^ développée et mise sous la forme d'un polynôme , l'exposant d'une variable quelconque ne pourra sur- passer n — I. Enfin, comme dans un même terme les différentes variables devront être affectées d'ex- posans différens, il est clair que ces divers exposans seront respectivement égaux aux nombres

o, I , 2, 3, n—i.

Chaque terme , abstraction faite du signe et du coef- ficient numérique , sera donc équivalent au produit des diverses variables rangées dans un ordre quel- conque , et respectivement élevées aux puissances marquées par les nombres o, 1,2,3,... '* — ^ * ^^ ^^^^

ï." PARTIE. CHAP. III. 77

ajouter que chaque produit de cette espèce se trou- vera compris une seule fois , tantôt avec ïe signe -+- , tantôt avec le signe — , dans le développement de la fonction Cp. Par exemple, le produit

,«— i ^,ff— I

" T 1

X y z ...

ne pourra être formé que par la multiplication des premières lettres des facteurs binômes qui compo- sent le second membre de l'équation (3).

A l'aide des principes que nous venons d'établir, il est facile de construire en entier le développement de la fonction <^ . et de démontrer ses diverses pro- priétés [ voyez à ce sujet la note IV ]. Nous allons maintenant faire voir comment on se trouve conduit, par la considération d'un semblable développement, à la résolution des équations générales du premier degré à plusieurs variables.

Soient

a, x-\- ù, 2/ -^c, z -^ . . . -h g,u-+-h, V n= k^ , (4)' a^x-^b^y^c^z-^ .. . -^ g\u-^h^v = k^ ,

&c

a„_,x-^b„_,7/-hC„_,z-^...-i-o-„_,u-+-h„_,v=k„_,

u équations linéaires entre les n variables ou incon- nues

X, y, z ... u, V,

et les constantes

78 COURS d'analyse.

«, , ^o , c„ , &c ^„ , A, , X:. ,

«, , b,, c,, &c. . . . g\ , h,, k,, a,, b,, c, , &c. . . . g\ , A,, /•. ,

&c

««_: , b„_, , c„_, , &c. . . ^„_. , k„^, , ^«_. ,

choisies arbitrairement. Représentons, en outre, par P ce que devient la fonction Cp lorsqu'on y rem- place les variables

a:, y, z ... u, v

par les lettres

a, b, c ... g, h

considérées comme autant de nouvelles quantités; en sorte qu'on ait

(5) P =

(ù—a) X (c— a)(c— i)x.. .X {h—a){h—b) {h—c) {h— g).

Le produit P sera la fonction alternée la plus simple des quantités a, b, c ... g, h; et, si Ton développe cette fonction par la multiplication algé- brique de ses facteurs binômes, chaque terme du développement sera équivalent , au signe près , au produit de ces mêmes quantités rangées dans un certain ordre , et respectivement élevées à des puis- sances marquées par les exposans o, 1,2, 3 , ... w — 1 . Cela posé , concevons que dans chaque terme on remplace les exposans des lettres par des indices, en écrivant, par exemple,

«o ^. ^. ê\-^ ^h.-^ y

1." PARTIE. CHAP. III. 79

au lieu du terme

a" b' c' g"-' ^"-' ;

et désignons par D ce que devient alors le dévelop- pement du produit P. La quantité D aura évidem- ment, tout comme le produit P, la propriété de changer de signe , lorsqu'on échangera entre elles deux des lettres données , par exemple , les deux lettres a^ei h. Il est aisé d'en conclure que la valeur de D sera réduite à zéro , si l'on écrit dans tous ses termes la lettre ^ à la place de la lettre a , sans écrire en même temps a à la place de ^. Il en serait <îe même si l'on écrivait par- tout à la place de la lettre a l'une des lettres c . . . . g , h. Par suite , si , dans le polynôme D, on désigne la somme des termes qui ont a^ pour facteur commun par A^a^^ la somme des termes qui renferment le facteur a, par

v4,«, , &c ; enfin la somme des termes qui ont

pour facteur a„_, par A„_,a„^, , en sorte que la valeur de D soit donnée par l'équation

on trouvera, en écrivant successivement dans le second membre de cette équation les lettres b, c ... g, h, k la place de la lettre a,

o = AJ„^A,b,^A,b,-h...-^A„_, b„_, , o = A,c^-+-A,c,-i-A,c,-i- . . . -h- A„_, c„_, ,

(7);&<^

o = A^g^ -I- A,g-^A,,g, -i- . . .-^A„_, g„_, , o ^A,h,-\-A,h,-i-AJi,-^...-^A„_, /r,_,,.

80 COURS d'analyse.

Supposons maintenant qu'on ajoute membre à membre les équations (4)^ après avoir multiplié La première par A,,, la seconde par A,, la troisième pary^^ ... ia dernière \yâY A„_,. On verra, dans cette addition, les coeiFicicns des inconnues ij, z . , . u, v disparaître d'eux-mêmes en vertu des formules (y), et l'on obtiendra définitivement féquation

Djr = Aji,-\r-A,/.\-hAJi\-i-ikc...-\-A„_, X\,_. , de laquelle on conclura

A^fi--\-A, k,-\- A,k^ -4-&C.., -\- A„_, A- _,

X =

(8) - -

Comme d'ailleurs des deux quantités

D et AJ.\-^A,k,-^AJi^^....-\-A„_,k,,_,

la première est ce que devient le développement du produit

{b—a) X ic—a) (c—b) x . . . x ih—a)[k—b){h~c) . . . {h— g) ,

lorsque dans ce développement on remplace les ex- posans des lettres par des indices , et la seconde , ce aue devient la quantité D , équivalente au second membre de la formule (6) , l(^rsqu'on y substitue la lettre k à la lettre a; il en résulte que la valeur de X peut être censée déterminée par i'équation

(9) ^ =

{b—k)x{c—k){c-b)y....>^{h—k){h—b){h—c)...{h—g) "( b~a ) X {c—a) (c-î )>:... X ( h~a ) ( h—b){ h—c)...{ h^^ f '

pourvu que fou convienne do développer les deux

I." PARTIE. CHAP. III. 81

termes de la traction qui forme le second membre, et de remplacer dans chaque développement les exposans des lettres par des indices. La valeur que l'équation (9) prise à la lettre semble fournir pour l'inconnue :v, n'étant pas exacte et ne pouvant le devenir que par suite des modifications énoncées , est ce que nous nommerons une valeur symbolique de cette inconnue.

La méthode qui nous a conduits à la valeur sym- bolique de jc fournirait également celles des autres inconnues. Pour montrer une application de cette méthode , supposons qu'il s'agisse de résoudre les équations linéaires

(.0)

On trouvera dans cette hypothèse , pour la valeur symbolique de l'inconnue x ,

[b — k)[c — k){c — b)

«0	x	-+-	b.	y	H-	Co	-	=	K,
a.	X	-i-	b.	y	-i-	c.	-	=	k..
a.	X	-+-	K	y	-H	c.	z	:=:	k..

(il) x =

k°b'c^— k%'c'-\- k'b^c°— k'b°c^-+- k^b°c'— k^b'c"

a°b'c'^—a°b'^c'-ha'b^c''—a'b''c'^-ha-b''c'—a-b'c'' '

et par suite, la valeur véritable de la même incon- nue sera

/ \ f'ob,(^z-~^''ob<',-^ffib,c^—k.b^c,-hk,b^c,—k,b,c^

Nota. Lorsque, dans les équations (4), on rem- place les indices des lettres a,b, c ... o-, h^ k par des TOM. 1. F

82 COURS d'analyse.

exposans, la valeur symbolique de x donnée pâf lequation (p) devient évidemment la valeur véri- table, et coïncide, comme on devait s'y attendre, avec celle que fournit la formule (3) du J. i ."

5. 3/ Des Fonctions homogènes.

Une fonction de plusieurs variables x, y, z , , , est homogène, lorsque, ^désignant une nouvelle variable indépendante des premières , le changement de ^ en tjc , de y en ty, de z e\\ tz . . . fait varier cette fonction dans le rapport de l'unité à une puis- sance déterminée de t; et l'exposant de cette puis- sance est ce qu'on nomme le degré de la fonction homogène. En d'autres termes,

f [-r, y, z ...)

sera une fonction homogène du degré a par rapport aux variables x, y, z . .. ^ si l'on a , quel que soit t ,

(1) f{tx, ty, tz,.,)=^t*f[x, y, z...).

Ainsi, par exemple,

x"-\-xy-\-y\ /(^y), ly — lx,

sont trois fonctions homogènes des variables x et y, la première du second degré , la deuxième du pre- mier degré , et la troisième d'un degré nul. Une fonction entière des variables x, y, z ... composée de termes tellement choisie, que la somme des ex-

I.*" PARTIE. CHAP. III. 83

posans des diverses variables soit la même dans tous les termes, est évidemment homogène.

Si, dans la formuie (i), on fait (=: — , on en

conclura

(2) /(.r.y,^...) = -"/(.,i.v---)-

Cette dernière équation établit une propriété des fonctions homogènes qu'on peut énoncer de ia ma- nière suivante :

Loi'squiine fonction de plusieurs variables x ^ y , z . . . . est homogène , elle équivaut au produit de l'une quelconque des variables élevée à une cer* taine puissance par une fonction des rapports entré ces mêmes variables combinées deux a deux.

On peut ajouter que cette propriété appartient exclusivement aux fonctions homogènes. Et , en effet , supposons f{x, y , z . . . .) équivalente au produit de a:" par une fonction des rapoorts entre les variables x, y , z . . . . combinées deux à deux. Comme on pourra exprimer tous ces rapports au moyen de ceux qui ont x pour dénominateur, en écrivant par exemple, au heu de ^^,

m

(t) '

il en résulte que la valeur de f[x, y, z . . .) sera donnée par une équation de la forme

F

84 COURS d'analyse.

Cette équation devra subsister , quelles que soient les valeurs de ^^ y^ ^ ... ; et, si l'on y remplace

X par tx , y par ty , z par tz . . . ,

die deviendra

f{tx,ty,tz ...) = t'.x'C)(^^,^ ..).

Par suite , on aura , quel que soit t , dans l'hypo- thèse admise,

fiytx, ty, tz ...)z=t'f{x, y, z ...);

ou , en d'autres termes ,

/(•^. y^ ^ )

sera une fonction homogène du degré a par rap- port aux variables x, y , z . . . ,

PARTIE. CHAP. IV. 85

-■ ' " • -.a

CHAPITRE IV.

Détermination des Fonctions entières , d'après un certain nombre de valeurs particidières suppo- sées connues. Applications.

5. 1.^'^ Recherche des Fonctions entières d'une seule varicd)le , j^our lesqitelles on connaît un certain nombre de valeurs particulières.

Déterminer une fonction d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues , c'est ce qu'on appelle interpoler. Lorsqu'il s'agit d'une fonction d'une ou de deux variables , cette fonction peut être considérée comme l'ordonnée d'une courbe ou d'une surface; et le problème de \ interpolation consiste à fixer la valeur générale de cette ordonnée, d'après un certain nombre de valeurs particulières , c'est - à - dire , à faire passer la courbe ou la surface par un certain nombre de points. Cette question peut être résolue d'une infi- nité de manières ; et en général le problème de finterpolation est indéterminé. Toutefois l'indéter- mination cessera, si à la connaissance des valeurs particulières de la fonction cherchée on ajoute la condition expresse que cette fonction soit entière , et d'un degré tel que le nombre de ses termes de- vienne précisément égal au nombre des valeurs particulières données.

86 COURS d'analyse.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on con- sidère d'abord les fonctions entières d'une seule variable x. On établira facilement à leur égard les propositions suivantes.

1 ." Théorème. Si une fonction entière de la variable x s évanouit pour iine valeur particulière de cette variable , par exemple, pour x-=:x^^ elle sera divisible algébriquemerit par x — x^.

2.' Théorème. Si une fonction entière de la variable x s évanouit pour c^iacune des valeurs de X comprises dans la suite

n désignant un nombre entier quelconque , elle sera nécessairement divisible par le produit

{x-x^) ix—x^) (.r-jrj . . . [x-x^_^).

Soient maintenant C|)(.r) et \{x) deux fonctions entières de la variable x , l'une et Tautre du degré n — I, et qui deviennent égales entre elles pour chacune des n valeurs particulières de x comprises dans la suite x.. x . x . . . x . Je dis que ces àeux fonctions seront identiquement égales , c'est- à-dire , qu'on aura , quel que soit x ,

q>{x)=:^^{x):

et en effet , si cette égalité n'avait pas lieu , on trou- verait dans la différence

^(a7)-Cp(.r)

un polynôme entier dont le degré ne surpasserait

I." PARTIE. CHAP. IV. 87

pas n — I , mais qui, s'évanouissant pour chacune des valeurs de ^ci-dessus mentionnées, serait pour- tant divisible par ie produit

{x—x^ {x—x,) {X-'X^ . . . (jr— ^^_ J ,

c^est-à-dire , par un polynôme du degré n / ce qui est absurde. On serait assuré a fortiori de I égalité absolue des deux fonctions Cp(-r) et 'v|/('^)» si Ton savait qu'elles deviennent égales entre elles pour un nombre de valeurs de x supérieur à n. On peut donc énoncer le tlicorènie suivant.

3.* Théorème. Si deux fonctions entières de la variable x deviennent égales poiir un nombre de valeurs de cette variable supérieur au degré de chacune des deux fonctions , elles seront ideîiiique' ment égales , quel que soit x-.

On en déduit comme corollaire cet autre tliéo- rème :

4.' Théorème. Deux fonctions entières de la variable x sont identiquement égales toutes les fois qu'elles deviennent égales pour des valeurs en- tières quelconques de cette variable , ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

Dans ce cas , en efïet , le nombre des valeurs de X , pour lesquelles les deux fonctions deviemicnt égales^ est indéfini.

Il suit du théorème 3.' qu'une fonction entière u du degré n — i sera complètement déterminée , si Ton connaît ses valeurs particulières

88 COURS d'analyse.

correspondantes aux valeurs

° ' I ' i «—I

de îa variable jr. Cherchons dans cette hypothèse la valeur générale de la fonction u. Si Ton suppose d'abord que les valeurs particuhères iio-, u^ •••^^„_i se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la première 2/^, la fonction ?«, devant alors s'évanouir pour .r=:j:'i , pour x^=ix^^ &c. . . . enfin pour a7=a:^_j, sera divisible par le produit

(^ — ^J (^ — .rj ...{x—x^_,), et sera par conséquent de la forme

u = k[x—x^) l^x — x^) ... (.r — x^^^J,

A- ne pouvant être qu'une quantité constante. De pkîs, îi devant se réduire à u^ pour x=Xf^y on en conclura

71, = k ( X.—X^ ) (^o— -^^ ) . . . {^o~^u~i ) »

et par suite

(.r-.r, ) r.r — rj . .. (.r— ^„_, ) 2/ =

o (j,-„— X,) (.r„ — jrj ... (^o — •'■„-.)

De même, si les valeurs particulières u^, u^ , ii^ ... u^^_^ se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la seconde ii , on trouvera

&C

I." PARTIE. CHAP. IV. 89

Enfin , si elles se réduisent toutes à zéro , à l'ex- ception de la dernière u _^ , on trouvera

U — u C-^ — -^-q) (.r — xJ ... (j: — Xn-J

'''-' (^„-,--ro)(.r„_,-x,)...(x„_.-x„_J

En réunissant les diverses valeurs de u correspon- dantes aux diverses hypothèses qu'on vient de faire, on obtiendra pour somme un polynôme en x du degré n — i , qui aura évidemment la propriété de se réduire à z/,, pour x^ix^^ à u^ pour .r=.r^ ,

^c à u pour x^=zx . Ce polynôme sera

donc la valeur oénéraie de u qui résout la ques- tion proposée, en sorte que cette valeur générale se trouvera déterminée par la formule

(0 2/ — 2/ (x — X,) (x — xQ (x — x„_,)

_^ ^^ (x — xjfx— X.) (x — x„_,)

' ( X. — X J ( X, — xO ( -^-i — -ï^,,-.)

-I- &c

^^ (x — xj (x — X,) (x — X„_J

«-' ('l'„-,--I-o)(-ï^„-,--r,)...(j^„_,-J--„_J

On pourrait déduire directement la même formule de ia méthode que nous avons employée ci-dessus (chap. III, §. I ) pour résou(h'e dans un cas parti- culier des équations linéaires à plusieurs variables ; [voyez à ce sujet la note V ].

Si, en désignant par n une quantité constante, on remplace dans la formule (i) la fonction u par hi fonction u — a, (pii sera évidemment de même degré , et les valeurs particulières de u par les va- leurs particulières de u—a^ on obtiendra l'équation

90 COURS d'analyse.

/ V (X — X„) (X Xz)....(x X„_,)

H- ( M — « ) -^ ^- \ "-=^

\ ' ^ (■r, — J^J{x,~xJ...{x, — x„_,)

-+- &c

-t- r 7/ —ri\ -^~^°) C-^ — -r.) (J^— J^n-J ,

et, en comparant cette équation à la formule (i), on trouvera la suivante

(3)

(X Jr,)(T Xz)....(x ^n-i)

(x„ — xj(x„ — xj.	..(^o-^„-,)
(x Xg) (x Xî). .	•(^-■r„_,)
(x, — x^j(x. — xj..	• (•^. — ^v,-i;
&c
(■ X — x„ ) ( X -T, ) . . .	..(^-^.-J

Cette dernière équation esc identique , et subsiste quel que soit .r.

Les équations (i) et (2) peuvent servir l'une et l'autre à résoudre , pour les fonctions entières , le problème de l'interpolation ; mais il convient en général de préférer pour cet objet l'équation (2), attendu qu'on peut y faire (iisparaitre fun des termes du second membre, en prenant la constante a équi- valente à l'une des quantités

^ Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de faire passer une droite par deux points donnés. Dési- gnons par jCq , 1/^ les coordonnées rectangulaires du premier point, par ^^, 1/^ celles du second, et

I." PARTIE. CHÂP. IV. 91

par y l'ordonnée variable de la droite. En rempla- çant dans ia formule (2) la lettre u par la lettre y , puis faisant w= i , et a^=^y^^ on trouvera pour le- quation de la droite

(4) y-yo = (y. -yo) ~^'

Supposons, en second lieu, qu'il s'agisse de faire passer par trois points donnés ui.o parabole dont l'axe soit parallèle à l'axe des y. Nommons

x^ et y^ , œ^ et y^ , x^ et y^

les coordonnées rectangulaires des trois points. Soit de plus y l'ordonnée variable de la parabole. En remplaçant toujours , dans la formule (2) , la lettre u par la lettre y , puis faisant ?? = 2^ et a = ?/i , on trouvera pour féquation de la parabole

(5) y - y. = (yo - y.) {^'j^^^Er^j

OU , ce qui revient au même ,

(^) y-y.=.^[(yo-y.)^^^(y.-y,)^]-

Lorsque dans l'équation ( i ) on prend u=^x^ , {^m désignant un nombre entier inférieur à ?î), ies valeurs particulières de u représentées pai'

se réduisent évidemment à

•*o ^ -t I 7 •< » • • • • •^*„_, •

192 COURS d'analyse.

On a donc, pour les valeurs entières de 7n qui ne

surpassent pas n — i ,

^

( ar„ — X J ( Xo — Xi ) . . . (x,,— x„_,) (X— X„)(X — Xz) (x — x„_, )

-f-^

' (x,-xJ(x,-Xï) (J^.-J^„_. )

&C

(x — xj (x— X, ) C-^ — ^„-J

Cette dernière formule comprend comme cas par- ticulier l'équation (3). De plus, si l'on observe que chaque puissance de ^^ et en particulier la puis- sance a^"~\ doit nécessairement avoir le même coef- ficient dans les deux membres de la formule (7), on trouvera,

1.° En supposant 7?i<?î — i ,

(8)

O z=

(x„~X,)(Xo— X^) i^o—^n-i)

(x,— Xo ) (x,— Xi). . .(x,— X„_J &C

(•r„_,— xj (x„_,— xj. . .(x„_,— X„_J *

2.' En supposant i?izz:?i — i ,

/ \ j _ ^^

(x. — Xj (x,— Xi). • •(■^i — •^„.,)

&C

(x„.,-Xo)(x„^,-^J. . .(x„_,-jr„.J

I." PARTIE. CHAP. IV. 93

Il est bon de remarquer que la formule (8) subsiste dans le cas même où l'on suppose ?n=:o, et devient alors

(lo) O = -, -7 —^ r-

I

(X,— X„) (X. — X;.)... .(X,— X„_,)

&c

I

(j^„-.-J^o)(^n^,-0---(-^n-i--^n-J *

5. 2.* Détermination des Fonctions entières de plusieurs variables , d'après nn certain nombre de valeurs particulières supposées connues.

Les méthodes par lesquelles on détermine les fonctions d'une seule variable , d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, peuvent être facilement étendues , comme on va le voir, aux fonctions de plusieurs variables.

Considérons d'abord , pour fixer les idées , des fonctions de deux variables a: et y. Soient Cf) (.r^ y), -v|/(jr, y), deux semblables fonctions, i'uneet fautre du degré n — i par rapport à chacune des variables, et qui deviennent égales entre elles , toutes les fois qu'en attribuant à la variable a; une des valeurs particulières

n—t

on attribue en même temps à la variable y l'une des suivantes

y-» y,' y, ••••y«-.-

94 COURS d'analyse.

<p[^oi y) y 4'(*^û' y) seront deux fonctions de îa seule variable y , qui deviendront égales entre elles pour n valeurs particulières de cette variable. Par suite, (en vertu du 3.^ théorème , §. i •^'), ces deux fonctions seront constamment égales , quel que soit y. On aura donc identiquement

Cp(.r,, y) =z\[x,, y). On trouvera de même

<?(-^. , y) = -|(^. , y), Cp ( j:, , y) = ^{x^, y), &c

D'ailleurs , les premiers membres des n équations précédentes sont autant de valeurs particulières de la fonction Cp(.r, y) dans le cas où l'on y considère jT seul comme variable ; et les seconds membres représentent les valeurs particulières correspon- dantes de la fonction -^^^^r, y). Les deux fonctions

Cp (^, y), -^{.r, y),

lorsqu'on y attribue à y une valeur constante choisie arbitrairement , deviennent donc égales pour n va- leurs particulières de .r; et, comme elles sont toutes deux du degré ?i — 1 par rapport à .t , il en ré- sulte qu'elles resteront égales, non-seulement pour une valeur quelconque attribuée à la variable y , mais encore pour une valeur quelconque de jc. Ou serîiit assuré, a fortiori , de légalité absolue des

I." PARTIE. CHAP. IV. »>v

deux fonctions Cp(^, 2/)' 4('^' 3^)» *^ ^'^" ^^^^^* qu'elles deviennent égales toutes les fois que les valeurs des variables .i- et y sont respectivement prises dans deux suites composées chacune de plus de n termes différens. On peut donc énoncer la proposition suivante.

1." Théorème. Si deux fonctions entières des variables s et y deviennent égales toutes les fois que les valeurs de ces deux variables sont respec- tivement prises dans deux suites qui renferment l'une et l'autre un nombre de termes supérieur aux exposans les plus élevés de x et de y dans ces mêmes fonctions, elles seront identiquement égales.

On en déduit, comme corollaire, cet autre théo- rème :

2/ Théorème. Deux fonctions entières des va- riables X et y sont identiquement égales , toutes les fois qu elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables , ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

Dans «ce cas , en effet , le nombre des valeurs de X et de y pour lesquelles les deux fonctions devixîn- nent égales est indéfini.

Il suit du théorème i ." que, si la fonction <p[x,i/) est supposée entière et du degré ?i — i par rapport à chacune des variables x et y ^ cette fonction sera complètement déterminée , dès que f on connaîtra ies valeurs particulières qu'elle reçoit, lorsqu'en pre- nant pour valeur de x fune des quantités

9G COURS d'analyse.

/y» /y» /y» -y»

on prend en même temps pom^ valeur de y l'une des suivantes

yo, y,, y. .-• y«_..

Dans la même hypothèse, la valeur générale de la fonction pourra être facilement déduite de la for- mule (i) du paragraphe précédent. En effet, si l'on remplace dans cette formule u par Cp,(^v y)? ^*^ ^^^ tirera

^l-^; y; - K-.ro(x„-x.)....(x.-a:„_,) ^^«^o ' y;

^'^^ H- &c. . . .

fx— Xq) (x Xi). . . .{x — x„_^) / \

"*■ (x„_ -xo)(x„_.-x.)..(x„_,-x„_j ^ v^n-^ ' y; ;

et l'on aura de plus , en désignant par m un des nombres entiers

I , 2 , 3 ?2 — I ,

, {y—yo){y-y^) (y— y,,-.) ^/„ ,, \

, w "^ (2/.-2/o)(2/.-3/0...(2/'-2/„..) '^V'^-'3^'>' ^ '^ -V- &c

(y— yo)(y-yO----(y— y>-J ^/ n

■^(y„--yo)(y„--y.)"(y„-,-y«-J ^V^m^Vu-. h

On conclura immédiatement des deux équations qui précèdent la valeur générale de Cp(^, y). On trou- vera , par exemple , en supposant ?i — 2 ,

(3)

Xo —Xi	' yo~yi
X —Xo	y-y^
Xi — Xo	Vo-yi
X — X,	y-Vo
Xq — Xi	V'—yo
X — x„	y-yo

I." PARTIE. CHAP. IV. 97

Vi — yo ^ ^ ' ' -y'/

Si l'on considérait des fonctions de trois ou d'un pîus grand nombre de variables , on obtiendrait des résultats entièrement semblables à ceux auxquels on vient de parvenir pour des fonctions de deux va- riables seulement. On trouverait , par exemple , à la place du 2.^ théorème, la proposition suivante :

3.^ Théorème. Deux foîictions entières de plu- sieurs variables x, y,z sont identiquement

égales , toutes les fois qu elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces va- riables, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

5- 3.' Applications.

Pour appliquer les principes établis dans les pa- ragraphes précédens, considérons en particulier des produits formés par la multiplication de facteurs successifs dont chacun surpasse le suivant d'une unité, le premier facteur étant l'une des variables œ, y, z , . . \ ei cherchons à exprimer, au moyen de ces sortes de produits , le produit tout semblable TOM. I, G

98 COURS D'AîiALYSE.

qu'on obtiendrait en prenant pour premier facteuF la somme des variables données , savoir ,

.r ->- y -t- z -4- &c. . . .

Si l'on réduit toutes les variables à deux , le pro- blème qu'il s'agit de résoudre pourra s'énoncer comme ii suit.

1/' Problème. Exprimer le produit

(i) [x-^ij] (.f-H-y-i) (.r-Hy-2)...(x-Hy-/2-t-i), dans lequel n désigne un nombre entier quelconque, par le moyen des produits suivans

a:[x— i) (^—2) ... (.r — w-Hi),

et de tous ceux qu'on peut en déduire, en chan- geant seulement la valeur de n.

Solution. Pour résoudre plus facilement la question précédente , supposons d'abord que x et y soient des nombres entiers égaux ou supérieurs à n. Alors le produit (i) ne sera autre chose que le numérateur de la fraction qui exprime le nombre des combinaisons possibles de x-^y lettres prises nkn, puisque ce nombre est précisément

1.2.3.

Cela posé, concevons que, les lettres

a, h, c, ... p, q, r ... étant en nombre égal à x-^y, on les divise en deux

I." PARTIE. CHAP. IV. 99

groupes , de telle manière que les lettres a,b, c ... du premier groupe soient en nombre égal k x , et les lettres^, q, r . .. à\i second groupe en nombre égal à y. Parmi les combinaisons formées avec ces différentes lettres , les unes renfermeront seulement des lettres prises dans le premier groupe. Le nombre des combinaisons de cette espèce sera

■r(x— i) (x— 2)...(x-w4-i) I .2 . 5 , . ,ra

D'autres renfermeront ?i — i lettres prises dans le premier groupe , et une lettre prise dans ie second. On déterminera facilement le nombre des combi- naisons de cette seconde espèce, et l'on verra qu'il est égal à

_X_[X-JI_)J X-2)...(x-7; + 2) y

1 .2.3" .. .M— I ■ '"T" •

On trouvera de même pour le nombre des combi- naisons qui renferment 71- ^ lettres prises dans le premier groupe, et deux lettres prises dans le second,

«.2. 3.... (71-2) • ^7^ :

&c. . . ; enfin , pour le nombre des combinaisons qui renferment seulement des lettres prises dans le der- nier groupe,

yÇy-,) (y-2)....(y-.„4.,) > .2 .3 . . . .«

La somme des nombres des combinaisons de chaque espèce devant reproduire le nombre total des corn- bmaisons des x^y lettres données prises nkn, on en conclura

100 COURS d'analyse.

(x + y) (.r + y— i) (x + y — n -i- i )

I . 2 . 3 . . . . 7Î

X (x— I ) . . . (x—n+ 1 ) X (x— 1 ) . . . (x—7i-\-z) y

. 1,2.3. ..« 1.2.3. .,(n-i) ' '

V A a;{x—}) (x — 71-^-) y(y—i)

^^ , _l_ ôLC. . .

1 .2.3 . . .(n — 2) I . 2

^ 2/(y— 0---(2/— "+^) . y(.y— 0---(y— "+0

I * 1 .2.3 . . .(n— I ) i .2. ^ . . ,n

L'équation précédente , étant ainsi démontrée pour le cas où les variabies x eiy obtiennent des valeurs entières supérieures à n, subsistera, en vertu du 2.^ théorème [§. 2], pour des valeurs quelconques de ces variables ; et la valeur du produit ( i ) tirée de la même équation sera

i^-^y) {.x-\-y—i) (x-Hy — 7^^-I)

n

- x(x— i) {x—n-\'i) H X {x—\) (x— n+2).y

^3A ^^ /'L"rr.l^ xfx—^)....{x — n+^).y{y—l) +&c...

1.2 V, ^

H— x.y{ij+\) {y—n+2)-\-y{y—\) (y— w+i).

Corollaire /."■ Si dans l'équation (2) ou remplace x par — x ei y par —y , on obtiendra k suivante

( x + ?/ ) ( X + ?/ + I ) ( X + y + » — I )

I . 2 . 3 .... M

_ X (x+i). ..(x+n— 1) X (x+i). ..(x+?i— 2) y

..y ~ I.2.3...M i .z.^...{n—i) ' i

^^h x(x+ i)...(j^+»-3) 2/(y+') _^ f.^

-1 — r , -t- OcC. . . .

1 .2.3 . . .(n— 2) 1.2

X y{y+j)...{y+n—i) ^ y (y-Hi). . .(y-h«— Q , __ . ^ — — .

^ I 1.2.3. ..(«-0 1.2.3...W

I."' PARTIE. CHAP. IV. 101

Corollaire 2/ Si dans i équation (2) on rem- place j: par ^ety par ^ , on trouvera

[ 2 . 4 . 6 . . . . ( 2 ;i )

(5)' ^--i-û. ..(.«) 2.4.6...(2„_2; -X

-+- &c. . . .

2.4.6...(2,i_2) 2.^.6. ..(.„) '-

C^/?^LL^//î^ j./ En déveioppant les deux membres de I équation (2), et ne conservant de part et d'autre que les termes dans lesquels ia somme des exposans des variables est égale à .^, on obtiendra la formule

1.2.3.

La valeur de {^-^y)" tirée de cette dernière for- mule est précisément celle que fournit le binôme de Neivton.

Les formules qu'on vient d'obtenir peuvent être facilement étendues au cas où l'on considère plus de deux variables; et la méthode qui nous a conduits à la solution du premier problème se trouve égale- ment applicable à la question suivante :

2.^ Problème. x,y,z.., désignant des variables en nombre quelconque, exprimer le produit

102 COURS d'analyse.

(x+i/-\-z . . .) {x-i-y-hz . . .—i) (x-\-y+z...~2). . .{x+y+z ...—n+i]

en fonction des ^uivans

x{jo — 1 ) (^ — 2) . . . (jr — n-h- I ) ,

y(y-0(y-2)--.(y-?ï-Hi),

., z-{z — 1) (;î — 2) . . . (^ — w-i-i), &c

et de tous ceux qu'on peut en déduire ^ en chaiigeant la valeur de n.

On commencera par résoudre le problème dans ie cas où X, y, z . . . désignent des nombres entiers supérieurs à n, en partant de ce principe, que la fraction

(X+2/+.3 . . . ) {x-\-y-\-z ... — I ) [z-^-y+z . . . —2) . . . {x-\-y-\-z . . . —n+ 1 )

I . 2 . 3 ... .M

est égale au nombre des combinaisons que l'on peut former avec x-^y-^z . . . lettres prises n à n. Puis, on passera au cas où les variables x, y , z ... de- viennent des quantités quelconques , en s'appuyant sur ie 3.^ théorème du §. 2. Lorsque l'on aura ainsi démontré la formule qui résout la question proposée, on en déduira sans peine la valeur de la puissance

(./•H-y-H^...)".

On y parviendra , en effet , en développant les deux membres de la formule trouvée , et ne conservant de part et d'autre que les termes dans lesquels les ex- posans réunis des variables x, y, z ... forment une somme égale à n.

I." PARTIE. CHAP. V. 103

CHAPITRE V.

Détermination des Fonctions continues d'une seule iicmahle propres a vérifier certaines conditions.

\. 1/' Recherche d'une Fonction continue formée de telle manière que deux semblables Fonctions de quantités variables, étant ajoutées ou multipliées entre elles , donnent pour somme ou pour produit une Fonction semblable de la somme ou du produit de ces variables.

Lorsque, au lieu de fonctions entières, on con- sidère des fonctions quelconques, dont on laisse ia forme entièrement arbitraire, on ne peut plus réussir à les déterminer d'après un certain nombre de va- leurs particulières, quelque grand que soit ce même nombre; mais on y parvient quelquefois dans le cas où l'on suppose connues certaines propriétés géné- rales de ces fonctions. Par exemple , une fonction continue de œ, représentée par cp (a:*), peut être complètement déterminée, lorsqu'elle est assujettie à vérifier , pour toutes les valeurs possibles des va- riables x et y , Tune des équations

(i) <P(^-Hy) = 9(.r)-i-cp(y),

(2) <})(.r-f-y) = <:f)(.r) X <^{y)\

ou bien , pour toutes les valeurs réelles et positives

104 COURS d'analyse.

des mêmes variables, i'iine des équations suivantes

(3) ^(-^y) = ^(-^)-^^(y)i

(4) <^{-^y) = <P{^^) X q>(y).

La résolution de ces quatre équations présente quatre problèmes différens que nous alions traiter l'un après l'autre,

1.^' Problème. Déterminer la fonction (^{x) , de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x , et que l'on ait pour toutes les valeurs réelles des variables x et y

(i) q)(^-Hy) = Cp(.r)-i-q)(y).

Solution. Si dans i équation (i) on remplace successivement y par y -^z , z par z-\-u , &c. . . . , on en tirera

<:p{^x-<i-y-+-z-^u-\- )

= <::{)(^)-H<:î)(y)H-c|)(^)-i-cî)(?/)-t-&c....,

quel que soit le nombre des variables jc, y, z, u,h.Q.: si , de pius , on désigne par m, ce même nombre , par CL une constante positive , et que l'on fasse

a: =:^ y =: z := U . . . . z= cL ^

la formule que l'on vient de trouver deviendra

Cp [în cl) = m Cp (et).

Pour étendre cette dernière équation au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre

!.'"' PARTIE. CHAP. V. 105

fractionnaire —, ou même par un nombre quel- conque jt/t, on fera, en premier lieu,

p m

t) = — et , n

?n et n désignant deux nombres entiers ; et l'on en conclura

?i Q = 7n et ,

n.<^{^) = m . <:p (ût) ,

puis, en supposant que la fraction — varie de ma- nière à converger vers un nombre quelconque /x, , et passant aux limites , on trouvera

Si maintenant on prend cl= i , on aura , pour toutes les valeurs positives de /a ,

(5) <4^(/-^) = /W'<î>(0'

et par suite , en faisant converger fji vers la limite zéro ,

Cp(o) == o.

D'ailleurs , si dans l'équation { i ) on pose jc =. fx , y=. — /x , on en tirera

Cî)(- ^) =: Cî) (o) - Cp(/^) = - /X.Cp (l).

L'équation ( 5 ) subsistera donc , lorsqu'on y chan-

106 COURS d'analyse.

géra /x. en — /x. En d'autres termes , on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x ,

(6) cp(.r) = xq)[\).

Il suit de la formule (6) que toute fonction Cp(.t^), qui , demeurant continue entre des limites quelcon- ques de la variable , vérifie l'équation ( i ) , est néces- sairement de la forme

(7) ^ {^) = ^-^^

a désignant une quantité constante. J'ajoute que la fonction ax jouira des propriétés énoncées , quelle que soit la valeur de la constante a. En effet, le produit ax est, entre des limites quelconques de la variable x , fonction continue de cette variable; et, de plus, la supposition <})(^) = ax change l'équa- tion ( I ) en cette autre

d(^x -^ y) = ax -+- ay ,

laquelle est évidemment toujours identique. La for- mule (7) fournit donc une solution de la question proposée , quelle que soit la valeur attribuée à la constante a. La faculté que l'on a de choisir arbitrai- rement cette constante , lui a fait donner le nom de constante arbitraire.

2." Problème. Détermmer la fo?ictio?i (p(^), de manière qu'elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que l'on ait pour toutes les valeurs réelles des variables x ety

I." PARTIE. CHAP. V. 107

(2) o {x -H y) =z cp {a:) .<:p(y).

Solution. li est d'abord facile de s'assurer que la fonction <p{-^), assujettie à vérifier l'équation (2), n'admet que des valeurs positives : et en effet, si dans l'équation (2) on fait y^^x , on trouvera

puis on en conclura , en écrivant ^ ^ au lieu de x ,

La fonction Cp (^) est donc toujours équivalente à un carré , par conséquent toujours positive. Cela posé, concevons que dans l'équation (2) on remplace

successivement y par y -\- z , z par z -h u, &:c

on en tirera

cp {^x-^y^z^u . . . ) = ^ \x) Cp^y) <p{z) C|>(w) . . . ,

quel que soit le nombre des variables x,y, z^u . ., Si, de plus, on désigne par m ce même nombre, par et une constante positive , et que l'on fasse

X=zy=.Z=:U....:=z<X,,

la formule que l'on vient de trouver deviendra

Pour étendre cette dernière formule au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre

fractionnaire — , ou même par un nombre quelcon- que ^ , on fera , en premier lieu ,

108 COURS d'analyse.

G = — et ,

11

m et n désignant deux nombres entiers; et Ton en conclura

n Q = m et ,

puis , en supposant que la fraction — varie de ma- nière à converger vers un nombre quelconque /ia, , et passant aux limites , on trouvera

Si maintenant on prend ce = i , on aura pour toutes les valeurs positives de /a,

(8) 9(^) = [<f (,)]',

et par suite, en faisant converger /n vers la limite zéro,

cp(o)=i.

D'ailleurs, si dans l'équation (2) on pose jc=zfA,, yz=: — /A, on en conclura

L'équation (8) subsistera donc , lorsqu'on y changera fA, en —/ui. En d'autres termes, on aura pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la va- riable ^

I." PARTIE. CHAP. V. 109

(9) q>U) = [q>{i)]\

Il suit de l'équation (9) que toute fonction cp (:r) propre à résoudre ie second problème est nécessai- rement de la forme

(10) <:p{.v) = A%

A désignant une constante positive. J'ajoute qu'on peut attribuer à cette constante une valeur, quel- conque entre les limites o et 00 . En effet, pour toute valeur positive de ^ , la fonction A ' reste continue depuis xz=i—oo jusqu'à ^ = -1- 00 , et i'équation

A''^^ = A' . Ay

est identique. La quantité,.^ est donc une constante arbitraire qui n'admet que des valeurs positives.

Nota. On pourrait arriver très-simplement à l'é- quation (9), de la manière suivante.

Si i'on prend les logarithmes des deux membres de l'équation (2) dans un système quelconque , on trouvera

et l'on en conclura [voyez le i .*' problème]

puis, en repassant des logarithmes aux nombres ,

3.^ Problème. Détermine?- la fonction ^(.r) de manière qu'elle reste continue entre deux limites

110 COURS d'analyse.

positives quelconques de la variable x , et que ï on ait , pour toutes les valeurs positives des variables X et y ,

(3) <P(-^y) = <^(■^)-*-<P(y)• »S'oLf7^/oiv. H serait facile d'appliquer à la solution du 3 / problème une méthode semblable à ceile que nous avons employée pour résoudre ie premier ; mais on arrive plus promptement à la solution cherchée , en mettant l'équation (3), ainsi qu'on va le faire, sous une forme analogue à celle de l'équation (i).

Si l'on désigne par A un nombre quelconque , et par L la caractéristique des logarithmes dans le sys- tème dont la base est ^^^on aura , pour toutes lee valeurs positives des variables x et y ,

.X = A , y = A , en sorte que i'equation (3 ) deviendra

<p{a'^^^^']=:<p{a'"')^cp{a''').

Comme , dans cette dernière formule , les quantités variables L.r, Ly admettent des valeurs quelcon- ques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables a: et y ,

cp(^'*^) = q{A'')-^<S?{A>). On en conclura [voyez le i .^' problème , équat. (6)] <^[A')=:za;q>{A')^x<^{A),

I." PARTIE. CHAP. V. 111

et par suite

OU, ce qui revient au même,

(il) <:^{jc) = q){A) . Lx.

Il suit de la formule (ii), que toute fonction <p(.r), propre à résoudre le 3.^ problème, est néces- sairement de la forme

(12) Cp (.r) = « Z. (^) ,

a désignant une constante. Il est d'ailleurs aisé de s'assurer, i .° que la constante a demeure entièrement arbitraire, 2." qu'en choisissant convenablement le nombre A, qui est lui-même arbitraire, on peut la réduire à l'unité.

4.^ Problème. Déteiminer la fonction <p (x) de manière qu'elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable x , et que l'on ait , pour toutes les valeurs positives des variables X et y ,

(4) 0(.ry)=r:<p(.r).cp(//).

Solution. Il serait facile d'appliquer à la solution du 4-* problème une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second. Mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée, si l'on observe qu'en désignant par L la caractéris- tique des logarithmes dans le système dont la base est A f on peut mettre l'équation (4) sous la forme

112 COURS d'analyse.

<p{A'-^'']=<f{A'').q(A'').

Comme, dans cette dernière éqnatfon, les quantités variables L[x), L{(/), admettront des valeurs quel- conques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables ^- et y ,

<:p{A''-')=<:p{A'')'<^{A'). On en conclura [voy. le 2/ problème, équat. (p)]

et par suite,

ou , ce qui revient au même ,

(13) cp(.r)

œ

LfiA]

II résulte de l'équation (13) que toute fonctioB <|) (^), propre à résoudre le 4-^ problème, est néces- sairement de la forme

(i4) C|)(x) = .r-,

a désignant une constante. Il est d'ailleurs aisé de s'assurer que cette constante doit demeurer entière- ment arbitraire.

Les quatre valeurs de Cp(-i^) qui satisfont respec- tivement aux équations (i), (2), (3), (4), savoir,,

Cl ce f jtx f Cl Lj ûC j JC j

ont cela de commun, que chacune d'elles renferme

I." PARTIE, CHAP. V. 113

une constante arbitraire a ou A. On doit en con- clure qu'il y a une grande différence entre les ques- tions où il s'agit de calculer les valeurs inconnues de certaines quantités , et ies questions dans les- quelles on se propose de découvrir la nature incon- nue de certaines fonctions d'après des propriétés données. En effet, dans le premier cas, les valeurs des quantités inconnues se trouvent finalement ex- primées par te moyen d'autres quantités connues et déterminées , tandis que dans le second cas les fonc- tions inconnues peuvent , comme on le voit ici , admettre dans leur expression des constantes arbi- traires.

§. 2." Recherche d'une Fonction continue formée d» telle manière qu'en multipliant deux semblables Fonctions de quantités variables , et doublant le produit, on trouve un résultat égal à celui qu'on obtiendrait en ajoutant les Fonctions semblables de la somme et de la différence de ces variables.

Dans chacun des problèmes du paragraphe pré- cédent , l'équation à résoudre renfermait , avec la fonction inconnue Cp (.r), deux autres fonctions sem- blables , savoir, <^[y) et <\>[x-^ij) ou <^Lv<j]. Nous allons maintenant nous proposer un nouveau pro- blème du même genre , mais dans lequel l'équation de condition, que la fonction (^[x) doit vérifier, ren- ferme quatre fonctions semblables au heu de trois/ Voici en quoi il consiste.

TOM. 1. H

114 COURS d'analyse.

Problème. Déterminer la fonction (p {x) de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables X ety ,

(i) Cp(y-4-.r) H- Cp(y-^) = 2 (^[x] . q)(y).

Solution. Si dans iequatioii (i) on fait x=o,

on en tirera

cp(o)= I.

La fonction <2;>[x) se réduit donc à l'unité, pour la valeur particulière ^ = o ; et puisqu'on la suppose continue entre des limites quelconques , il est clair qu'elle sera, dans le voisinage de cette valeur parti- culière , très-peu différente de l'unité, par conséquent positive. On pourra donc , en désignant par et un nombre très-petit , choisir ce nombre de telle manière que la fonction Cp(.^) reste constamment positive entre les limites

X — o , .r = ot.

Cela posé , il arrivera de deux choses l'une. Ou la valeur positive de Cp (ol) sera comprise entre les limites o et i ,. ou cette valeur sera supérieure à l'u- nité. Nous allons examiner successivement ces deux

hypothèses.

Concevons d'abord que Cp(ûL) ait une valeur com- prise entre les limites o et i . On pourra représenter cette valeur par le cosinus d'un certain arc ô ren- fermé entre les limites o , ^ ; et poser en conséquence

I."^ PARTIE. CHAP. V. 115

Cp (oLJ ^ COS. ô.

De plus, si, dans l'équation (i) mise sous la forme

cp (y-H^) = 2 <|) (^) cp (y) — cp (y-^) , on fait successivement

a: = et , y =rr oC ,

.r =: et , y =: 2 CL,

J7 zz: et , y :== 3 et, &C. . . . ,

on en déchiira l'une après i'autre les formules

Cp (2 et) =: 2 COS.'' 9 — I =: cos. 2 6 ,

Cp ( ^ ctj = 2 COS. u . cos, 2 0 — COS. 0 =: cos. 2 9 ,

Cp(4ct) ^ 2 COS. 9. cos. 3 9 — COS. 281= cos. 4» »

et en général , m désignant un nombre entier quel- conque ,

Cpfwct) = 2COS.G. COS.ilJl I )ô COS. (m 2)0=: COS. wô.

J'ajoute que îa formule

Cp (7?^ct) = COS. mô

subsistera encore , si i'on y remplace le nombre en- tier m par une fraction , ou même par un nombre quelconque /ll. C'est ce que l'on prouvera facilement, ainsi quil suit.

Si dans l'équation (i) on fait ^'==^ot, y:=-^et, on en tirera

116 COURS d'analyse.

puis , en extrayant les racines positives des deux membres, et observant que les deux fonctions Cp(.r), cos,^ restent positives, la première entre les limites .r = o , jc^cL, ia seconde entre les limites :r = o , ^ = ô, on trouvera

<p{^ct) = cos.^ô.

De même, si dans l'équation (i) on fait

011 en tirera

WU^jJ = 1 1 -L^««-4^J '

puis , en extrayant de part et d'autre les racines positives ,

<^(^ct)=cos.^ô.

Par des raisonnemens semblables, on obtiendra suc- cessivement les formules

&C. . . . ,

et en général , n désignant un nombre entier quel- conque ,

Si l'on opère sur la valeur précédente de <p(-^n ««-)

l/" PARTIE. CHAP. V. 117

pour en déduire celle de Ç (^ et, j , comme on a

opéré sur ia valeur de Cp (ce) pour en déduire celle de C|)(77icc), on trouvera

<fi-^'^)

COS.

puis, en supposant que la fraction -^ varie de ma- nière à s'approcher indéfiniment du nombre f^ , et passant aux limites, on obtiendra l'équation

(2) Cp (/XCt) = COS. yaÔ.

De plus , si dans la formule ( i ) on fait

a: = fj,cL , y = o , on en conclura

CJ)( — ,act)=:[2Cp(o) — I ]cp(/^ct)=cos./>tô=cos.( — ,axô).

L'équation (2) subsistera donc, lorsqu'on y rempla- cera /tA, par — jiL. En d'autres termes , on aura , pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable a:,

(3) Cp (et J?) = COS. 9.r.

Si dans cette dernière formule on change o^- en — , elle donnera

(4) <P {<r) = COS.— .-r =: COS. ( X jA .

La valeur précédente de Cp(j:') est relative au cas où Iq. quantité positive Cp(ct) reste comprise entre les

118 COURS d'analyse.

limites o et i . Supposons maintenant cette même quantité supérieure à l'unité. H est facife devoir que \ . dans cette seconde hypothèse , on pourra satisfaire par une valeur positive de ?- à l'équation

li suffira, en effet, de prendre

Cela posé , si dans l'équation ( 1 ) on fait successi- vement

a: z= CL, 7/ = CL,

.X =z ai, y = 2 et ,

^ = CL, 7J — ^CL, &C. . . . ,

on en déduira Tune après l'autre les formules

<? (- '^) =4-('' -^ -r)' - ' = 4- ('•'-^ >-) •

&C. . . . ,

et en général , ?n désignant un nombre entier quel- conque ,

I." PARTIE. CRAP. V. 119

J'ajoute que la formule

<?(»*) =4 ('■"'+ ^)

subsistera encore , si l'on y remplace ie nombre en- tier m par une fraction , ou même par un nombre quelconque ^. C'est ce que l'on prouvera faciiement, ainsi qu'il suit.

Si dans l'équation (l) on fait ^ = y^, i/=z-^cl, on en tirera

puis , en extrayant les racines positives des deux membres , et observant que ia fonction <^ (.r) reste positive entre les limites j"i=o, a:=:cL, on trouvera

<P(t^)=t('-"^'-'')-

De même , si dans l'équation (i) on fait

on en tirera

[^[^ct)Y = ^(o) + Mt«) ^i-H-i-(r--+-r -)

120 COURS d'analyse.

puis , en extrayant de part et d'autre les racines

positives ,

Par des raisonnemens semblables , on obtiendra successivement les formules

&c. . . .,

et en générai, n désignant un nombre entier quel- conque,

1 I

Si l'on opère sur la valeur précédente de <p(-^ et j ,

pour en déduire celle de Cpf^ctj, comme on a

opéré sur la valeur de Cp (et) , pour en déduire celle cp^mob), on trouvera

m m

<p(^.)=ip-.r-"):

puis, en supposant que îa fraction — varie de ma- nière à s'approcher indéfiniment du nombre //., et passant aux limites, on obtiendra l'équation

(5) Cp(Atct) = i (rVr"").

1." PARTIE CHAP. V. 121

De jiliis, si dans la formule (i) on fait

a: =^ fA.cL y ?/ = o , on en conclura

<^{ — f^cL) = [2 C|)(o) — i] Cp (a ct) = Mr "-i-r" j.

L'é{[uation (5) subsistera donc, lorsqu'on y rempla- cera fji par — fx. En d'autres termes , on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable jc ,

(6) CÎ)(ct.r)=:(rVr"').

Si dans cette dernière formule on change j; en — , elle donnera

(7) <l)(^) = i(r'-^-r-'). Lorsqu'on, fait , dans l'équation (4) , =t: — =^ a , et,

dans l'équation (7) , ?" " = ^ ^ ces équations pren- nent respectivement les formes suivantes

(8) <p(-^) = COS. «j; ,

(9) ^{^■)^-AA'^A-').

Si donc l'on désigne par a une quantité constante , et par ^ un nombre constant, toute fonction Cp(.r) qui , demeurant continue entre des limites quelcon- ques de la variable , vérifiera l'équation ( i ) , sera nécessairement comprise sous l'une des deux forme»

125 COURS DANALYbE.

qu'on vient de rapporter. II est d'ailleurs facile de s'assurer que les valeurs de ^{-t) fournies par les équations (8) et (p) résolvent la question proposée , queîies que soient les valeurs attribuées à la quan- tité a et au nombre A. Ce nombre et cette quantité sont donc deux constantes arbitraires , dont l'une ne peut admettre que des valeurs positives.

D'après ce qu'on vient de dire , les deux fonctions

COS. a.v, y(^'~'~^~'')'

ont la propriété commune de satisfaire à féquation (i), ce qui établit entre elles une analogie remar- quable. L'une et l'autre de ces deux fonctions se ré- duisent encore à l'unité pour .r:=o. Mais une diffé- rence essentielle entre la première et la seconde , c'est que la valeur numérique de la première est constamment au-dessous de la limite i , lorsqu'elle n'atteint pas cette limite ; tandis que, dans la même hypothèse , la valeur numérique de la seconde est constamment au-dessus.

I."^ PARTIE. CHAP. VI. 123

CHAPITRE VI.

Des Séries conver^'entes et diveroentes. Kès'les sur la convergence des Séries. Sommation de quelques Séries convergentes.

5. 1." Considéraiions géticrales sur les Séries.

On appelle série une suite indéfinie de quantités u^ , II, y ?/,, u^ , &c. . . ,

qui dérivent les unes des autres suivant une loi dé- terminée. Ces quantités eiles-niémes sont les différens termes de la série que l'on considère. Soit

^„ = W„ H- 2/, H- M, -H . . . H- îl,,_,

la somme des n premiers termes, ti désignant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de w, toujours croissantes, la somme .s'„ s'approche indé^ finiment d'une certaine limite s , la série sera dite convergente , et la limite en question s'appellera la somme de la série. Au contraire , si , tandis que n croit indéfiniment , la somme s^ ne s'approche d'au- cune limite fixe, la série sera, divergente , et n'aura plus de somme. Dans l'un et l'autre cas, le terme qui correspond à l'indice ;?, savoir u„, sera ce qu'on nomme le terme général. Il suffit que l'on donne ce

124 COURS d'analyse.

terme générai en fonction de i'indice n, pour que ia

série soit complètement déterminée.

L'une des séries ies plus simples est ia progres- sion géométrique

qui a pour terme général x" , c'est-à-dire , ia puis- sance n.^" de la quantité .r. Si dans cette série on fait la somme des ii premiers termes , on trouvera

I -t- J7 -V- .r -H ... H- JC ' =

et, comme pour des valeurs croissantes de n la

valeur numérique de ia fraction _ converge vers

la limite zéro , ou croit au - delà de toute limite , suivant qu'on suppose la valeur numérique de œ inférieure ou supérieure à l'unité , on doit conclure que dans ia première Iiypotiièse ia progression

est une série convergente qui a pour somme — — — ,

tandis que dans la seconde hypotiièse la même pro- gression est une série divergente qui n'a plus de somme.

D'après ies principes ci-dessus établis , pour que ia série

(i) u^, w^, u, .. . u„, u„^,, &c

soit convergente , il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfini- ment la somme

1."^ PARTIE. CHAP. VI. i 25

S„ — 11^ -4- tl^ H- U^ -H &C -4- U„_,

vers une limite fixe s : en d'autres termes , il est né- cessaire et il suffit que , pour des valeurs infiniment grandes du nombre n, les sommes

diffèrent de ia limite 5^ et par conséquent entre elfes, de quantités infiniment petites. D'ailleurs , les diffé- rences successives entre la première somme s„ et chacune des suivantes sont respectivement détermi- nées par ies équations

^„^, — ^. = u„ -t- u„^, ,

&c.

Donc , pour que la séiie ( i ) soit convergente , ii est d'abord nécessaire que le terme général ?/„ décroisse indéfiniment , tandis que n augmente ; mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de n, les différentes sommes

u„ -H w.

&c

c est-à-dire , les sommes des quantités "^ ' ^r^t , U:,^, , &c. . . .

126 COURS d'analyse.

prises , à partir de la première , en tel nombre que l'on voudra , finissent par obtenir constamment de* valeurs numériques inférieures à toute limite assi- gnable. Réciproquement , lorsque ces diverses con- ditions sont remplies , la convergence de la série est assurée. Prenons pour exemple la progression géométrique

(2) i , .r , ,x\ a^^ , &c. . . .

Si la valeur numérique de .r est supérieure à l'unité , celle du terme général .r" croîtra indéfiniment avec n ^ et cette seule remarque suffii'a pour constater la divergence de la série. La série sera encore diver- gente , si l'on suppose .r = d= i , parce qu'alors la valeur numérique du terme général .r", se réduisant à l'unité, ne décroîtra pas indéfiniment pour des va- leurs croissantes de ?i. Mais, si la valeur numérique de JC est-s«pé«e«i^ à i unité, les sommes des termes de la série pris à partir de j;" en tel nombre que l'on voudra , savoir ,

X ,
^" _4_ .^"-'	,, 1 — x"-
— ^ , - X '
.r" -H x"-^'	-H JC"^' =.X"-	— x'

&c. ... se trouvant toutes comprises entre les limites

X" , '

' I X

clu:cu.ne d'elles deviendra infiniment petite pour des

I.*^ PARTIE. CHAP. VI. 1*27

valeurs de n infiniment grandes; et par suite la série sera convergente , ce que l'on savait déjà.

Prenons pour second exemple la série nrimérique

(3) *' T' y T "• T' ^rrT' ^^ —

Le terme g^énéral de cette série , savoir , — '- — dé-

croît indéfiniment à mesure que n augmente , et ce- pendant ia série n'est pas convergente ; car la somme

faite du terme — ^ — et de ceux qui le suivent ius-

« -H I i '

qu'au terme — — inclusivement, savoir,

reste constamment supérieure, quel que soit n, au produit

n X =

2 /{

et par suite , cette somme ne décroît pas indéfini- ment pour des valeurs croissantes de n, ainsi que cela aurait lieu si la série était convergente. Ajoutons que , si l'on désigne par s„ la somme des 7? premiers termes de la série (3) , et par 2"' iapîus haute puis- sance de 1 renfermée dans 7i-\-i , on. trouvera

6'=! -l-T-t--rH-...H ^ > I -+- - -^ l' V ^- T )

" ' :> «4-1 iV54/

«t À fortiori

128 COURS d'analyse.

5„>I-*--^-H^-+-^-H...H--=: !-»-—.

On en conclura que la somme s„ croît indéfiniment avec !e nombre entier m, et par conséquent avec 71, ce qui est une nouvelle preuve de la divergence de

la série.

Considérons encore la séiie numérique ,

(4) '. T- rr- TXT ■ - T-T^r ' ^'-

Les termes de cette série qui occupent un rang su- périeur à n , savoir ,

1 ■ ' ^ç,, ,

,,,.,...„ ' ,.3.3...7i(n+l)' I.2.5...«(«+l)(«+2)'

seront respectivement inférieurs aux termes corres- pondans de la progression géométrique

' ' ' ' _!_ &c

Par suite , la somme des premiers termes pris en tel nombre que l'on voudra sera toujours inférieure â la somme des termes correspondans de la progres- sion géométricjue, qui est une série convergente, et à plus forte raison, à la somme de cette progression, c'est-à-dire, à

1.2.3.. A"—')

Comme cette dernière somme décroît indéfiniment à mesure que // augmente , il en résulte que la sé- rie (4) est eile-uîènie convergente. On est convenu

I."^ PARTIE. CHAP. VI. 129

de désigner par la lettre e la somme de cette série. En ajoutant les n premiers termes , on obtiendra pour valeur approchée du nombre e

I -»

1 .2.^

H -f — r ;

et, d'après ce qu'on vient de dire, Terreur commise sera inférieure au produit du nJ^' terme par — ^ — .

f ^ n — I

Ainsi , par exemple , si l'on suppose n^=. \\ ^ oo trouvera pour la valeur approchée de e

(5) 6 = 2.7182818 ....;

et l'erreur commise dans cette hypothèse sera infé- rieure au produit de la fraction ^- — ^

1 1.2.3.^,5.6.7.5.9.10

par -^ , c'est-à-dire , à ^^gg , en sorte qu'elle

n'altérera pas la 7.* décimale.

Le nombre e , déterminé comme on vient de le dire , sera souvent employé dans la sommation des suites et dans le calcul infinitésimal. Les logarithmes pris dans le système qui a ce nombre pour base s'appellent Népériens , du nom de Néper, inventeur des logarithmes, ow hyperboliques , parce qu'ils ser- vent à mesurer les diverses parties de l'aire comprise entre l'hyperbole équilatère et ses asymptotes.

On indique généralement la somme d'une série convergente par la somme de ses premiers termes suivie d'un &c Ainsi , lorsque la série

TOM. I.

130 coiiRS d'analyse.

est convergente , ia somme de cette série est repré- sentée par

Uo -*- W. -H U^ -^ ^S -^ ^^■

En vertu de cette convention , la valeur du nombre e se trouvera déterminée par l'équation

[O) e — ^^^ , ,.2 1.2.3 1.2.5-4 et, si l'on considère la progression géométrique

I , jc, j:\ x\ &c ,

on aura , pour des valeurs numériques de a; infé- rieures à l'unité ,

La série

Uo, Wi, ?'.' «3' ^c. ... étant supposée convergente, si l'on désigne sa somme par s, et par s, la somme de ses n premiers termes, on trouvera

= 5„-HW„-V-2«„^,H-&C....,

et par suite

S — S^z=U„-^ 7/„^, -f- &C. . . .

De cette dernière équation il résulte que les quan- tités

î."^ PARTIE. CHAP. VI. 131

U„, U„^,, W^^,, &c

formeront une nouvelle série convergente dont la somme sera équivalente à ^— ^„. Si l'on représente cette même somme par r„ , on aura

et r„ sera ce qu'on appelle ie reste de ia série (i) à partir du n.""' terme.

Lorsque, les termes de la série (i) renfermant une même variable a:, cette série est convergente , et ses différens termes fonctions continues de jc , dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à cette variable ;

*«^ r„ et s

sont encore trois fonctions de la variable .r, dont la première est évidemment continue par rapport à a: dans le voisinage de la valeur particulière dont il s'agit. Cela posé , considérons les accroissemens que reçoivent ces trois fonctions, lorsqu'on fait croître ^ d'une quantité infiniment petite cl. L'accroisse- ment de s„ sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantité infiniment petite; et celui de r, deviendra insensible en même temps que r„, si l'on attribue à ?i une valeur très-considérable. Par suite, l'accroissement de la fonction s ne pourra être qu'une quantité infiniment petite. De cette remaïque ou déduit immédiatement la proposition suivante.

1 ." Théorème. Lorsque les diffêrei^s termes de la série {i) sont des fonctiotu d'une même variMe x,

J

132 COURS d'analyse.

continues -par rapport a cette variable dans le voi- sinage d'une valeur particulière pour lacpœlle la série est convergente , la somme s de la série est aîissi, dans le voisinage de cette valeur particu- lière, fonction continue de x.

En vertu de ce théorème, la somme de la série (2) devra rester fonction continue de la variable x, entre ies limites .rr= — i , .rim ; ce qu'on peut vérifier à l'inspection de la valeur de s donnée par l'équation

§. 2/ Des Séries dont tous les termes sont positifs. Lorsque la série

(1) U^, II,, U, .... «„; &C. ...

a tous ses termes positifs , on peut ordinairement décider si elle est convergente ou divergente , à l'aide du théorème suivant.

1." Théorème. Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge, tahdis que n croit indé- finiment, reayression{u„y; et désignez par k la plus grande de ces limites, ou , en d'autres termes, la limite des plus grandes valeurs de l'expression dont il s'agit. La série (i)sera convergente, si l'on a k<\ , et divergente, si l'on a k> i.

DÉMONSTRATION. Supposons d'abord k < i , et choisissons à volonté entre les deux nombres 1 et A- un troisième nombrç U, en sorte qu'on ait

I."^ PARTIE. CHAP. VI. 133

k<U < u

n venant à croître au-delà de toute limite assignable,

I les plus grandes valeurs de [u„) " ne pourront s'ap- procher indéfiniment de la limite k , sans finir par être constamment inférieures à U. Par suite , il sera possible d'attribuer au nombre entier n une vaieur assez considérable, pour que , ?i obtenant cette même valeur ou une valeur plus grande encore , on ait constamment

{u^kU, u„<U\ W en résulte que les termes de la série

finiront par être toujours inférieurs aux termes coi^ respondans de la progression géométrique

I, U, U\ ... U% Z7'-', U--\ &c...;

et , comme cette progression est con^ ergente ( à cause de U< i ) , on peut de la remarque précédente conclure a fortiori la convergence de la série (i).

Supposons , en second lieu , X- > i ; et plaçons encore entre les deux nombres i et k un troisième nombre U, en sorte qu'on ait

k> U> I,

Si fi vient à croître au-delà de toute limite , les plus

grandes valeurs de {if,,)\ en s'approchant indéfi- niment de k, finiront par devenir supérieures à [I

134 COURS d'analyse.

On pourra donc satisfaire à ia condition

(«„)" > u,

on , ce qui revient au même , à la suivante

par des veieurs de n aussi considérables que l'on voudra ; et par suite , on trouvcj'a dans la série

un nombre indéfini de ternies supérieurs aux termes correspondans de îa progression géométrique

I, U, U\ ... U\ U''-\ U"^\ &c....

Comme cette progression est divergente (à cause de U> I ) , et qu'en conséquence ses difFérens termes croissent à l'infini, la remarque que l'on vient de faire suffira pour établir la divergence de la série ( i ). Dans un grand nombre de circonstances, on peut déterminer la valeur de la quantité k , à l'aide du théorème 4-^ [chap. II, §. 3. ]. En effet, en vertu

de ce théorème , toutes les fois que le rapport — "-^^

convergera vers une limite fixe , cette limite sera précisément la valeur de k. On peut donc énoncer îa proposition suivante.

2/ Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de n, le rappelât

converge vers une limite fixe k , la série ( i ) sera

I." PARTIE. CÏIAP. VI. 135

convergente toutes les fois que l'on aura k<i , et divergente toutes les fois que l'on aura k> i. Concevons, par exemple, que l'on considère la série

' i' 1.2' 1.2.3 1.2.3...^

on trouvera

&c..

Un 1 . 2 . 3 .. .n (7i-Hi) n-4-1 ce

et par conséquent fa série sera convergente, ce que l'on savait déjà. . -.^

Le premier des dcu\ théorèmes qu'on vient dé- tablir ne laisse d'incertitude sur la convergence ou la divergence d'une série doiit tous les termes sont positifs , que dans le cas particulier où la quantité représentée par k devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier, il n'est pas toujours facile de décider la question. Toutefois, nous allons démontrer ici deux nouvelles propositions à l'aide desquelles on peut souvent y parvenir.

3^ Théorème. Lorsque clans la série (^\) chaque terme est inférieur a celui qui le précède , cette série et la suivante

(2) u^, 2 z<^ , 4 "3 » 8 z^7 , 16 u. , (kc...

sont en même temps convergentes ou divergentes.

DÉMONSTRATION. Supposons d'abord la série (i) convergente, et désignons sa somme par *\ On aura

136 COURS d'analyse.

%U^< 2 M^ -+- 2 Wj -H 2 W^ -H 2 W7 , &C ;

et par suite , ia somme des termes de la série (2) , pris en tel nombre que ion voudra , sera inférieure à

^^„-^-2^/J^-27^^-4-2M3-^-2M^-^-&c.... = is — w„.

Il en résulte que la série (2) sera convergente.

Supposons , en second lieu , la série ( i ) diver- gente. La somme de ses termes pris en très-grand nombre finira par surpasser toute limite assignable ; et , comme on aura

u.	= u	5 >
2.U,	>u.	■4- M,	»
4^3	>u^	H-M^	-^U^	-HW,,
8w^	>^7	-+-M^	-\-U^-\-U,,-^U„

&C. . . . ,

on devra conclure que la somme des quantités

w„ , 27/,, 4^3) 8*^75 &c

prises en très -grand nombre finit elle-même par devenir supérieure à toute quantité donnée. La série (2) sera donc alors divergente, conformément au théorème énoncé.

I." PARTIE. CHAP. VI. 137

Corollaire. Si pour la série { i ) on prend la sui\ante

V3; ' ' 17' 17' -^> &c. ...,

fji désignant une quantité quelconque , la série ( 2 ) deviendra

I, 2'-^ 4'-", 8'-% &c

Cette dernière est une progression géométrique , convergente lorsqu'on suppose /x, > i , et divergente dans le cas contraire. Par suite, la série (3) sera elle-même convergente, si //. est un nombre supé- rieur à l'unité ; et divergente , si l'on a yu, = i ou /x, < I . Par exemple , des trois séries

(4) I , -Ta- ' -T^ ^ ^.- , &C. . . . ,

(5) ^' ^' -7-' -i-' &C....,

(6) I , — T- , — r- , — r , &c

îa première sera convergente, et les deux autre» divergentes.

4.' Théorème. Supposons que l'on désigne par L la caractéristique des logarithmes dans un sys- tème quelconque , et que, pour des valeurs crois- santes de n^ le rapport

(^)

138 COURS d'analyse.

converge vers une limite finie h. La série (i) sera convergente , si l'on a h> \ , et divergente , si l'on a h< \ .

DÉMONSTRATION. Supposoiis d'aborcl /? > I , et choisissons à volonté entre les deux quantités i et h une troisième quantité a, en sorte qu'on ait

h > a > I . Le rapport — l" \ > o" son égal

L {n) '

finira par être, pour de très-grandes valeurs de n , constamment supérieur à la quantité a. En d'autres termes, n venant à croître au-delà d'une certaine limite, on aura toujours

(^)

> a

L{n)

OU , ce qui revient au même ,

et par suite

> n'

u^ <

H en résulte que les termes de la série (i) finiront par être constamment inférieurs aux termes corres-

I."^ PARTIE. CHAP. VI. 139

pondans de la suivante

II' J ' 0^

et, comme cette dernière sera convergente (à cause de a> i), on pourra de la remarque précédente conclure à fortiori ia convergence de la série (i).

Supposons , en second lieu , ^ < i ; et plaçons en- core entre les quantités i et h une troisième quan- tité a, en sorte qu'on ait

h < a < i.

On finira par avoir constamment , pour de très- grandes valeurs de n ,

i-t)

< a ,

L{n)

OU , ce qui revient au même ,

et par suite

- — < n" ,

II., >

Il en résulte que les termes de la série (i) finiront par être constamment supérieurs aux termes corres- pondans de la suivante

et, comme cette dernière sera divergente (à cause

140 COURS d'analyse.

de «< r), on pourra de la remarque qu'on vient de faire conclure à fortiori la divergence de la série (i).

Etant données deux séries convergentes dont tous îes termes sont positifs , on peut , en ajoutant ou muitipliant ces mêmes termes , former wne nouvelle série dont la somme résulte de l'addition ou de la multiplication des sommes des deux premières. Nous établirons à ce sujet les deux théorèmes suivans :

5.^ Théorème. Soient

/ X i «o , U, , U. • • . "« » &C. . . , (v,, V^, V, ... v„, &c. . . ,

deu.x séries convergentes , qui, uniquement compo- sées de termes positifs , aient respectivement pour sommes s et s :

(8) U,-V-V„, tl.^V^, W,-HV, , . . . Un-^V„ , &C...

sera une nouvelle série convergente , qui aura pour somme s^f-s,

DÉMONSTRATION. Si l'on fait

s„ et s'„ convergeront respectivement , pour des valeurs croissantes de n, vers les limites s et s'. Par suite, s„-\-s'„, c est-à-dire, la somme des n premiers termes de la série (8), convergera vers la limite s-\-s ; ce qui suffît pour établir le théorème énoncé.

I.''^ PARTIE. CHAP. VI. 141

6.* Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent ,

(9) fi

sera une nouvelle série convergente , qui aura jiour somme s s'.

DÉMONSTRATION. Soient toujours s„f s'„ les sommes des n premiers termes des deux séries (y) , et désignons en outre par s"„ la somme des n pre-- miers termes de la série (9). Si l'on représente par

m le plus grand nombre entier compris dans — ;— ' ,

c'est-à-dire, ^ lorsque ?i est impair, et ^

dans le cas contraire , on aura évidemment

< («o-t-U, -+-, . .-1-W„_,) (v^-hV^-^. ..~{.V„_, )

et > (îio-Hw, -4-. . . .-+-Wm) (t'o-Fî'i-H -^Vn);

ou , en d'autres termes ,

Concevons maintenant que l'on fasse croître n au- delà de toute limite. Le nombre

n zt —

m = • "" ^

croîtra lui-même indéisniment ; et les deux sommes s^_, ^,;..,.. convergeront vers la limite s, landis que

142 COURS d'analyse.

s' „ et s' „^, convergeront vers !a limite s. Par suite , les deux produits *•„ s „ , s^^, s' „,^, , et la somme s" ,^ comprise entre ces deux produits , convergeront vers la limite ss' : ce qui suffit pour établir le théo- rème 6.^

5. 3/ Des Séries qui renferment des termes positifs et des termes négatifs.

Supposons que ia série

(0 Wo, u,, w, u„, &c

se compose de termes , tantôt positifs , tantôt néga- tifs : et soient respectivement

{2) /„, /., /. ..../„. &c....

les valeurs numériques de ces mêmes termes, en sorte qu'on ait

La valeur numérique de la somme

u, -H- u, -H ?^, -+-... -i- u„_, lie pouvant jamais surpasser

il en résulte que ia convergence de la série (2) en- traînera toujours celle de la série ( i ). On doit ajouter que la série ( i ) sera divergente , si quelques termes de la série (2) finissent par croître au-delà de toute

I."' PARTIE. CHAP. VI. î 43

limite assijJiiable. Ce dernier cas se présente lorsque

ies plus grandes valeurs de (j^^) " convergent, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite sujx*- rieure à l'unité. Au contraire, lorsque cette limite devient inférieure à l'unité, ia série (2) est toujours convergente. On peut , en conséquence , énoncer le théorème suivant :

1.^' Théorème. Soit ^^ la valeur numérique du tci^ie général «„ de la série ( i ) ; et désignons par /. la limite vers laquelle convergent , tandis que n croît indéfiniment , les plus grandes valeurs de

l'expression (/„)". La série [f) sera convergente , si l'on a /•< i , et divergente , si l'on a k > i.

Lorsque la fraction "^ " ^ ' , c'est-à-dire, la valeur

numérique du rapport — ^^-^^^ , convergera vers une limite fixe, cette limite sera, en vertu du 4" théo- rème [chap. n,§. 3.^], la valeur cherchée de k. Cette remarque conduit à ia proposition que je vais écrire.

2.'' Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de n , la valeur numérique du rapport

converge vers une limite fixe k, la série (1) sera convergente , toutes les fois que l'on aura A- < 1 , et divergente , toutes les fois que l'on aura />i. Par exemple , si l'on considère la série

144 COURS d'analyse.

I , — , H , , H- &C. . . ,

on trouvera

If t: —1— I ' /"V^ ?

oc

d'où il résulte que la série sera convergente.

Le premier des deux théorèmes qu'on vient d'é- tabiir ne laisse d'incertitude sur ia convergence ou la divergeiice d'une série que dans le cas particulier oii la quantité représentée par A devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier, on peut quelquefois constater la convergence de la série proposée, soit en s'assurant que les valeurs numériques de ses différens termes forment une série convergente, soit en ayant égard au théorème suivant.

3.' Théorème. Si dans la série (1) /« valeur nu- mérique du terme général u^ décroît constamment et indéfiniment , pour des valeurs croissantes de n , si de plus les différens termes sont alternativement positifs et négatifs , la série sera convergente.

Considérons, par exemple, la série

(2) 1, ^, -i- — , ^, H-&C..=t: — , zp-J- ,&C.

La somme des termes dont ie rang surpasse n, si on les suppose pris en nombre égal à m, sera

\ n-Hi ?i-i-2 n-^r'), «+4 n\vi J

Or la valeur numérique de cette somme, savoir,

I."^ PARTIE. CHAP. VI. 145

1 . . • I I I c ï

rt+i n-i-z n+3 n+4 n-i-m

I

n-f-i

u — '-yu — -A-kc

\n-\-z n+^y \n+4 «+5/

étant évidemment comprise entre -^ et •

n -i- 1

décroîtra indéfiniment pour des valeurs croissantes de n, quel que soit ?«, ce qui suffit pour établir la convergence de la série proposée. Les mêmes rai- sonnemens peuvent évidemment s'appliquer à toutes les séries de ce genre. Je citerai , entre autres , la suivante ,

(4) I, ->, H-y,-, -~r, &c....,

laquelle, en vertu du théorème 3.% restera conver- gente pour toutes les valeurs positives de jul.

Si dans la série (4) on supprime le signe — de- vant chacun des termes de rang pair, on obtiendra la série (3) du §. 2.% qui est divergente toutes les fois que l'on suppose /j.= i ou ;«,< i . Par suite , pour transformer une série convergente en série diver- gente, ou réciproquement, il suffit quelquefois de changer les signes de certains termes. Au reste, cette remarque est uniquement applicable aux séries pour lesquelles la quantité désignée par A- dans le .2." théorème se réduit à l'unité.

TOM. 1 V

146 COURS d'analyse.

Etant donnée une série convergente dont tous les termes sont positifs, on ne peut qu'augmenter la convergence en diminuant les valeurs numénques de ces mêmes termes , et changeant les signes de quelques-uns. Il est bon d'observer qu'on produira ce double effet, si l'on multiplie chaque terme par un sinus ou par un cosinus ; et cette observation suffit pour établir la proposition suivante.

4.^ Théorèime. Lorsque la série

(2) /o, /,, /., ... /., &c....,

uniquement formée de termes positifs , est conver- gente, chacune des suiva?ites

(_/?„cos.ô„, _p,cos.9. , j^.COS.Ô,, . . .yî„cos.9„, &C. . . , ( /„sin.ô, , /, sin.ô, , J?,sin.9, , . . . /„sin.O,^ , &C

l'est pareillement , quelles que soie?it les valeurs des arcs 6.,, 9,, 9^ ... ^„, &c....

Corollaire. Si l'on suppose généralement

e. = «0,

0 désignant un arc quelconque , les séries ( 5 ) de- viendront respectivement

j ^„, f, COS. 6 , ^, COS. 29, ...^„cos.w9 , &C... , I j?, sin,9 , ^7^5111.29, ... j5^sin. «9 , &C

Ces deux dernières seront donc toujours conver- gentes en même temps que la série (2).

Si ion considère à-la-fois deux séries dont cha-

I." PARTIE. CIÏAP. VI. 147

Cuûe renferme des termes positifs et des termes né- gatifs, on démontrera facilement à leur égard les théorèmes 5.* et 6.^ du second paragraphe , ainsi qu'on va le faire voir. 5.* Théorème. Soient

l v„, V,, y,, V„, &C ,

deux séries coïivergentes qui aient respectivement pour sommes s et s ;

(8) u,-^v, , u,-^v, , n,-^v, , ... u,^~\-v„ , Slc...

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour domine s-^s.

DÉMONSTRATION. Si l'on fait

S„ = U,-\-U,-^U, -H . . . -H2r^_, , s\=v,-+- v,-^v,-^ ... -\-v„_, ;

s^ et s' „ convergeront respectivement , pour des va- leurs croissantes de n, vers les limites s et s' . Par suite, s„-^s' „, c'est-à-dire, la somme des 7i premiers termes de la série (8) convergera vers la limite s -{-s'; ce qui suffit pour établir le théorème énoncé. 6.^ Théorème. ZjCs mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , si chacune des séries (7) reste convergente , lorsqu'on réduit ses di^érens termes a leurs valeurs numériques ,

, . \ «o^'o» u,v,-^-u, y„, u,v~^u, v,-hu,v^,

... u,v„-^u, v„_,-h ... ~hU„_, V,-+-U„ V, , &c...

148 COURS d'analyse.

sera une nouvelle série convergente , qui aura pour

somme s s'.

DÉMONSTRATION. Soient toujours s„, s'„ les sommes des n premiers termes des deux séries (7) , et désignons en outre par s\ la somme des n pre- miers termes de ia série (^), On trouvera

^••'^ ^\> — ^\, = W„_, V^^_, -t- (z/„_, V„_, -+- U„_, V„_,) H- . .. ■ -^ (««-. î^x -t- iin-z V,-^ ...-Ï-ÎI, V„_, -t- U, V„_).

De pîus, le théorème 6/ ayant été démontré dans le second paragraphe pour le cas où les séries (7) ne ^'enferment que des termes positifs, il en résuke que dans cette hypothèse chacune des quantités s„s' „, s\ converge, pour des valeurs croissantes de n, vers la hmite ss\ et, par suite , la dillérence s„s „ — s\, ou , ce qui revient au même , ia somme

U„^, V„_, -K ( U^_, V„^, -H 'W„_, ?;„_, J H-

... H- [U,,^, V, ■+- U^^^.V, -4- . . . . -H //, Z'„_,-H U, V „_,)

vers la limite zéro.

Concevons maintenant que , les termes des séries (7) étant les uns positifs et les autres négatifs , on dé- signe respectivement par

\fo, /,, /., •.. /«. &c....,

(fo, /r, /», "■ fn, &C....,

les valeurs numériques de ces difFérens termes. Sup- posons de plus, conformément à l'énoncé du théo- rème , que les séries (10), composées de ces mêmes

I." PARTIE. CHAP. VI. 119

valeurs numériques , soient toutes deux conver- gentes. En vertu de la remarque qu'on vient de faire, la somme

convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro : et , comme la valeur numérique de cette somme sera évidemment supérieure à celle de la suivante

il en résulte que cette dernière , ou , ce qui revient au même, la différence s,^s\ — s" „ convergera elle- même vers la limite zéro. Par suite, .9^', qui est la limite du produit s-,^s' „, sera encore celle de s"^. En d'autres termes , la série (9) sera convergente ,. et aura pour somme le produit ss .

ScHOLiE. Le théorème précédent pourrait ne plus subsister , si les séries (7) , supposées conver- gentes, cessaient de l'être après la réduction de cha- cpie terme à sa valeur numérique. Concevons, par exemple , que pour chacune des séries (y) on prenne la suivante

(11) I, _, _j — _, _^ _^_, ^kç...

La série (9) deviendra

150 COURS d'analyse.

( — ( -^ -+- -/L^ -+- -^- -^- -^ ) , -H&C...

^ \Vi V3-2 V^'i v^/

Cette dernière est divergente. Car son terme géné- ral , savoir ,

± ( ^ -H -7==r- -t- —==- -t- ... H -H-TT 1

\ y/n Vi"— i;z V("— i)} y^t"— 0 V«/

a une valeur numérique évidemment supérieure à

4" |i

iorsque ?i est pair, et à

2 fC

M-i-l

1(^)'P

lorsque n est impair ; c'est-à-dire , dans tous les cas possibles, une valeur numérique supérieure à l'unité. Cependant la série (11) est convergente. Mais on doit observer qu'elle cesse de l'être , lorsqu'on réduit chaque terme à sa valeur numérique , puisqu'elle se change alors en la série (6) du J. 2,^

, 4.' Des Séries ordonnées suivant tes Puissances ascendantes et entières d'une variable.

Soit

I." PARTIE. CHAP. VI. loi

une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable a: ,

(2) a,, a,, a,, a„, &:c

désignant des coefficiens constans positifs on néga- tifs. Soit de plus A ce que devient pour la série (2) la quantité /c du paragraphe précédent [voy. le §. 3 , 2.^ théorème]. La même quantité, calculée pour la série ( i ) , sera équivalente à la valeur numérique du produit

Ax.

Par suite , la série ( i ) sera convergente , si cette valeur numérique est inférieure à l'unité , c'est-à-dire, en d'autres termes, si la valeur numérique de la va- riable a: est inférieure à -^ . Au contraire , la série ( i ) sera divergerite, si la valeur numérique de ^ surpasse -^ . On peut donc énoncer la proposition suivante.

1." Théorème. Soit a la limite vei^s laquelle converge , pour des valeurs croissantes de n , la ra- cine n."'" des plus grandes valeurs numériques de • a^. La série (i) sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites.

Lorsque la valeur numérique du rapport -^-^-^

152 COURS d'analyse.

converge vers une limite fixe , cette limite est [en vertu du 4'^ théorème , chapitre II , §. 3 ] la valeur cherchée de A . Cette remarque conduit à une nou- velle proposition que je vais écrire.

2.^ Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique du rapport

converge vers la limite A , la série ( i ) sera con- vergente pour foutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites.

Corollaire i."" Prenons pour exemple la série (3) 1, 2.r, 3 -^N 4'^^, . . . f7ï-»-i)x'^, &c...

Comme on trouvera dans cette hypothèse

— !l^î:^ — =: I H ,

a„ 7t -H I »i -H I

et par suite,

A = i,

on en conclura que la série (3) est convergente pour toutes îes valeurs de .r renfermées entre les limites

X =1 — I , a: =:=-»- I ,

et divergente pour les valeurs de x situées hors de ces hmitcs.

I."" PARTIE. CHAP. VI. 153

Corollaire 2/ Prenons pour second exemple la série

(4) y —■> > • • • — > &C

dans laquelle le terme constant est censé réduit à zéro. On trouvera dans cette hypothèse

an^i n I

«n n-\- l I -1- - *

et par suite A^=. \. La série (4) sera donc encore convergente ou divergente , suivant que la valeur numérique de x sera inférieure ou supérieure à l'u- , nité.

Corollaire j.' Si pour la série (i) on prend la suivante ,

1.2.5 " ' '*'

(5)

u, désignant une quantité quelconque , on trouvera

I —

et par suite ,

i -+■

I '-- I —

A = lim.

1 -H

00

On en conchua que la série (5) est, comme les sé- ries (3) et (4)> convergente ou divergente , suivant

154 COURS d'analyse.

que Ton attribue à la variable x une vaieur numé- rique inférieure ou supérieure à l'unité.

Corollaire ^' Considérons encore la série

\^)	* ) -	I ' ..2	j	....5 »
Comme on	aura dans	ce	cas
		a„ ^ ,		I
		On		n-H I '
et par	suite	»
		A =	T co	= 0,

1.2.3

on en conclura que la série est convergente entre les limites

X:=: — ^z=z — 00, ^ = -H ^ =: -H C» ,

c'est-à-dire, pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable x.

Corollaire /.' Considérons enfin la série

(y) I, i.x, i.2..r\ 1 .2.3.. r^, ... 1.2.3. ..w. 07"; &c...

Eln lui appliquant le théorème 2.* , on trouvera

— '^-^^-^ z= 72 -H I , ^ = 00 : et l'on aura par suite ,

On en conclura que la série (7) est toujours diver- gente , excepté lorsqu'on suppose .r = o , auquel cas » elle se réduit à son premier terme i .

I." PARTIE. CHAP VI. 155

En examinant les résultats qu'on vient d'obtenir, on reconnaît immédiatement que, parmi ies séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et en- tières de la variable a-, les unes sont tantôt con- vergentes , tantôt divergentes , selon la valeur attii- buée à cette variable , tandis que d'autres restent toujours convergentes , quel que soit j: , et d'autres toujours divergentes, excepté pour a: = o. On peut ajouter que le théorème i ."' ne laisse d'incertitude sur la convergence d'une semblable série que dans ie cas où la valeur numérique de j: devient égale

à la constante positive représentée par — r- , c'est-à- dirc, lorsqu'on suppose

Dans ce cas particulier, la série est tantôt conver- gente , tantôt divergente, et la convergence dépend quelquefois du signe de la variable .r. Par exemple, si dans la série (4), pour laquelle A =z i ^ on fait successivement

X = I , ^ = — I , on obtiendra les deux suivantes (8) 1, ^, -1, -^, ...-1-, &c....

(9) - ï> -+--7' -7' -^T' --T' ^^^^-

dont la première est divergente [voyez dans le §. 3 le corollaire du 3/ théorème] , et la seconde conver-

\ô6 COURS d'analyse.

gentc , ainsi que cela résulte du 3/ théorème [5- 3].

I! est encore essentiel de remarquer que par suite du premier théorème , lorsqu'une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable x sera convergente pour une valeur riu- mérique de x différente de zéro , elle restera con- vergente , si l'on vient à diminuer cette valeur numé- rique , ou même à la faire décroître indéfiniment.

Lorsque deux séries ordonnées suivant les puis- sances ascendantes et entières de la variable x sont convergentes pour une même valeur de la variable, on peut leur appliquer les théorèmes 5 et 6 du §. 3. Cette remarque suffit pour établir les deux propo- sitions que je vais énoncer.

3.'' Théorème. Supposojis que les deux séries

(.0)

èlajit a- la- fois convergentes , lorsquon attribue a la variable x une certaine valeur , aient alors pour sommes respectives s et s ;

(i i) a,-¥-b,, [a,-^b,)x, [a,-v-b,)x\ ...(«„H-^„).r% &c..

sera , dans le même cas , une nouvelle^ série conver- gente, qui aura vour somme s-^s .

Corollaire. On étendra facilement ce théo- rème à tant de séries que l'on voudra. Par exemple,

si les trois séries

«5o,	a^x ,	a,x" , .	. . a,^ x" ,	&c. .
^0,	b, X ,	b^ x" ,	..b,,x%	&c. .

I." PARTIE. CIIAP. VI. 157

«„ , a,^ , a^ x^ , &c ,

b^ , b,x , h^x"" , &c ,

Co , c,x , c^x" , Slc. . . . ,

sont convergentes pour une même valeur attribuée à la variable ^^ et que l'on désigne par s , s', s" leurs sommes respectrv es ,

«o-^-^o-^-Co , {a,-\-b,-hc,)x , {a^-hb^-hc^)x', &c...

sera une nouvelle série convergente , qui aura pour somme s-\- s' -+- s" .

4.^ Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si déplus chacune des séries (lo) t^este convergente , lorsqu'on réduit ses differens termes a leurs valeurs numériques ,

J^o^o, {a,b,-\-a,b^x, {aj?,^a,b,-^aj}^x\ .., \ ... {a,b^-^a,b,^_,^.,.-^a^_,b,-\-a„b,)x% &c...

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s s'.

CORO-.LAIRE i/'' Le .théorème précédent se trouve compris dans ia formule

\ (ao-+-«, J^-+-a_,x^-t-&c.. .) (Z'o-|-é,x-+-6,x'-+-&;c.. .)

qui subsiste dans le cas où chacune des séries ( i o) reste convergente lors même qu'on réduit ses diffe- rens termes à leurs valeurs numériques , et qui sert

158 COURS d'analyse.

à développer dans cette hypothèse le produit des sommes des deux séries en une nouvelle série de même forme.

Corollaire 2/ En répétant plusieurs fois de suite l'opération indiquée par l'équation (13), on pourrait multiplier entre elles les sommes de trois ou d'un plus grand nombre de séries semblables aux séries (10), et dont chacune resterait conver- gente après la réduction de ses difFérens termes à leurs valeurs numériques. Le produit obtenu serait la somme d'une nouvelle série convergente ordon- née suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Corollaire j.' Si dans les deux corollaires pré- cédens on suppose que toutes les séries dont oïl multiplie les sommes deviennent égales , on obtien- dra pour produit une puissance entière de la somme de chacune d'elles ; et cette puissance se trouvera J encore représentée par la somme d'une série du f même genre. Par exemple, si dans l'équation (13) on fait a^=zb^, a,=id,, a^=:b^, &c... , on en tirera

/ ,A {a^~\- a.x -\- a, .r'" h- &c )*

Corollaire ^f Si l'on prend pour termes gé- ; néraux des séries (10) j

3 "

X"

et /^'(/^' — ') (/^' — 2 ).-..( /^' — »t-i-' ) ^./

I." PARTIE. CHAP. VI. 159

fJi^ jJt^' désignant deux quantités quelconques, et la variable x étant renfermée entre les limites a:=z — i , jri= -H I , chacune des séries ( i o) restera conver- gente même lorsqu'on réduira ses difFérens termes à ieurs valeurs numériques, et le terme général de la série (12) deviendra

[/UfyM. — i)...(At — n-f-i ) u(tA, — \)...{/u. — n-+-2) fA.' ^ ^ 1 ;; , H . . 1.2.3 " 1.2.3... [n — 1 ) I

/A /^'(,tt'-2)...(u-n-H2) , ^' (y^c -■)... (i/-n-hi) 1 ^, I 1.2.3... («— ' ) 1 . 2 . 5 ... « J

(yt/.H-At-' ) (A<-H-,«'— 1) (.^H-,^ — 2). . .(/^-+-At'— w+i) „•

1.2.3 "

Cela posé, si l'on appelle Cp(/w,) la somme de la première des séries (10) dans l'hypothèse que l'on vient de faire , c'est-à-dire , si l'on pose

(,5) >(^)=,-H-f.r+ii:ilpl^--^&c...,

les sommes des séries (10) et (12) seront respecti- vement désignées , dans la même hypothèse , par

Cf)(yM,), <^[f^') et Cf) ( ya -1- /x' ) ; en sorte que l'é- quation (13) deviendra

(16) q)(/x).(q)(ya') = <:p(^-+-^').

Lorsque dans l'équation (ij) on remplace la somme de la série

^o) ^.-^^ ^..ï% &c

par un polynôme composé d'un nombre fini de

160 COURS d'analyse.

termes , on obtient une formule qui ne cesse jamais

d'être exacte , tant que la série

a,, , a,x , a^x"^ , &c

demeure convergente. C'est ce que nous allons prouver directement , en établissant le théorème qui suit.

5.' Théorème. Si , la série (i) étant conver- gente, on multiplie la somme de cette série par le jjolynome

(17) k x"^ -H /.r'"-' ^^ç^,.,,^px^q,

dans lequel m désigne un nombre entier , on ob- tiendra pour produit la somme d'une nouvelle série convergente de même forme , dont le terme général sera

( q Cl» -^p «,_, -\- ... l a,_„^^, -\- k a„_,„ )

X

pourvu que Ion considère comme nulles dajis les rtremiers termes celles des quantités

aui se trouveront affectées d'indices négatifs : en d'autres termes , on aura

{k x^-{-l x""'^ -\- . . .-^p X -^ q) X (aoH-OjXH-a,x^H-&c...)

I."^ PARTIE. CHAP. VI. IGI

DÉMONSTRATION. Poiir multiplier îa somme de la série (i) par ic polynôme (17), il suflîra de ia multiplier successivement par les différens termes de ce polynôme. On aura donc

( kx'"-\- /x"'"' -h. . .-\-px -H q) ( fl^-h a,x -H a^x^ -H &c. . .) = q{a^ -t-rtjX-t-a^x* + &c„.) -\- p x {a^ H-a,x + a^x"^ -(-Sec. .)

-i- &c

H- /x"'~' (oo4-a,x+aiX''-l-...) + hx'" (at,+ a,xH- a^.r^-j- &c.. .)

Comme on a de plus , pour des valeurs entières quelconques de Ji,

<jr ( tto -H a, X -h a_, X* -H -h a„_, x""' )

= ç'flo -hya.x-H ça, x^ H- _4_ça^_^ j;."-' ^

on en conclura, en faisant croître 7i indéftniment , et passant aux limites,

q {ao-^a^x-Jra^x^-iriic. ) = qa^-\- qa ^x-\-qa ^x^~\-&ic. . . „

On trouvera de même

px {ao-ira^x-\-a^x'--\-^c.. . .) = paoX-[-pa^x^-\-pa^x^ -^kc. . . ,

&c

/x'"-' ( ao+a,x+a^x'+&Lc. . .) = /aox'"-+/a,x'"+/a,x'"*'+&c.,. , A-E'"(ao-fc3»,x+rt^x-H-S:c ) = kaoX"'+ka ^x'"*'+ka^x"'^^+&.c...

Si l'on ajoute ces dernières équations, et qu'en for- mant la somme des seconds membres on réunisse les coefficiens des puissances semblables de la variable a:, on obtiendra précisément la formule (18).

Concevons maintenant que dans la série ( i ) on fasse varier la valeur de ,v par degrés insensibles. TOM. 1. L

102 COURS d'analyse.

Tant que la série restera convergente, c'est-à-dire, tant que la valeur de x demeurera comprise entre les limites

la somme de la série sera [en vertu du i.^"^ théo- rème, §. i] une fonction continue de la variable j:. Soit Cp (.r) cette fonction continue. L'équation

Cp [x) =z a^-\-a,x -h- a^.v^ -+- &:c

subsistera pour toutes les valeurs de x renfermées^ entre les limites — ^ , -^ ^ ; ce que nous indi- querons , en écrivant ces limites à côté de la série , comme on le voit ici

Lorsque la série est supposée connue, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction Cp(.r) sous forme finie ; et c'est-là ce qu'on appelle sommer la série. Mais le plus souvent la fonction <^{x) est donnée, et l'on se propose de revenir de cette fonc- tion à la série , ou , en d'autres termes , de développer la fonction en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable X. 11 est facile d'établir à ce sujet la proposition que je vais énoncer.

6.^ Théorème. Une fonction continue de la va- riable X ne peut être développée que d'une seule manicre en séiie convergente ordomiee suivant les

I

I."*^ PARTIE. CHAP. VI. 163

puissances ascendantes et entières de cette va- riable.

DÉMONSTRATION. En effet, supposons qu'on ait développé par deux méthodes différentes la fonc- tion <|) {jc) ; et soient

<z<, , a,x , a^ .r* . . . a„ .x" , k.c. . . ,

b,, b,x , b,x" ... b^x"" , 6:c...,

ies deux développemens , c'est-à-dire, deux séries dont chacune , étant convergente pour des valeurs de X différentes de zéro , ait pour somme , tant qu'elle demeure convergente, la fonction <\>\-v\. Ces deux séries étant constamment convergentes pour de très -petites valeurs numériques de .r^ on aura, pour de semblables valeurs ,

/z„-+-«,.r-i-«,x^-+-&c... =r h^-^hiX-\-bjx^-\-^Q,...

Comme , en faisant évanouir x , on tire de i'é- quation précédente

il en résulte qu'on peut la réduire généralement à

<3,.r-Hûrj.r'^-i-&c... = ^, .r n- Z>j.r* -h &c. . . , ou , ce qui revient au même , à

a7(flr,-Ha.x-t-&c. . , ) = .r ( ^, -t- ^j .r -H &€. . .).

Si l'on multiplie par — ies deux membres de cette dernière équation, on obtiendra la suivante

«, -^ a^ X -\- &c. .. = //, H- b^ X -\~ (Sec. . . ,

I. "

164 COURS d'analyse.

qui devra encore subsister pour de très-petites va- leurs numériques de la varia'ole ^^ et de laquelle on conclura , en posant .r == o ,

a =:^ b .

I I

En continuant de même , on ferait voir que les cons- tantes «o , «,, a,i 6cc... sont respectivement égaies aux constantes ^^ , ^,, b^, 6cc... ; d'où ii suit que les deux développemens de la fonction Cp (a) sont identiques.

Le calcul différentiel fournit des méthodes très- expéditives pour développer les fonctions en séries. Nous exposerons plus tard ces méthodes ; et nous